【数学】内切球和外接球专题研究专题讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课题：第八章立体几何初步8.3.3外接球、内切球专题班级——————姓名——————一．学习目标1.了解几何体的外接球，内切球的定义；2.能熟练求解常见几何体的外接球和内切球。二．导入一个棱长为a的正方体木块可以削出最大的球的半径是多少？如果把这个木块装到一个球形容器里，这个球形容器的最小半径是多少？三．问题与例题知识点一外接球的定义外接球指一个空间几何图形的外接球，对于旋转体和多面体，外接球有不同的定义，广义理解为球将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上。探索一圆柱外接球半径1.已知圆柱的高ℎ（即母线）和半径r，该圆柱的外接球O的半径R如何表示？问题1：圆柱的轴是球的轴吗？【预设的答案】是问题2：球O的球心在哪里？【预设的答案】OO1问题3：根据轴截面求球O的半径R。【预设的答案】R=(直观图轴截面取圆柱上三条母线AA1、BB1、CC1，那么几何体ABC—【预设的答案】几何体ABC—A1B已知棱柱底面ABC各边分别为a，b，c，侧棱为l，求球O的半径R。问题1：棱柱的高与圆柱的高的关系？【预设的答案】相等。问题2：棱柱底面与圆柱底面圆的关系？【预设的答案】圆柱底面的圆是棱柱底面的外接圆。问题3：求三角形外接圆半径的方法有哪些？多边形的呢？【预设的答案】cosA=b2+c2−a2多边形的外接圆先找圆心，再求半径。矩形的外接圆圆心在对角线交点处，正六边形的外接圆圆心在对角线交点。那么，外接球半径R=(h【例1】长方体的棱长分别为a，b，c，那么该长方体的外接球半径是多少？外接球球心在什么位置？答案：底面圆半径为对角线的一半r=a2+b22，R=(h/2)球心在体对角线的中点（或体对角线的交点）。【思考】连接长方体方体各个面的对角线形成的四面体有什么特征，它的外接球呢？还有哪些棱锥可以转化为长方体的外接球？【预设的答案】对棱相等。【变式1-1】正方体的棱长为a，那么该正方体的外接球半径是多少？外接球球心在什么位置？答案：底面圆半径为对角线的一半r=22a，R=(h/2)2+r球心在体对角线的中点（或体对角线的交点）。【思考】连接正方体各个面的对角线形成的正四面体的外接球呢？答案：可以转化为正方体外接球。假设正四面体棱长为a，则正方体棱长为22外接球半径R=32×23.取圆柱上一条母线AA1，在圆柱下底面取与A不同的两个点B，C，那么几何体A1-ABC有什么特征问题1：几何体棱AA1【预设的答案】相等。问题2：几何体底面ABC与圆柱底面圆的关系？【预设的答案】圆柱底面的圆是∆ABC问题3：总结该类几何体求外接球半径的步骤。【预设的答案】1.求三角形外接圆半径r（详见上一个问题3），2.外接球半径R=(h取圆柱上两条母线AA1，BB1，在圆柱下底面取一点C，那么几何体C-AA已知AA1=BB1=ℎ【预设的答案】底面是长方形且与其中一个侧面ABC垂直的棱锥。球O是棱锥的外接球。问题1：几何体棱AA1，B【预设的答案】相等。问题2：几何体棱AA1，B【预设的答案】棱AA1，BB问题3：几何体面ABC与圆柱底面圆的关系？【预设的答案】圆柱底面的圆是侧面ABC问题4：总结该类几何体求外接球半径的步骤。【预设的答案】1.求三角形外接圆半径r（详见第一个问题3），2.外接球半径R=(h/2)2【思考】还有什么几何体外接球可以转化为圆柱外接球模型呢？【例2】在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（

）A．100π B．50π C．144π D．72π【答案】A【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内：则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，∵，∴外接球的表面积为：．故选：A.【变式2-1】已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】D【详解】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．由题意，易知，得，设，得，解得，所以四棱锥P-ABCD的体积为．故选：D【变式2-2】《九章算术·商功》中描述很多特殊几何体，例如“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即如图，一个长方体，沿对角面分开（图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），将其中一个堑堵，沿平面分开（图2），得到一个四棱锥称为阳马（图3），和一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若鳖臑的体积为4，且，则阳马的外接球的表面积为（

