导数的概念及运算（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练

第9讲导数的概念及运算

学校姓名班级

一、知识梳理

1.导数的概念

./(0+A.r)—/(0)

⑴称函数y=/(x)在x=xo处的瞬时变化率‘工△?为函数y=

危)

1/(.r„+A.r)—/(.r0)

在x=x0处的导数，记作/(xo),即/'(xo)—---------3--------.

(2)在兀0的定义域内，/(x)是一个函数，这个函数通常称为函数丁=/)的导函

f(JC△.?,)—/(支)

hm、

r

数，记作1(x)(或.M,yx),即/(x)=/=yj=a-。△]，导函

数也简称为导数.

2.导数的几何意义

/(xo)是曲线y=/a)在点(xo,4xo))处的切线的斜率，从而在点(xo,.於啕)处的切线

方程为"一/(XQ)=/'(XQ)•(X—X。).

3.基本初等函数的导数公式

(1)C=O；(2)(y)'=3二1；

1

(3)(谈)'=出/。；(4)(logx)，=----；

(/xlna

(5)(sinx)=cosx；(6)(cosx)'=-sinx；

,1

(7)(e、)'=叱；(8)(lnx)'=二.

x

4.导数的运算法则

如果/(x),g(x)都可导，则有:

(l)[Ax)±g(x)「=£包%富1；

(2)[/U)g(x)[=%x)g(x)+〃x)g<x)；

⑶『0)i'二/

[g(%)J"LI2恁(x)#0)；

(4)[WT=QM

5.复合函数的导数

如果函数y=/（〃）与〃=g（x）的复合函数为夕=//（》）=/收（》）），则复合函数的导数

万（X）与/（〃），g，（x）之间的关系为

〃（X）=[Ag（x））]'=/3）g'（x）=/（g（x））g〈x）,即%'=山仁

二、考点和典型例题

1、导数的概念及几何意义

【典例1-1]（2022•河北•模拟预测）曲线y=e，sinx在x=0处的切线斜率为（）

A.0B.1C.2D.-2

【典例1-2]（2022•山东枣庄•三模）曲线尸^+苏+。在点用。,0）处的切线与直线

x-y-2=0垂直，则c的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

【典例1-3】（2022•湖北•宜城市第一中学高三阶段练习）若过点（。,6）可以作曲线

y=x-1(x>0)的两条切线，贝IJ(

)

A.b>a>0B.a—vbv0<a

a

C.0<a——<b<aD.a>b>a--Q^a>0

【典例1-4】（2022•广西广西♦模拟预测（理））曲线y=d+|在点处的切线方程为

（）

A.y=3x+3B.y=3x+1C.y=-3x-]D.y=-3x-3

【典例1-5】（2022•河南洛阳•三模（理））若过点尸（1J）可作出曲线y=x3的三条切线，则

实数f的取值范围是（）

A.（«,1）B.（0,+8）C.（0,1）D.{0,1}

2、导数的运算

【典例2-1】（2022•陕西・西安中学模拟预测（文））已知函数“X）的导函数为/'（x）,且

满足〃x)=2矿⑴+lnx,则八1)=()

A.1B.--C.-1D.e

2

【典例2-2】(2022•全国•河源市河源中学模拟预测)已知实数x满足

2/(x)+矿(x)=2xcos2x+2(cosx+sinx)2,x>0,/^=5,那么/(兀)的值为()

A.0B.1C.2D.万

【典例2-3】(2022•全国•高三专题练习)若函数/(x),g(x)满足/(x)+xg(x)=x2-i,且

/(1)=1，则/'⑴+以】)=()

A.1B.2C.3D.4

【典例2-4】(2022•江苏盐城•三模)已知/'(x)为〃x)的导函数，且满足"0)=1,对任

意的x总有2/'(X)-/(X)>2,则不等式〃x)+223。的解集为.

【典例2-5】(2022•全国・赣州市第三中学模拟预测(理))已知

2/(x)+A/'^X)=2.rcos2x+2(cosx+sinx)2,且x>0,/(y1=5,那么〃乃)=

3、导数运算的综合

【典例3-1】(2020•陕西•咸阳市高新一中高三阶段练习(理))已知/(X)="3+3X2+2,

且/'(7)=4,则实数a的值为()

19c16_13-10

A.—B.—C.—D.—

3333

【典例3-2】(2022・河南•方城第一高级中学模拟预测(理))已知直线/的斜率为2,/与曲

线G：y=x(l+lnx)和圆C?：/+，一6%+〃=0均相切，则〃=()

A.-4B.-1C.1D.4

【典例3-3】(2022•山西太原•二模(理))已知函数/(x)=asinx+6cosx+cx图象上存在

两条互相垂直的切线，且/+〃=i,则a+6+c的最大值为()

A.273B.272C.mD.V2

ae‘-r>o

【典例3-4】（2022•江西南昌•二模（理））已知函数〃（x）=〈J一八（。>°），若函数

ae,x<0

/（》）的图象上存在两个点力（马,必），8（马,为），满足必必一再工2<°，则〃的取值范围为

（）

A.a>2