2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）

2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。（共12题；共60分）

1.设集合乂={x|0<x<4},N={x||<x<5},则MnN=（）

A.{x|0<x<1}B.{x||<x<4}C.{x|4<x<5}D.{x|0<x<5}

【答案】B

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】解：MCN即求集合M,N的公共元素，所以McN={x|gx<4},

故答案为：B

【分析】根据交集的定义求解即可.

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得

到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

【答案】C

【考点】频率分布直方图

【解析】【解答】解：对于A,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为

0.02+0.04=6%,故A正确；

对于B,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02x3+0.04=10%,

故B正确；

对于D,由频率分布直方图得该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间比率估计为

0.10+0.14+0.20x2=0,64>0.5,故D正确

故不正确的是c

故答案为：C

【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.

2

3.已知(1-i)z=3+2i，则z=()

3333

A.-1--iB.-1+-iC.--+iD.---i

2222

【答案】B

【考点】复数代数形式的混合运算

■〃刀▼vAA-,b-n3+213+2i(3+2i)i—2+3i4.3.

【解析】【解答】解：2=碇===』=丁=-1+/

故答案为：B

【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录

视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。己知某同学视力的五分记录法的数

据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为()(=1.259)

A.1.5B,1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质

【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV,得|gV=0.1=一表，

所以v=io10=:-y°，8

*7101.259

故答案为：C

【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.

5.已知Fl,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且NF1PF2=6O。，|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为

()

A.—B.—C.y/7D.V13

22

【答案】A

【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质

【解析】【解答】解:由得

|PFI|=3|PF2|,|PFi|-|PF2|=2a|PFi|=3a,|PF2|=a

222

在中，Ef3|FiF2|=|PF1|+|PF2|-2|PF1||PF2|cosZFiPF2

#(2c)2=(3a)2+a2-2x3axaxcos60°

解得c=—a

2

所以e=£=亚

a2

故答案为：A

【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.

6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱徘A-EFG后，所得多面体的三

视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（）

【答案】D

【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图

【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示，

则侧视图是

故答案为：D

【分析】根据三视图的画法求解即可.

7.等比数列｛a，的公比为q,前n项和为S0,设甲：q>0,乙：｛Sj是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】解：当ai=-l,q=2时，｛SJ是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；

当脩｝是递增数列时,即则所以甲是乙的必要条件；

an+i=Sn+i-Sn>0,aiq">0,q>0,

所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.

故答案为：B

【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法

是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A,B,C三点，且A,B,C在同一

水平而上的投影A，8，C满足C'B=45。，/4'B'C'=60。.由c点测得B点的仰角为15。，曲，

BB'与CC'的差为100：由B点测得A点的仰角为45。,则A,C两点到水平面4'B'C'的高度差A4’-

CC,约为（）<V3«1,732；

A.346B.373C.446D.473

【答案】B

【考点】正弦定理，正弦定理的应用

【解析】【解答】解：如图，过C作BB，的垂线交BB，于点M,过B作AA，的垂线交AA，于点N,

在△ABC'中，由正弦定理得武;=得

在△BCM中，由正弦定理得点=片，

则/=晟，解得”=瑞“273,

得A,C两点到水平面A'BC的高度差AA'-CC'=273+100=373.

故答案为：B

【分析】根据正弦定理求解即可.

9.若aef0,^),tan2a=^^,则tana=()

【答案】A

【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的

运用

【解析】【解答】解：由题意得tan2a=^=§『=『,

cos2a1—zsina2—sma

则2sina（2—sina）=1—2sin2a,解得sina=],

又因为&Er0,?）,所以cosa=—sin2a=百

/4

n；IM.sina715

9r以tana=——=——

cosa15

故答案为：A

【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.

10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

1224

C

A---1

3B.53D.5

【答案】C

【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】解：将4个1和2个0随机排成一行共有4种排法，

先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有d种排法，

则所求概率为P=：=g

故答案为：C

【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.

