2022年山东省东营市中考数学试卷

2022年山东省东营市中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．3x3+2x3＝5x6 B．（x+1）2＝x2+1 C．x8÷x4＝x2 D．＝23．（3分）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40° B．50° C．60° D．65°4．（3分）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是（）A．36 B．60 C．100 D．1805．（3分）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣26．（3分）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（）A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜29．（3分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（）A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分．只要求填写最后结果．11．（3分）2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在中国仅电视收视人数就超6亿．6亿用科学记数法表示为．12．（3分）因式分解：x3﹣9x＝．13．（3分）为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是分钟．作业时长（单位：分钟）5060708090人数（单位：人）1462214．（3分）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为．15．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．（4分）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为．17．（4分）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．18．（4分）如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y＝x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则点A2022的横坐标是．三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（8分）（1）计算：（+2）（﹣2）+÷﹣（﹣）0+（﹣2sin30°）2022；（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3，y＝2．20．（8分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．22．（8分）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）23．（8分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．25．（12分）△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．

2022年山东省东营市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．3x3+2x3＝5x6 B．（x+1）2＝x2+1 C．x8÷x4＝x2 D．＝2【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义解答即可．【解答】解：A、3x3+2x3＝5x3，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（x+1）2＝x2+2x+1，原计算错误，故此选项不符合题意；C、x8÷x4＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、＝2，原计算正确，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、算术平方根，解题的关键是掌握合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义．3．（3分）如图，直线a∥b，一个三角板的直角顶点在直线a上，两直角边均与直线b相交，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40° B．50° C．60° D．65°【分析】先由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠1+∠3+∠4＝180°，求出∠3的度数，再由直线a∥b，根据平行线的性质，得出∠2＝∠3＝50°．【解答】解：如图：∵∠4＝90°，∠1＝40°，∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠3＝180°﹣90°﹣40°＝50°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠3＝50°．故选：B．【点评】此题考查了平行线性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质：两直线平行，同位角相等．4．（3分）植树节当天，七年级1班植树300棵，正好占这批树苗总数的，七年级2班植树棵数是这批树苗总数的，则七年级2班植树的棵数是（）A．36 B．60 C．100 D．180【分析】根据题目当中信息列式计算即可．【解答】解：七年级2班植树棵数：＝＝＝100（棵），故选：C．【点评】本题考查有理数的混合运算，准确的约分是关键．5．（3分）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）A．x1＝2+2，x2＝2﹣2 B．x1＝2+2，x2＝2﹣2 C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可．【解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，则x＝＝＝﹣2±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．6．（3分）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念、概率公式计算即可．【解答】解：如图，当涂黑1或2或3或4区域时，所有黑色方块构成的图形是轴对称图形，则P（是轴对称图形）＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是概率的计算、轴对称图形的概念，正确理解轴对称图形的概念、掌握概率公式是解题的关键．7．（3分）如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（）A． B． C． D．【分析】由DE∥BC根据平行线分线段成比例定理得＝，可判断A正确；由△EDF∽△BCF根据相似三角形的对应边成比例得＝，可判断B正确；由△ADE∽△ABC得＝≠，可判断C错误；由＝，＝，得＝，可判断D正确．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，故A正确；∵△EDF∽△BCF，∴＝，故B正确；∵△ADE∽△ABC，∴＝≠，故C错误；∵＝，＝，∴＝，故D正确，故选：C．【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，找到相似三角形的对应线段是解题的关键．8．（3分）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（）A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜的解集，此题得解．【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．9．（3分）用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面（接缝忽略不计），则圆锥的母线长为（）A．4cm B．8cm C．12cm D．16cm【分析】求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．【解答】解：设半圆形铁皮的半径为rcm，根据题意得：πr＝2π×4，解得：r＝8，所以围成的圆锥的母线长为8cm，故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．10．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC＝∠MAN＝60°，连接MN、OM．以下四个结论正确的是（）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是；③当MN最小时S△CMN＝S菱形ABCD；④当OM⊥BC时，OA2＝DN•AB．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】由四边形ABCD是菱形得AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，而∠BAC＝∠ACD＝60°，则△ABC和△ADC都是等边三角形，再证明△BAM≌△CAN，得AM＝AN，而∠MAN＝60°，则△AMN是等边三角形，可判断①正确；当AM⊥BC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，由∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2可求得MA＝AM＝，可判断②正确；当MN的值最小，则BM＝CM，可证明DN＝CN，根据三角形的中位线定理得MN∥BD，则△CMN∽△CBD，可求得S△CMN＝S△CBD＝S菱形ABCD，可判断③正确；由CB＝CD，BM＝CN得CM＝DN，再证明△OCM∽△BCO，得＝，所以OC2＝CM•CB，即OA2＝DN•AB，可判断④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝AD＝CD，AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠ABM＝∠ACN＝60°，AB＝AC，∵∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN＝60°﹣∠CAM，∴△BAM≌△CAN（ASA），∴AM＝AN，∴△AMN是等边三角形，故①正确；当AM⊥BC时，AM的值最小，此时MN的值也最小，∵∠AMB＝90°，∠ABM＝60°，AB＝2，∴MN＝AM＝AB•sin60°＝2×＝，∴MN的最小值是，故②正确；∵AM⊥BC时，MN的值最小，此时BM＝CM，∴CN＝BM＝CB＝CD，∴DN＝CN，∴MN∥BD，∴△CMN∽△CBD，∴＝＝＝，∴S△CMN＝S△CBD，∵S△CBD＝S菱形ABCD，∴S△CMN＝×S菱形ABCD＝S菱形ABCD，故③正确；∵CB＝CD，BM＝CN，∴CB﹣BM＝CD﹣CN，∴CM＝DN，∵OM⊥BC，∴∠CMO＝∠COB＝90°，∵∠OCM＝∠BCO，∴△OCM∽△BCO，∴＝，∴OC2＝CM•CB，∴OA2＝DN•AB，故④正确，故选：D．【点评】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试题中的拔高区分题．