2021年四川省甘孜州中考数学试卷

2021年四川省甘孜州中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）|﹣3|的绝对值为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．±32．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）我国高铁通车总里程居世界第一，到2020年末，高铁总里程达到37900千米，37900用科学记数法表示为（）A．3.79×104 B．379×102 C．0.379×105 D．3.79×1074．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）5．（3分）下列计算正确的是（）A．a5+a2＝a7 B．（a3）2＝a5 C．a3•a5＝a8 D．a6÷a2＝a36．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（）日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天体温（℃）36.336.736.236.336.236.436.3A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.17．（3分）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4 B．6 C．7 D．1210．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．a＜0，b＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1 D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）因式分解：m2﹣3m＝．12．（4分）已知一次函数y＝ax﹣1，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第象限．13．（4分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠B＝40°，则∠OAC的度数为．14．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为（列出方程组即可，不求解）．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：23+﹣2cos45°；（2）解不等式组：．16．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝．17．（8分）某校为了加强同学们的安全意识，随机抽取部分同学进行了一次安全知识测试，按照测试成绩分为优秀、良好、合格和不合格四个等级，绘制了如下不完整的统计图．（1）参加测试的学生人数为，等级为优秀的学生的比例为；（2）该校有600名学生，请估计全校安全意识较强（测试成绩能达到良好以上等级）的学生人数；（3）成绩为优秀的甲、乙两位同学被选中与其他学生一起参加安全宣讲活动，该活动随机分为A，B，C三组．求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．18．（8分）如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）当BC＝4时，求AB•BE的值；（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求⊙O的半径．一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为．22．（4分）若一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数根，则k的取值范围是．23．（4分）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则x和y满足的关系式为．24．（4分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．25．（4分）如图，腰长为2+2的等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为．二、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？27．（10分）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：△CBF≌△CDF；（2）如图2，过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．①求证：FB＝FG；②若tan∠BDE＝，ON＝1，求CG的长．28．（12分）如图1，直线y＝﹣x+b与抛物线y＝ax2交于A，B两点，与y轴于点C，其中点A的坐标为（﹣4，8）．（1）求a，b的值；（2）将点A绕点C逆时针旋转90°得到点D．①试说明点D在抛物线上；②如图2，将直线AB向下平移，交抛物线于E，F两点（点E在点F的左侧），点G在线段OC上．若△GEF∽△DBA（点G，E，F分别与点D，B，A对应），求点G的坐标．

2021年四川省甘孜州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）|﹣3|的绝对值为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．±3【分析】利用绝对值的意义解答即可．【解答】解：|﹣3|＝3，|3|＝3．故选：C．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，熟记负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．2．（3分）如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．【分析】左视图：从物体左面所看的平面图形，注意：看到的棱画实线，看不到的棱画虚线，据此进行判断即可．【解答】解：从左面看，能看到上下两个小正方形．故选：D．【点评】本题考查简单组合体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键．3．（3分）我国高铁通车总里程居世界第一，到2020年末，高铁总里程达到37900千米，37900用科学记数法表示为（）A．3.79×104 B．379×102 C．0.379×105 D．3.79×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：数据37900用科学记数法可表示为3.79×104．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（）A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）【分析】直接利用关于y轴对称点的特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出答案．【解答】解：点P（2，1）关于y轴对称的点P′的坐标是（﹣2，1）．故选：D．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的特点，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a5+a2＝a7 B．（a3）2＝a5 C．a3•a5＝a8 D．a6÷a2＝a3【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．【解答】解：a5与a2不是同类项，不能合并，故选项A不合题意；（a3）2＝a6，故选项B不合题意；a3•a5＝a8，故选项C符合题意；a6÷a2＝a4，故选项D不合题意．故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．6．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（）日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天体温（℃）36.336.736.236.336.236.436.3A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为36.2，36.2，36.3，36.3，36.3，36.4，36.7，该名同学这一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现3次，因此众数是36.3，将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3，故选：C．【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是正确判断的前提．7．（3分）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1【分析】把x＝3代入分式方程求得m的值即可．