第五章 模型1用综合法快解新情境背景下的数列创新题模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页模型1用综合法快解新情境背景下的数列创新题【问题背景】高考创新题，向来是高考试题中最为亮眼的风景线，其中数列作为创新问题设置的重要载体，是高考创新题命题的热点之一，其创新性的呈现形式是多种多样的，但其求解方法也是有章可循的，例如用综合法就可以处理新情境背景下的数列创新题.【解决方法】【典例1】（有界数列与无界数列|2024广东深中、华附、省实、广雅四校8月第一次联考|多选）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（）A.若，则数列是无界的B.若，则数列是有界的C.若，则数列是有界的D.若，则数列是有界的【套用模型】第一步：整体审题，提取信息.题设关键信息是“有界数列”的定义，选项中给出了不同的数列.第二步：结合信息，确定解题方向、方法.通过定义，得到如何判断“有界数列”的方法，即判断数列通项的绝对值是否不大于某个常数.第三步：由第二步所确定的方法，进行推理、运算.A恒成立，存在正数，使得恒成立，数列是有界的×B，，，，【易错提醒】因为需要考虑绝对值，有同学认为，所以有界，结果看似正确，但这是不完整的存在正数，使得恒成立，数列是有界的√C，当为偶数时，；当为奇数时，.存在正数，使得恒成立，数列是有界的√D，.在上单调递增，，不存在正数，使得恒成立，数列是无界的×第四步：给出结论.综上所述，选BC.【典例2】（2024重庆一中8月入学考试）正项数列的前项的积为，的前项的积为，若是公差为1的等差数列.（1）求数列的通项公式.（2）记数列的前项的和为，证明：.【套用模型】第一步：整体审题，提取信息.已知有两条关键信息，一是数列的前项的积为，另一个是数列是公差为1的等差数列，据此可求出的表达式，即递推关系式.第二步：结合信息，确定解题方向、方法.根据是公差为1的等差数列，又易推出首项为1，再结合正项数列的前项的积为，即可求得两者间的关系.第三步：由第二步所确定的方法，进行推理、运算.因为数列的前项的积为，所以，又是公差为1的等差数列，所以，即，.当时，，所以；当时两式相除，得，即.【易错提醒】因为的前提是，所以探求时要注意分类讨论，再验证总结第四步：给出结论.又满足上式，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，所以，所以.，，因为当时，，所以当时，，所以.【典例3】（2024湖南长沙名校8月第一次质量检测|多选）若数列中任意连续三项，，均满足，则称数列为跳跃数列.则下列结论正确的是（）A.等比数列：1，，，，，…是跳跃数列B.数列的通项公式为，数列是跳跃数列C.等差数列不可能是跳跃数列D.等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比【套用模型】第一步：整体审题，提取信息.题设关键信息是“跳跃数列”的定义，选项中给出了不同的数列.第二步：结合信息，确定解题方向、方法.通过定义，得到如何判断“跳跃数列”的方法，题设关键信息是跳跃数列的定义，通过相邻三项的关系进行运算，判断跳跃数列.第三步：由第二步所确定的方法，进行推理、运算.对于A，等比数列1，，，，，…的通项公式为，那么.，由跳跃数列的定义知，等比数列1，，，，，…是跳跃数列，故A正确.对于B，数列的前三项为，，，不符合跳跃数列的定义，（【点技巧】判断不正确，只需找到反例），故B错误.对于C，当等差数列的公差时，它是递增数列；时，它是递减数列；时，它是常数列.所以等差数列不可能是跳跃数列，故C正确.对于D，若等比数列是跳跃数列，则，整理得，即，若等比数列的公比满足，则，可得，所以等比数列是跳跃数列，故D正确.第四步：给出结论.故选ACD.一、单选题（23-24高三下·重庆·期中）1．定义：满足为常数，）的数列称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得成立的最小正整数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10（23-24高三上·四川绵阳·一模）2．若数列满足则称为“平方递推数列”.已知数列是“平方递推数列”，且则（

）A．是等差数列 B．是等差数列C．是“平方递推数列” D．是“平方递推数列”（23-24高三上·上海普陀·期末）3．对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（

）A．若为“s数列”，则为“t数列”B．若，则为“t数列”C．若，则为“s数列”D．若等比数列为“t数列”则为“s数列”二、多选题（2023·江苏苏州·三模）4．若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（

）A． B．C． D．（2024·山东烟台·一模）5．给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．对任意，总存在，使得D．对任意，总存在，使得（2023·云南·模拟预测）6．在数列中，（为非零常数），则称为“等方差数列”，称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（

）A．是等方差数列B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则C．等比数列不可能为等方差数列D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列（2023·浙江金华·模拟预测）7．对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则（

）A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列”C．若是等差数列，则是“线性数列” D．若是等比数列，则是“线性数列”（2023·浙江·二模）8．定义：若存在正实数M使，则称正数列为有界正数列．已知数列满足，为数列的前n项和．则（