）A. B． C． D．【答案】B【详解】由切割过程可知，平面，，，∴，∴.为长方体体对角线，即为的外接球直径，，∴阳马的外接球的表面积为.故选：B探索二圆锥外接球半径5.已知圆锥的高ℎ，半径r，母线为l，该圆柱的外接球O的半径R如何表示？问题1：圆锥的轴是球的轴吗？【预设的答案】是。问题2：球O的球心在哪里？【预设的答案】在圆锥高上。问题3：根据轴截面求球O的半径R？【预设的答案】方法一：R2=（ℎ−R）2+r2方法二：直观图轴截面在∆SAO1中sinA=ℎl；在∆SAC中2R=SCsinA【思考1】求哪种多面体的外接球的半径可以转化为圆锥外接球模型呢？【预设的答案】顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥都可以。【思考2】求正棱锥外接球的半径的方法还有哪些？【预设的答案】正棱锥的高是外接球的轴，所以还可利用轴截面结合关系求解。【例2】正四面体的棱长为a，那么该正四面体的外接球半径是多少？外接球球心在什么位置？【答案】：正四面体对应的圆锥底面半径r为O’ℎ=63a，l=a；R=l【变式2-1】棱长相等的正四棱锥的棱长为a，那么该四棱锥的外接球半径是多少？【答案】：正四棱锥对应的圆锥底面半径r为Oℎ=22a，l=a；R=l【思考】以上两题有其他解题方法吗？【预设的答案】由于正棱锥的高是外接球的轴，还可利用轴截面结合关系求解。探索三圆台外接球半径6.已知圆台的高ℎ，上底面半径为r1，下底面半径为r2，母线为l，高为ℎ，该圆柱的外接球O的半径R如何表示？问题1：圆台的轴是球的轴吗？【预设的答案】是。问题2：球O的球心在哪里？有几种情况？【预设的答案】情况一：球心O在两底面同一侧；直观图轴截面情况二：球心O在两底面之间。问题4：球O的半径如何表示？答案：根据轴截面中几何关系可得：情况一：R2−r12−R【思考1】求哪种多面体的外接球的半径可以转化为圆台外接球模型呢？【预设的答案】一般是正棱台。【例3】如图，在正四棱台中，，分别是正方形，的中心.若以为球心，为半径的球与平面相切，且是该四棱台的外接球的球心，则该四棱台的体积与其外接球的体积之比为______.【答案】【详解】设，，，因为以为球心，为半径的球与平面相切，所以，因为是该四棱台的外接球球心，所以，即，所以四棱台的体积，且外接球的体积，则.故答案为：.【变式3-1】正三棱台高为1，上下底边长分别是和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3，下底面所在平面截球所得圆的半径是4，则轴截面中由几何知识可得，或解得，因此球的表面积是．故选A.探索四其他类型的棱锥外接球说明:探究四最好在讲完本章内容后再讲。7.Rt∆共斜边拼接模型的外接球（即两个Rt∆的外接圆均为球的大圆，且公共斜边为球的直径）如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，那么该几何体ABCD的外接球半径为多少？【预设的答案】半径R为BD的一半。8.棱锥切瓜模型的外接球（即两个三角形的外接圆所在平面相互垂直）这个模型可以分为几种情况，分别应该怎么求该空间图形的外接球半径呢？【预设的答案】情况一：两个三角形所在平面均为外接球的大圆面（即这两个三角形的公共边是直径2R）；情况二：其中一个三角形所在的平面是大圆面，另一个三角形所在平面是小圆面（即两个三角形的公共边是小圆的直径2r）；情况三：两个三角形所在平面均为外接球的小圆面。已知面ABC⏊面BCD，∆ABC，∆BC答案：设BC=a，先利用余弦定理，正弦定理求出∆ABC和∆BC的外接圆半径r2，rR=r22或R=r12+9.二面角模型的外接球已知两个三角形拼成如图所示的空间图形，求该空间图形的外接球球O的半径R。【预设的答案】第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：。【例4】如图，在四面体中，，，则四面体外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设，若是中点，又，故，所以是四面体外接球的球心，且半径为，所以外接球的表面积为.故选：B【变式4-1】在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，∴外接球的半径，则．故选：C.【例5】已知四棱锥中，底面为边长为3的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（）B．C．D．【答案】B【解析】如图，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过作两个平面的垂线交于点，则由外接球的性质知，点即为该球的球心，连接并延长，交教AB于E,则E线段的中点，连接，则四边形为矩形.在等边中，可得，则，即，在正方形中，因为，可得，在中，，即，所以四棱锥外接球的表面积为.故选：B.【变式5-1】在三棱锥中，与都是边长为4的正三角形，且平面平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为．