11.已知A,B,C是半径为1的求。的球面上的三个点，且ACJ_BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为（）

A.立B.且C.立D.包

121244

【答案】A

【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：记^ABC的外接圆圆心为01,由ACJ_BC,AC=BC=1知01为AB的中点，且AB=

V2,0C=f,

又球的半径为1,所以0A=0B=0C=l,所以0A2+OB2=AB2,001=y，

则OOi2+OiC2=OC2

则OOilOiC,OOilAB,

所以00」平面ABC,

所以4TBC=g448c，。。1=5TT，¥=噂

故答案为：A

【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即

可.

12.设函数f(x)的定义域为R,f(x+l)为奇函数,f(x+2)为偶函数，当xe[1,2]时，f(x)=ad+b.若f(0)+

f⑶=6,则瑕)=()

9375

B-2CqD.-

【答案】D

【考点】函数奇偶性的性质，函数的值

【解析】【解答】解：因为f(x+l)是奇函数,所以f⑴=0,即a+b=0,则b=-a,

又f(0)=f(-l+l)=f(-l+2)==f(l)=0,

由f(0)+f(3)=6得a=-2,

所以雇)=/(2+习=/(2一|)=/(一分=/(一)1)=一北+1)=一/6+2)

=-/(-1+2)=-/(1)

故答案为：D

【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)

13.曲线y=筮在点I，一3)处的切线方程为------。

【答案】5x-y+2=0

【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程

【解析】【解答】解：由题意得八号铲=舟，所以在点(-1，-3)处的切线斜率k=5,故

切线方程为y+3=5(x+l),即5x-y+2=0

故答案为：5x-y+2=0

【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.

14.已知向量a=(3,l),b=(l,0),c=a+kb,若a_Lc,则k=。

【答案】一日

【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系

J

【解析】【解答】解：；=；+o=(3,1)+fc(1,o)=(3+M)

由第1二=3,(3+k)+l=0，解得仁智

故答案为：一弓

【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.

15.已知Fi，F2为椭圆C：直+e=1的两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且

164

|PQI=|F1F2|，则四边形PFQF2的面积为。

【答案】8

【考点】椭圆的定义，三角形中的几何计算

【解析】【解答】解：由|PQI=|FF2|,得|OP|=?FIF2|,所以PFIJ_PF2,

所以SPF1QF2=2s4PF/2=2XNXtan-^=8

故答案为：8

【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可

16.已知函数f(x)=2cos(3x+力)的部分图像如图所示，则满足条件rf(x)-f(-^))(/(x)-

/(£))>0的最小正整数x为o

【答案】2

【考点】一元二次不等式的解法，余弦函数的图象

【解析】【解答】解：由卫=业一三=注得T=n,3=2

41234

将点&°)代入f(淄=2cos(2x+0),得2cos(2+w)=0

则'

所以

所以/(%)=2cos(2x-嵩)

(f(x)-f(-y))(/(%)-/(y))>0等价于(f(x)-1)(/(%)+V3)>0

则f(x)<-遮或/(x)>1

由图象得最小整数》€(三,学,

所以x=2

故答案为：2

【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(共5题；共60分)

17.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别

用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

付.1^2_n(ad-bc)2

(a+b)6c+d)fa+c?<b+d)

P(K，Nk)0.0500.0100.001

K3.8416.635。10,828

【答案】(1)(1)由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：黑=,

2004

乙机床生产的产品中一级品的频率是：黑=1

400+(150X80-50'120)2

(2)由于K2=10.256>6,635

270X130X200X200

所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。

【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用

【解析】【分析】(1)根据频率=频数/总体直接求解即可；

(2)根据独立性检验的方法直接求解即可.

18.已知数列｛a。｝的各项均为正数，记Sn为｛a"的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明

另外一个成立.

①数列｛a,是等差数列：②数列｛底｝是等差数列；③az=3ai

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】选①②作条件证明③：

2

设V5n=an+b(a>0),贝ijSn=(an+b),

当n=1时，a1=Si=(a+b)2；

22

当n22时，an=Sn-Sn_1=(an+b)—(an-a+b)=a(2an—a+2b)；

因为｛an｝也是等差数列，所以(a+b)2=a(2a—a+2b)，解得b=0；

所以%=a2(2n-l),所以<22=3%.

