安徽省安庆市2023-2024学年高一上学期期末数学试题

安庆市20232024学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的定义可求.【详解】或，故，故选：C．2.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理进行求解即可.【详解】由条件知函数在上单调递增，又，，根据零点存在性定理知该函数的零点所在区间为，故选：B3.（）A.2 B.1 C. D.0【答案】C【解析】分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.【详解】，故选：C．4.命题“”为真命题，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求解出函数在区间上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果.【详解】解：因为命题“”为真命题，所以，因为函数在区间上单调递增，所以当时，，所以只需.故选：A．5.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.【详解】依题意，该扇面的面积为.故选：B6.已知定义在R上的函数满足，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用赋值法进行求解即可.【详解】在中，令，得，令，得，令，，解得：，故选：A7.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合对数函数的单调性计算即可得.【详解】由条件知，，因此.故选：B．8.已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知不等式化为，结合函数在上单调性，即可判断各选项的正误.【详解】由题意得原不等式可化为，因，所以在上恒成立，又函数在上单调递增，且，当时，；当时，．于是且，于是，，，故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知实数满足，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】A由对数的真数大于0可以排除；B由二次函数的性质可得；C由简单幂函数的性质可得；D可通过简单例子进行排除.【详解】因为，所以b的正负无法判断，所以A可能无意义；，故B正确；由于为定义域R上的单调递增函数，又因为，所以，所以，故C正确；当时，，但是，故D错误；故选：BC.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A. B.C.点是函数图象的一个对称中心 D.直线是函数图象的一条对称轴【答案】ABD【解析】【分析】结合图象即可求出三角函数的解析式，则AB可解；将代入函数的解析式即可验证C选项；将代入函数的解析式即可验证D选项.【详解】根据图象和题目条件可知，，所以，解得，A正确；将代入，可得，解得，B正确；所以，令得，，C错误，令得，，故是函数的一条对称轴，D正确，故选：ABD．11.已知表示不超过的最大整数，则下列关于函数的判断，其中正确的是（）A.函数是以为周期的周期函数 B.函数的最大值为C.函数在上单调递减 D.当时，【答案】AD【解析】【分析】根据周期函数的定义判断选项A的正确与否；取特殊值可判断出选项B的正确与否；根据函数定义可判断出选项C的正确与否；由函数的周期和选项C的结论得出选项D的正确性.【详解】选项A：因，，所以，于是函数是以为周期的周期函数，选项A正确；选项B：由函数周期可得，只需考虑的情况，而，所以选项B错误；选项C：当时，，所以，则，此时函数是常数函数，所以选项C错误；选项D：根据周期性以及选项C的结论，可知当时，，所以选项D正确．故选：AD.12.双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中为自然对数的底数），则下列判断正确的是（）A.为奇函数，为偶函数B.C.函数在上的最小值为1D.函数在R上只有一个零点【答案】ACD【解析】【分析】由函数的奇偶性即可验证A；由题干给的定义式进行化简即可验证B；由基本不等式即可验证C；由题干给的定义式，结合换元法求解零点可得D.【详解】，定义域为，，所以为奇函数，，定义域为，，所以为偶函数，故A正确；，B错误；因为，当且仅当时，函数在上的最小值为1，C正确；由题意得：令，结合C选项可得，于是由，得，解得或（舍去），于是，因此函数在上只有一个零点，D正确，故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则______．【答案】1【解析】【分析】根据分段函数性质，直接代入计算即可.【详解】因，所以，故答案为：1.14.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】由题意首先得出的关系，进一步结合即可求解.【详解】由已知，不等式的解集为，故，且，为方程的两根，所以，解得，故不等式为，即，解得或.故答案为：．15.若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】时，结合正弦函数的图像和性质，确定的范围，由不等式求解的取值范围.【详解】因，，所以，因函数在上有且仅有三个零点，所以，解得．则的取值范围是.故答案为：16.已知且，则的最大值为______，最小值为______．【答案】①.②.##0.4【解析】【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，将化为，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值.【详解】由,可得，当且仅当，即时取到等号,即的最大值为；，可得，当且仅当，即或时取到等号，即的最小值为；故答案为：；四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，解集合中的不等式，求集合中函数的定义域，得到这两个集合，再由并集的定义求；（2）由题意，集合是集合的真子集，分类讨论解集合中的不等式，由包含关系求实数的取值范围．【小问1详解】当时，，，所以．【小问2详解】因“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集．当时，，所以只需，解得；当时，是集合的真子集，符合题意，综上所述，实数取值范围是．18.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.【小问1详解】由题意可知，，展开整理可得，即，解得（舍去）.因为，所以．【小问2详解】．19.已知幂函数是定义在R上的偶函数．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值．【答案】（1）（2）当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为7【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出的值，得函数解析式；（2）求出函数的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值.【小问1详解】根据题意可得，即，所以，解得，又函数是定义在R上的偶函数，所以，即函数的解析式为．【小问2详解】由（1）可知因，所以，所以当，即，函数的最小值为；当时，，函数的最大值为7．20.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且使成立的的最小值为．（1）求函数的单调递减区间；（2）设函数，求函数的最大值．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）由图象平移得的解析式，根据已知得函数周期求出，整体代入法求单调递减区间；（2）由解析式，通过换元，利用基本不等式求最大值.【小问1详解】由题意可知，于是函数最大值为1，最小值为，根据使成立的的最小值为，则是相邻的最大值点和最小值点，函数的最小正周期满足，解得，所以，解得，所以，于是，解得，因此函数的单调递减区间.【小问2详解】由（1）知，令，则，于是，所以当且仅当，即时，函数的最大值为．21.茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y（单位：℃）随经过的时间t（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：①（为常数，且）；②（为常数，）．（1）请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；（2）现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据：）【答案】21.22.2.5分钟【解析】【分析】（1）分别代入得到函数模型，结合生活实际进行判断即可；（2）根据（1）求出的函数模型解不等式即可.【小问1详解】若选用①，根据条件可得，解得，所以．此时，随着的增大而减小，符合生活实际；若选用②，根据条件可得，解得，所以．又，当时，随着的增大而增大，不符合生活实际，应舍去．所以该函数模型为．【小问2详解】由（1），令，于，两边取常用对数得，又，故，所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟．22.已知函数且过点．（1）判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由；（2）若方程有两不等