【答案】【解析】取AB，CD的中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，如图所示由题意知，，，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，所以，设外接球的半径为R，连接OA，OC，则有，所以，，所以，又，则，，所以该三棱锥外接球的表面积为．【例6】在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，取的中点，连接，，由题意，，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，为外接圆的圆心，又是边长为2的等边三角形，所以，过点作与平面垂直的直线，则球心在该直线上，设球的半径为，连接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面积为.故选：A.【变式6-1】在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）B．C．D．【答案】C【解析】如图，因为，，所以，因为，所以为等边三角形，所以.取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即.因为为直角三角形，所以D为的外心.设的外心为，过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，.设三棱锥外接球的半径为R.在中，，由已知得，在中，由余弦定理得，即，解得，故三棱锥外接球的表面积为.故选：C.探索五组合体的外接球【例7】如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，则该“四角反棱柱”外接球的表面积与侧面面积的比为．【答案】【详解】如图，由题意可知旋转角度为，设上、下正四边形的中心分别为，，连接，则的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点，OA即该几何体外接球的半径，设棱长为4a，则侧面积为，，，，过点B作于点C，则，，易得四边形为矩形，即，，则，即该“四角反棱柱”外接球的半径．外接球表面积为，该“四角反棱柱”外接球的表面积与侧面面积的比为．故答案为：.【变式7-1】正多面体被古希腊哲学家柏拉图认为是构成宇宙的基本元素，也是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积为，平面截此正八面体的外接球所得截面的面积为．【答案】【详解】如图，取的中点，连接，取的中点，连接．由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，则正八面体的体积为．此正八面体的外接球的球心为，半径为，到平面的距离等于到平面的距离，在中，过作的垂线，垂足为，则平面．由，得，平面截正八面体的外接球所得截面是圆，其半径，所以所得截面的面积为．故答案为：；.【变式7-2】《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（

）A． B． C．D．【答案】B【解析】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示：由题意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，所以这个几何体的外接球的体积为.故选：B.【变式7-3】我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积为______.【答案】【解析】设正四棱柱和正四棱锥的高为，则其外接球的半径为解得，所以，故球的表面积为，故答案为：知识点二内切球的定义球心到某几何体各面的距离相等且等于半径的球是几何体的内切球。如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球。与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球，此圆柱称为球的外切圆柱。与圆锥的底面和各母线均相切的球，称为圆锥的内切球，此圆锥称为球的外切圆锥。与圆台的上、下底面以及每条母线都相切的球，称为圆台的内切球，此圆台称为球的外切圆台。探索六内接球半径10.已知某正三棱锥的表面积为S，体积为V，内切球球心为O，该几何体的内切球半径如何表示？【预设的答案】连接OA，OB，OC，OD，则该棱锥分成了以以内切球球心E为顶点，高为R的4个棱锥分别为E-ABD，E-BCD，E-ABC，E-ACD，再利用三棱锥A-BCD的体积等于E-ABD，E-BCD，E-ABC，E-ACD的体积之和，就能得到R球【思考1】其他存在内切球的多面体满足R球【预设的答案】都满足。存在内切球n面体，可以分成n个以内切球球心O为顶点，高为R的n个棱锥，再利用分割前分割后的体积不变，就能得到R球【验证1】目前我们所学的旋转体呢？满足R球【预设的答案】都满足。【问