选①③作条件证明②：

因为。2=3%,｛册｝是等差数列，

所以公差d=a2—%=2%,

所以Sn=n%+"。；Ad=n2al,即yfs^=y[a[n,

因为Vsn+1-疯=炳5+1)-Vain=炳，

所以｛后｝是等差数列.

选②③作条件证明①：

2

设y/^n=an+b(a>0),贝USn=(an+b),

当n=1时，ai=Si=(a+b)2；

当n>2时，4=Sn—Sn_i=(an+b)2—(an—a+b)2=a(2an-a+2b)；

_

因为a2-3aj,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得b=0或b=y;

22

当b=0时，ax=a,an=a(2n-1),当n>2时，髭-07H1=满足等差数列的定义，此时｛a„｝

为等差数列；

当b——y时，=an+b=an-a,=-<0不合题意，舍去.

综上可知｛%>｝为等差数列.

【考点】数列的概念及简单表示法，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和

【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明③：根据等差数列的定义得出/S；=an+b(a>0)，且｛%>｝

也是等差数列，进一步递推出③。2=3%;

若选①③作条件证明②：由。2=3%,显然d=a2-%=2al再写出前n项的和与ai,n的关系式

疯=g?n,进而证明｛后｝是等差数列.；

选②③作条件证明①：先设JT=an+b(a>0),进一步形为S"=(an+b)2,再根据an与

sn的关系，分n为1,n>l,推导出%-%-1=2。2,显然｛%>｝为等差数列。

19.己知直三棱柱ABC-A1BG.中,侧面AAiBiB为正方形，AB=BC=2,E,F分别为AC和CJ的中点,D为

棱AiBi上的点,BF±AiBi.

(1)证明：BFXDE；

(2)当为BiD何值时，面BBiJC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

【答案】(1)因为三棱柱ABC-A^B^C^是直三棱柱，所以BB11底面ABC,所以BB11AB

因为A\B[〃AB,BF,所以BFLAB,

又BBCBF=B,所以AB1平面BCCXBX.

所以BA.BC.BBy两两垂直.

以B为坐标原点，分别以BA,BC,BBI所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

所以8(0,0,0)Q(2,0,0),C(0,2,0),Bi(O,0,2Ml(2,0,2)。式0,2,2),

E(l,l,0),F(0,2,l).

由题设£>(a,0,2)(0<a<2).

因为BF=(0,2,1),DE=(1-a,l,-2),

所以FFD£,=0X(l-a)+2Xl+1X(-2)=0,所以BF1DE.

(2)设平面DFE的法向量为m-(x,y,z),

因为EF=(-1,1,1),DE=(1-a,l,-2),

所以｛(m-EF=0即(-x+y+z=0

所以m.DE=0'即Ql-a)x+y-2Z=0-

令z=2—a,贝1］济=(3,1+a,2—a)

因为平面BCC$i的法向量为瓦？=(2,0,0)，

设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为9,

AI|加曲|

贝n,0.|.COS81=——zr-=--/6=/3.

I河川2xJ2a2_2a+14V2a2-2a+14

当a=g时，2a2-2a+4取最小值为日，

3_V6

此时cos。取最大值为第=可.

所以(Sin8)min=J1-(彳)2=*

此时当。=2.

【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法

【解析】【分析】(1)根据条件，先证明BA.BC.BB,两两垂直，再建立如图所示空间直角坐标系，定

义相关点的坐标，用空间向量证明BF1OE.

(2)先设O(a,0,2)设出平面平面DFE的法向量及平面BCC1B1的法向量，分别求出二法向量，再

由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的a值即为BiD的值。

20.抛物线C的顶点为坐标原点0,焦点在x轴上，直线L：x=l交C于P,Q两点，且OPJ_OQ.已知点M

(2,0)，且0M与L相切,

(1)求0M的方程；

(2)设AIA,A3,是C上的三个点，直线A1A2,A1A3均与OM相切，判断A2A3与0M的位置关系，

并说明理由.