）A．数列为递增数列 B．数列为递增数列C．数列为有界正数列 D．数列为有界正数列三、解答题（23-24高三上·湖北武汉·期末）9．若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明：(1)数列为等比数列；(2)数列具有性质.（2024·黑龙江·二模）10．如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“型数列”．(1)若数列满足，判断是否为“型数列”，并说明理由；(2)已知正项数列为“型数列”，，数列满足，，是等比数列，公比为正整数，且不是“型数列”，求数列的通项公式．（2023·广东佛山·模拟预测）11．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.（2023·广东汕头·三模）12．设数列的前项和为，若，则称是“紧密数列”.(1)若，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(2)若数列前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由；(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】根据数列新定义可得，利用累乘法求得的表达式，解数列不等式，即可求得答案.【详解】由题意知二阶等比数列的二阶公比为，则，故，将以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值随n的增大而增大，且，当时，，当时，，故n的最小值为8，故选：B2．C【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.【详解】对于AB，因为是“平方递推数列”，所以.又，所以则，，所以，不是等差数列，所以AB不正确.对于C，因为，所以是“平方递推数列”，所以C正确.对于D，因为，所以不是“平方递推数列”，D不正确.故选：C3．C【分析】设，可判定A错误；对于，分为奇数和为偶数，不存在，使得，可判定B错误；若，推得满足①②，可判定C正确；设，取，可判定D错误.【详解】设，此时满足，也满足，，即，，为“s数列”，因为，所以A错误；若，则，满足①，，令，若为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足，若为偶数，此时，则此时不存在，使得，所以B错误；若，则，满足①，，，因为，所以，，满足②，所以C正确；不妨设，满足，且，，当为奇数，取，使得；当为偶数，取，使得，所以为“数列”，但此时不满足，，不妨取，则，而，则为“数列”，所以D错误.故选：C.4．AD【分析】根据“数列”定义判断A、D；利用特殊值判断B是否满足要求；由的个位数上奇偶性判断C.【详解】A：由，要且，所以，只需，显然对任意的，总存在，满足“数列”.B：由，显然，不满足“数列”.C：对于任意，，个位数为均为奇数，所以必为偶数，显然不成立，不满足.D：由，，故对任意的，总存在，满足“数列”.故选：AD5．BC【分析】由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，因此不存在，使得恒成立，A错误；对于B，由选项A知，，则，显然当时，恒成立，B正确；对于C，由，得，当时，即，于是，两式相减得，因此，显然满足上式，则，由，得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，从而对任意，总存在，使得，C正确；对于D，，由选项C得，显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.6．BC【分析】根据等方差数列的定义依次分析四个选项可得答案.【详解】对于A，因为，，，，所以不是等方差数列，故A错误；对于B，因为，，，所以，，因为是等比数列，所以，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以，故B正确；对于C，设等比数列的公比为，则，则当时，，若为常数，则必有，此时，则数列不可能是等方差数列，故C正确；对于D，假设存在数列既是等差数列，又是等方差数列，则当时，且，若，则，则，不合题意，若，则，得，又，所以为常数，必有，与假设矛盾，故存在数列既是等差数列，又是等方差数列.故D错误；故选：BC7．ABD【分析】对A,B根据“线性数列”的定义进行判断，C，找特例，代入即可判断；D，结合定义，设出等比数列，代入求的，再结合线性数列的定义，看是否存在实数即可.【详解】对A，数列为等差数列，则，即，满足“线性数列”的定义，A正确；对B，数列为等比数列，则，即，满足“线性数列”的定义，B正确；对C，是等差数列，设，则，若是“线性数列”，则，则应有，故不是“线性数列”，C错误；对D，是等比数列，设首项为，公比为，若时，，则，满足“线性数列”的定义；若时，由，得，，累加的，则，经验证当时，满足，则，若是“线性数列”，则存在实数，使得成立，则，，，则，则，则是“线性数列”，D正确.故选：ABD8．BC【分析】对于A，设，求导后放缩为，从而可知当时，单调递减，即可判断；对于B，由可知数列为递增数列，即可判断；对于C，由A分析，即可判断；对于D，借助不等式，从而可得，即可得到，从而可判断.【详解】对于A，设，，当时，，则，所以当时，，则当时，，所以当时，单调递减，A错误；对于B，因为，所以数列为递增数列，B正确；对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有，所以数列为有界正数列，C正确；对于D，令，则，所以当时，，即在上单调递减，所以，即，由，所以，D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：对于A，借助不等式进行放缩，而对于C，借助不等式进行放缩，从而可利用裂项相消法求和.9．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设，求出和，求出和的关系即可证明；（2）由（1）求出，求出，设数列即可证明.【详解】（1）设，则，.因此数列是首项为，公比为的等比数列，且；（2）由（1），，所以，取数列，则是等比数列，并且，因此集合，所以数列具有性质.10．(1)不是“型数列”，理由见解析；(2)【分析】（1）计算得出数列前两项验证即可得出结论，并证明即可；（2）利用为“型数列”和是等比数列，且不是“型数列”可求得的公比为，即可求出数列的通项公式为.【详解】（1）易知当时，可得，即；而当时，，可得；此时，不满足“型数列”定义，猜想：数列不是“型数列”，证明如下：由可得，当时，，两式相减可得，可得，此时从第二项起，每一项与它前一项的比为，因此不是“型数列”；（2）设数列的公比为，易知，又因为数列不是“型数列”，可得可得，即得；又数列为“型数列”，可得；易知“型数列”为递增数列，因此当趋近于正无穷大时，趋近于，即可得；综上可得，即，可得；所以数列是以为首项，公比为的等比数列；即可得，可得；所以数列的通项公式为.11．(1)（答案不唯一），证明见解析；(2)63【分析】（1）取，验证即可；（2）当时，，根据速增数列的定义可得，从而可得，进而可求解.【详解】（1）取，则，，因为，所以，所以数列是“递增数列”.（2）当时，，因为数列为“速增数列”，所以，且，所以，即，当时，，当时，，故正整数的最大值为63.12．(1)不是“紧密数列”，理由见解析(2)数列是“紧密数列”，理由