二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每题3分，15-18题每题4分，共28分．只要求填写最后结果．11．（3分）2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字平台互动，在中国仅电视收视人数就超6亿．6亿用科学记数法表示为6×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：6亿＝600000000＝6×108．故答案为：6×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）因式分解：x3﹣9x＝x（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．【解答】解：x3﹣9x，＝x（x2﹣9），＝x（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底．13．（3分）为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是70分钟．作业时长（单位：分钟）5060708090人数（单位：人）14622【分析】根据众数的定义即可解决问题．【解答】解：∵70分钟出现了6次，它的次数最多，∴众数是70分钟．故答案为：70．【点评】本题考查了确定一组数据的众数的能力．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．14．（3分）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为100°．【分析】先根据平行线的性质得到∠OCA＝∠BOC＝40°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠AOC的度数．【解答】解：∵AC∥半径OB，∴∠OCA＝∠BOC＝40°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠OCA＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案为：100°．【点评】本题考查了三角形内角和：三角形内角和是180°．也考查了等腰三角形的性质和圆的认识．15．（4分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜2且k≠1．【分析】根据一元二次方程解的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（k﹣1）＞0，解得k＜2且k≠1，所以k的取值范围是k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（4分）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则经过点A的函数图象表达式为y＝﹣．【分析】作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，根据△OAB是等腰直角三角形，可证明△BOC≌△OAD，利用反比例函数k的几何意义得到S△OBC＝，则S△OAD＝，所以|k|＝，然后求出k得到经过点A的反比例函数解析式．【解答】解：如图，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴∠ADO＝∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOC＝∠DAO，∵OB＝OA，∴△BOC≌△OAD（AAS），∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△OBC＝，∴S△OAD＝，∴k＝﹣1，∴经过点A的反比例函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．17．（4分）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．【分析】设AD交EH于点R，由矩形EFGH的边FG在BC上证明EH∥BC，∠EFC＝90°，则△AEH∽△ABC，得＝，其中BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，可以列出方程＝，解方程求出EH的值即可．【解答】解：设AD交EH于点R，∵矩形EFGH的边FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于点D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的长为，故答案为：．【点评】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．18．（4分）如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y＝x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则点A2022的横坐标是（22023﹣2）．【分析】求出直线y＝x+2与x轴、y轴的交点坐标，由题意可得∠OCA＝30°，∠OB1A1＝90°，则△A1B1C、△A2B2C、……是含30°角的直角三角形，可得出A1B1＝4＝22，A2B2＝8＝23，……，可得A1（2，4），A2（6，8），由此得出规律，即可求解．【解答】解：如图：∵直线y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x+2＝0，解得x＝﹣2，∴A（0，2），C（﹣2，0），∴OA＝2，OC＝2，∴∠OCA＝30°，∵△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，∴∠AA1B1、∠AA2B2＝60°，A1B1＝AB1＝AC＝2OA＝4，……∴△A1B1C、△A2B2C、……是含30°角的直角三角形，∴A1B1＝4＝22，A2B2＝8＝23，……，∴OB1＝A1B1﹣OC＝4＝2，OB2＝A2B2﹣OC＝8＝6，∴A1（2，4），A2（6，8），……∴An[（2n+1﹣2），2n+1]，∴点A2022的横坐标是（22023﹣2），故答案为：（22023﹣2）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，归纳出An的坐标规律是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（8分）（1）计算：（+2）（﹣2）+÷﹣（﹣）0+（﹣2sin30°）2022；（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝3，y＝2．【分析】（1）根据平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则计算；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝（）2﹣22+﹣1+（﹣2×）2022＝3﹣4+4﹣1+1＝3；（2）原式＝[﹣]•＝•＝，当x＝3，y＝2时，原式＝＝5．【点评】本题考查的是实数的混合运算、分式的化简求值，掌握平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则、分式的混合运算法则是解题的关键．20．（8分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了200名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．【分析】（1）由D的人数除以所占的比例即可；（2）求出C的人数，补全条形统计图即可；（3）由该校共有学生乘以参加B项活动的学生所占的比例即可；（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷＝200（名），故答案为：200；（2）C的人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（名），补全条形统计图如下：（3）1280×＝512（名），答：估计参加B项活动的学生为512名；（4）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为＝．【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠DBC＝∠OCB，证明OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，根据切线的判定定理证明结论；（2）过点O作OH⊥BC于H，根据垂径定理得到BH＝HC，根据余弦的定义求出BH，进而求出BC，根据正弦的定义求出OH，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∵BD⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC为⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥BC于H，则BH＝HC，在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，∴BH＝OB•cos∠OBH＝2×＝，OH＝OB＝1，∴BC＝2，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×2×1＝﹣．【点评】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．22．（8分）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据锐角三角函数的定义可求出AD的长度，然后即可求出AC的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高约为78m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义．23．（8分）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【分析】（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为w元，由题意得w＝﹣m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2（150﹣m），然后由一次函数的性质即可得出结论．【解答】解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意得：，解得：x＝5，经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，则5×（1﹣20%）＝4，答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为w元，由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴m≥2（150﹣m），解得：m≥100，∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，则150﹣m＝50，答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣，﹣2）；当P点在M点下方时，同理M（3+t，2），可求M点坐标为（1﹣，2）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，