【答案】(1)依题意设抛物线。铲=2px(p>O),P(l,yo),Q(l,-y()),

OP10Q,•••OP-0Q=1-=1—2p=0,2p=1,

所以抛物线C的方程为y2=x,

M(0,2),OM与x=l相切，所以半径为1,

所以0M的方程为(x-2)2+y2=1；

(2)设41(右'1)/2(如、2)/3(43/3)

若力斜率不存在，则方程为x=1或x=3,

若71^2方程为X=1,根据对称性不妨设41(1,1),

则过为与圆M相切的另一条直线方程为y=l,

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在&,不合题意；

若方程为x=3,根据对称性不妨设人2(3,-6)，

AXA2

则过A与圆M相切的直线为小为y-V3=y(x-3),

Vk-力一一_]_]_3_n

k

乂A1A3-Xi_X3-yi+y3-^+y3-3,y3-u)

x=O4(o,o)，此时直线关于%轴对称，

3AXA3,A2A3

所以直线A2A3与圆M相切；

若直线斜率均存在，

A.A2,AAA3,A2A3

则%的=岛;，或遇3=岛？％2方=土)

1

所以直线方程为y-y[=—,

A^2yi+yz

整理得％-(为+y2)y+yi72=o，

同理直线的方程为x-O14-y)y+7173=0，

AXA33

直线A2A3的方程为%-(%+y3)y+y2y3=o，

•••4遇2与圆M相切，=1

14Ji+竽(yi詈+y21)z

整理得(尤-1必+2yly2+3-*=0,

4遇3与圆河相切，同理01-1)因+2yly3+3-y；=0

所以y-L,y-i为方程Oj-l)y2+2yly+3-yj=0的两根，

._2yj_3-y：

丫2+y-i=~行，丫2,乃=而"，

M到直线A2A3的距离为：

3_yj

|2+^^|

J2+y2y3l_*_1

Jl+（，2+乃＞|2月

1为-1

=M+II=史=i

J（y：-l）2+4*yl+1，

所以直线A2A3与圆M相切；

综上若直线4通2，&43与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切.

【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程

2

【解析】【分析】(1)先设抛物线的方程C:y=2px(p>0),由对称性，可知IP(l,yo),(2(l,-yo)，进

而由OPJ.OQ,可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程；

由于圆M的圆心已知，且与x=l相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；

(2)先设出&(XiyD/2(X2，y2)/3(X3，y3)三点的坐标，分公42斜率不存在及直线A1A2,A1A3,A2A3

斜率均存在讨论，分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程,

利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。

21.己知a>0且an,函数f(x)=[(x>0),

ax

(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y=f(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.

【答案】⑴当a=2时，/(尤)=%()=空2熹理=匕铲父，

令/(X)=0得x=S,当0cx时，f'(X)>0,当%>专时，/(x)<0,

函数/(%)在(0,由上单调递增；注,+叼上单调递减:

(2)/(x)=^=1oa*=工。<=>x\na-alnx^~=~，设函数9。)=产,

则9'0)=与等，令g'Q)=0，得x=e,

在(0,e)内g'(x)>0,g(x)单调递增；

在(e,+8)上g(X)<0,g(x)单调递减；

•••g(x)m=。⑻=十，

又g(l)=0,当X趋近于+8时，g(x)趋近于0,

所以曲线y=f(x)与直线y=l有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=*有两个交点的充

分必要条件是0<整<十，这即是0<g(a)<g(e),

所以a的取值范围是(l,e)u(e,+8).

【考点】函数的单调性与导数的关系，导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【分析】（1）当a=2时，函数f（x）=|J,用导数研究其单调性；

（2）首先将问题转化为方程?=（有两个解的问题，进一步转化为函数g（x）=?与函数力（乃=野

有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。

四、选修4一4：坐标系与参数方程］（共1题；共10分）

22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p

=2V2cos0.

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