【解答】解：把x＝3代入分式方程＝3，得，整理得6+m＝3，解得m＝﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了分式方程的解，将分式方程的解代入方程中求未知数即可，比较简单．8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】已知a，b是实数满足a≠＝1，b≠﹣1根据线段垂直平分线的性质得出∠DAC＝∠C＝40°，进而求出∠BAD的度数．【解答】解：由作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝40°．∵∠BAC＝70°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°．故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4 B．6 C．7 D．12【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC＝DE：EF．∵AB：BC＝2：3，EF＝9，∴DE＝6．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．a＜0，b＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1 D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5【分析】根据函数图象确定对称轴、最大值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，所以a＜0；对称轴为直线x＝﹣＝2，所以b＝﹣4a，所以b＞0，故A正确．因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B正确．由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点（5，0）和（﹣1，0），所以方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1，故C正确．由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故D错误．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质，理解二次函数的对称轴、最值、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的增减性是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）因式分解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．【分析】直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．（4分）已知一次函数y＝ax﹣1，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过第一象限．【分析】根据一次函数的性质可以判断k的正负和经过定点（0，﹣1），从而可以得到该函数不经过哪个象限，本题得以解决．【解答】解：∵在一次函数y＝ax﹣1中，若y随x的增大而减小，∴a＜0，该函数经过点（0，﹣1），∴该函数经过第二、三、四象限，∴该函数不经过第一象限，故答案为：一．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．13．（4分）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠B＝40°，则∠OAC的度数为50°．【分析】根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝80°，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和求解即可．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠AOC＝2∠B＝80°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）＝×（180°﹣80°）＝50°，故答案为：50°．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．14．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为（列出方程组即可，不求解）．【分析】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：．故答案为．【点评】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．三、解答题（本大题共6小题，共54分）15．（12分）（1）计算：23+﹣2cos45°；（2）解不等式组：．【分析】（1）利用实数的乘方，二次根式的性质和特殊角的三角函数值进行化简计算；（2）分别求出每个不等式的解集再取它们的公共部分即可．【解答】解：（1）原式＝23+﹣2cos45°＝8+2﹣2×＝8+2﹣＝8+；（2），不等式①的解集是：x＞﹣5，不等式②的解集是：x≤﹣1，∴原不等式组的解集是：﹣5＜x≤﹣1．【点评】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，实数的乘方，一元一次不等式组的解法．熟练应用上述法则进行解答是解题的关键．16．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝．【分析】先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷[+]＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17．（8分）某校为了加强同学们的安全意识，随机抽取部分同学进行了一次安全知识测试，按照测试成绩分为优秀、良好、合格和不合格四个等级，绘制了如下不完整的统计图．（1）参加测试的学生人数为40人，等级为优秀的学生的比例为30%；（2）该校有600名学生，请估计全校安全意识较强（测试成绩能达到良好以上等级）的学生人数；（3）成绩为优秀的甲、乙两位同学被选中与其他学生一起参加安全宣讲活动，该活动随机分为A，B，C三组．求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．【分析】（1）利用良好的人数除以良好的人数所占的百分比可得抽查的人数，然后求出优秀的学生的比例即可；（2）良好以上占比是70%，再利用样本代表总体的方法得出答案；（3）直接利用树状图法求出所有可能，进而求出概率．【解答】解：（1）抽取的学生数：16÷40%＝40（人）；优秀人数：12÷40＝30%；故答案为：40人；30%；（2）良好以上占比是30%+40%＝70%，所以全校安全意识较强（测试成绩能达到良好以上等级）的学生人数约：600×70%＝420（名）；（3）如图：可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组有3种，所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率为．【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图的应用，由图形获取正确信息是解题关键．18．（8分）如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD的高度．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）【分析】先过A点作AE⊥CD于E点，根据题意得出四边形ABDE为矩形，再根据26.6°的正切求出DE，然后根据等腰直角三角形的特点求出CE的值，最后根据CD＝CE+ED，即可得出答案．【解答】解：过A点作AE⊥CD于E点，由题意得，四边形ABDE为矩形，∵∠DAE＝26.6°，BD＝30m，∴AE＝BD＝30m，tan26.6°＝，∴DE＝tan26.6°•AE＝0.50×30＝15m，∵∠CAE＝45°，∴∠ACE＝45°，∴AE＝EC，∴CE＝30m，∴CD＝CE+ED＝30+15＝45（m），∴建筑物CD的高度是45m．【点评】本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，3）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）首先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）求得直线与x轴的交点，然后根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可．【解答】解：（1）把A（m，6），B（n，3）两点坐标代入y＝（x＞0）可得m＝2，n＝4，∴A（2，6），B（4，3），∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A、B，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+9．