普通物理专题研究-研究生课程(力学)

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一、功和能1.作功和质点的动能定理在牛顿力学范围内，作功与质点的动能增量之间的关系

可由牛顿第二定律径直导出。对选定的惯性系，牛顿第二定律可写成：dvFm

将上式两边同时点乘质点在空间的微小位移drdvdrFdrmdrmdvmvdvdtdt

dt

积分可得：1212AFdr2mv2mv0,(质点的动能定理)F:质点所受的合外力；m:质点质量；v:质点速度。B

1212AFdr2mv2mv0,(质点的动能定理)B

左边表示作用在质点上的合力的功，作功是用作

用在质点上的力与质点位移的标积定义的。由于牛顿第二定律中的v是质点的速度，点乘的位移dr需要是质点的位移，dv才可以积分。v所以功的定义中关于位移的说法，应当是质点的

位移，具体例证见下面的争论。

2.关于功的定义的争论长期以来，不同教材对作功有不同定义，主要区

别在于对作功中的位移这个量有不同的说法。①质点位移；②物体位移；③力的作用点位移。假如争论的对象是质点，三种说法用于处理详细

问题得到的结果是全都的；假如争论质点组，差别就表现出来了。

例：关于人走路一种观点：人能够走动是靠地面的摩擦力作用。这种

观点认为，从功和能的角度看，人由静止到移动，具有

肯定的动能，肯定是什么力对人作了功。地面对人有摩擦力，人有位移，力乘以位移就是功，即摩擦力对人作功，获得动能。另一种观点：从普遍的能量转化和守恒定律去分析：

人走动时动能的增量是从人的机体内部生物化学能转化而来，人不吃饭那么没有能量补充是走不动路的。再说人假如抬腿走路，位移是向上的，而摩擦力是切向的，摩

擦力不作功。

两种观点反映出对功的定义的不同理解。

第一种观点是用人体位移来定义功，也就是用“物体位

移”来定义功。对于一个内部有相对运动的质点组，各个质点没有共同的位移，所谓物体的位移是指质心的位移。据质心定理：dvcFi外MdtM:质点组总质量；vc:质心的速度用dRc表示质心的位移，上式两边点乘以dRcdvcdRcFi外dRcMdtdRcMdtdvcMvcdvc121Fi外dRcMvcMvc2022上式左边不含保守内力功(质点组有非保守内力)

121Fi外dRcMvcMvc2022由质心的位移计算的“功”与质心动能改变关系

没有反应出机械能

与其他形式能量的转化，说明

按此计算功，不能全面和本质反映功能关系，这种定义不足取，还是用质点位移定义功为好。

在分析人走路时，认为地面摩擦力不作功是正确的。这

种观点是按质点位移计算功。地面静摩擦力是作用在人脚上，脚没有提起也就没有位移，脚一旦提起，静摩擦

力消逝，因此也不作功。据功能原理

W非保=E-E0

人走动时获得的机械能增量是成对内部非保守力做功的

结果。而这些功正是生物化学能转化而来。至于人走动

时需要依靠地面的静摩擦力，仅仅是地面的静摩擦力为人的走动提供了条件(地面假如没有静摩擦力，人走动要消耗体内更多能量，假设有滑动摩擦力，那么需克服滑动摩擦力作功)。

关于用“力的作用点位移”来计算功也是一个不

准确的概念。例：dr作用点dvFdr作用点mdr作用点mdvmv作用点dvdtdtv是质点的速度，而v作用点是力的作用点的速度，因此不能积出质点动能的增量，可见这种功的定义失去了意义。有时质点有位移，作用点没有位移。如人走路：脚(质点)有向上位移，地面作用点，脚提起，作用点消逝，落地时没位移。

3.功与参照系的关系

功的定义是作用在质点上的力F与质点位移dr的标量积。WBA

Fdr

依据功的定义，并没有提出有关参照系的选择的限制，

我们可以在任何一个参照系中去计算功，而不论是否是惯性系，只不过在不同参照系中计算功有不同的结果而已。但由质点动能定理：

力F对质点所作的功却需要是在惯性系中进行。

1212Wmv2mv122

这是由于，在推导动能定理中用到牛顿第二定律，

而牛顿第二定律在惯性系中成立。在应用动能定理争论问题时，需要对同一惯性系

去计算功及动能增量。在非惯性系中，作为出发点的牛顿第二定律还要

加上惯性力，这时假设在非惯性系中运用动能定理

求功，需计算惯性力的功。

争论：不同参照系计算摩擦力作功的争议。当一个物体在地面上滑动时，地面上的观测者认

为，摩擦力对物体作了负功。而相对物体静止的但物体没有位移，摩擦力不作功。两个不同的观测者(参照系)对摩擦力对物体作

车上的观测者认为，物体虽受地面摩擦力的作用，

功得出不同结论，从他们不同的参照系看自然是正确的。但是，当我们从“摩擦生热”这个角度去分析这个例子时，发觉涌现了冲突。

摩擦生热，物体温度上升这个结果对任何观测者(参照

系)都是一样。但按上例

中，车上观测者讲，由于摩擦力对物体不作功，物体温度不变。功的定义规定了功在不同的参照系中有不同的结果，即

功的计算依靠于参照系的选择。而“摩擦生热”现象告

诉我们摩擦力作功不应当依靠于参照系的选择，如何将两者统一起来？当参照系变换到车上以后，摩擦力对物体虽不作功，而

作用在地面上的摩擦力的反作用力却由于地面相对于车有位移，对地面作功。这个反作用力的功往往简单被忽

略。

问题关键：在争论摩擦生热现象时，需要同时考

虑摩擦力作功和摩擦力的反作用力作功之和，以这一对作用力与反作用力功之和去量度有多少机

械能转化为热运动能量。可以证明，一对滑动摩擦力作功之和是不随参照

系变换而变换的(不论变换到惯性系还是非惯性系)。从物理角度看，正是普遍的能量转化和守恒定律

的一种表现：机械能和热运动能量之间的转化与

守恒是不依靠参照系的选择的。

结论：凡遵从牛顿第三定律的作用力与反作用力作功之

和均与参照系的选择无关。不论选取的参照系是惯性系还是非惯性系，也不论争论的是摩擦力还是其他性质的力，这个结论都是正确的。详见后面的证明。

4.作用力与反作用力的功

证明不论参照系怎样变换，作用力与反作用力作

功之和与参照系的选择无关。设m1、m2组成的系统，它们之间相互作用力分别为f1和f2,在某参照系S中，它们t时刻位置矢量分别为r1和r2,在dt时间内，两质点位移分别为dr1、dr2。作用力与反作用力的功为W1和W2,二者之和：W1W2f1dr1f2dr2

假设有另一参照系S,在t时刻，S相对S的速度为v。在dt时间内，m1相对S参照系的位移为dr1,S相对S的位移为vdt,m1相对S的位移为dr1,三者之间的相对关系：dr1dr1vdt,rrvt,伽利略变换)(因dr1dr1vdt那么相对S系来计算f1对m1作的功W1f1dr1f1dr1f1vdt同理，m2相对S系的位移dr2为dr2dr2vdt那么相对S系来计算f2对m2作的功W2f2dr2f2dr2f2vdt

相对S系，作用力与反作用力作功之和为：W1W2f1dr1f2dr2f1dr1f2dr2(f1f2)vdt据牛顿第三定律f1f20,故有W1W2f1dr1

f2dr2W1W2所以上式说明，在任何参照系里(不论是否是惯性系),一对作用力功与反作用力功之和都相同。

由于S和S是任意选取的，它们之间相对运动速度可取任意值。

5.物体系的势能

在一般的教科书中讲授势能时，都强调了势能属

于物体系的概念，但很少进行深入的争论。下面以重力势能为例加以争论：质量为m的质点沿任意路径移动，重力对质点作

功为

W=-(mgh2-mgh1)

重力是保守力，引出势能的概念，保守力作功等于势能增量的负值：

W保=-(EP2-EP1)

并强调重力势能属于地球和质点组成的系统所共有。由

此产生疑问：①mg是作用在质点m上的重力，这里并没有分析地球的

受力和运动，怎么把地球作为讨论对象？②质点和地球处在不同地位，又有什么依据把作为参考

系的地球作为讨论对象呢？③假如用重力作功的负值定义重力势能增量,重力对质

点作功是随参考系的不同选取而改变。例如，以地面为参考系，重力对质点作功为-(mgh2-mgh1),重力势能增量为mgh2-mgh1,假如选取相对于m为静止的参考系，重力对质点不作功，岂不是得出重力势能增量为零的结论？这个结论显着不合理。

如何说明上述疑