（2）设直线与x轴的交点为C，把y＝0代入y＝﹣x+9，则﹣x+9＝0，解得x＝6，∴C（6，0），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×6﹣＝9．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用图象解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，D为BA延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为C，过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，连接BC．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）当BC＝4时，求AB•BE的值；（3）在（2）的条件下，连接EO，交BC于点F，若，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC．首先证明OC∥BE，再利用平行线的性质以及等腰三角形的性质证明即可．（2）连接AC，证明△ABC∽△CBE，推出＝，可得结论．（3）设⊙O的半径为r，则OC＝r，AB＝2r，由△OCF∽△EBF，可得＝＝，推出BE＝r，再根据AB•BE＝80，构建方程求出r即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵DE⊥BE，∴OC∥BE，∴∠EBC＝∠OCB，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC＝∠EBC，∴BC平分∠DBE．（2）解：连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∴△ABC∽△CBE，∴＝，∴AB•BE＝BC2＝（4）2＝80．（3）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，AB＝2r，∵OC∥BE，∴△OCF∽△EBF，∴＝＝，∴BE＝r，∵AB•BE＝80，∴2r×r＝80，∴r＝5或﹣5（舍弃），∴⊙O的半径为5．【点评】本题考查相似三角形的性质，切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）21．（4分）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为4．【分析】由a＝b+2，可得a﹣b＝2，代入所求代数式即可．【解答】解：∵a＝b+2，∴a﹣b＝2，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．故答案为：4【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．22．（4分）若一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数根，则k的取值范围是k＞4．【分析】根据判别式的意义得到Δ＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数根，∴（﹣4）2﹣4k＜0，解得k＞4．故答案为：k＞4．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．23．（4分）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则x和y满足的关系式为y＝．【分析】根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可．【解答】解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，∴袋中共有（x+y）个棋，∵黑棋的概率是，∴可得关系式，∴x和y满足的关系式为y＝．故答案为：y＝．【点评】此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．24．（4分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为8．【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得△AOM∽△BAN，即可得到关于k的方程，解方程即可求得．【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，∵∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∴△AOM∽△BAN，∴＝，∵点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，），B（k，1），∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，∴＝，解得k1＝2（舍去），k2＝8，∴k的值为8，故答案为：8．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．25．（4分）如图，腰长为2+2的等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为或2．【分析】分两种情况：当CE⊥AB时；当CE⊥AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：当CE⊥AB时，如图，设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∴∠BCM＝22.5°，∴∠BCM＝∠DCM，在△BCM和△DCM中，，∴△BCM≌△DCM（ASA），∴BM＝DM，由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴△MDE是等腰直角三角形，∴DM＝EM，设DM＝x，则BM＝x，DE＝x，∴AD＝x．∵AB＝2+2，∴2x+x＝2+2，解得：x＝，∴BD＝2x＝2；当CE⊥AC时，如图，∴∠ACE＝90°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，∵AB＝AC＝2+2，∴AD＝AC＝2+，BD＝AB﹣AD＝（2+2）﹣（2+）＝，综上，BD的长为或2．故答案为：或2．【点评】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质．二、解答题（本大题共3小题，共30分）26．（8分）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的30%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），用待定系数法求解即可；（2）由题意得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，设其函数关系式为y＝kx+b（k≠0，x≥50），将（60，600），（80，400）代入，得：解得：，∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为y＝﹣10x+1200；（2）由题意得：w＝（﹣10x+1200）（x﹣50）＝﹣10x2+1700x﹣60000＝﹣10（x﹣85）2+12250，∵﹣10＜0，∴当x≤85时，w随x的增大而增大，∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的30%，∴x≤50×（1+30%），即x≤65，∴当x＝65时，w取得最大值：最大值＝﹣10×（65﹣85）2+12250＝8250．∴售价定为65元可获得最大利润，最大利润是8250元．【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．27．（10分）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上一点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：△CBF≌△CDF；（2）如图2，过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．①求证：FB＝FG；②若tan∠BDE＝，ON＝1，求CG的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得CB＝CD，∠BCF＝∠DCF＝45°，利用SAS即可证明△CBF≌△CDF；（2）①根据等角的余角相等得∠CDE＝∠G，由（1）知△CBF≌△CDF，得∠CBF＝∠CDF，等量代换即可解决问题；②根据tan∠OFN＝tan∠BDE＝，得OF＝2ON＝2，OC＝OD＝2OF＝4，则CF＝OC﹣OF＝2，作FH⊥BG于H，则CH＝，而BC＝4，再运用①的结论即可解题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCF＝∠DCF＝45°，在△CBF