2023-2024学年人教A版必修第二册 第十章　概率与其他知识的综合问题 课件（66张）

三维提升课概率与其他知识的综合问题题型突破·析典例01知能演练·扣课标02目录CONTENTS01题型突破·析典例⁠

⁠题型一概率与函数、方程的综合问题【例1】

（1）已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是（

）D.1解析

（1）因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9（如下表所示）.

ba

1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）

（2）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是

⁠.

通性通法

对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.解决此类问题只需表示出方程（组）的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.⁠

⁠有一道关于“冰糖葫芦”的题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的冰糖葫芦，冰糖葫芦有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子.若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个冰糖葫芦，则这个冰糖葫芦是5个山楂的概率为（

）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

题型二概率与统计的综合问题角度一：古典概型与统计的综合问题【例2】

某高校为了“制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力”的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：时）并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数a（精确到0.01）；

（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间在[6.5，7.5），[7.5，8.5）内的学生中抽取6名参加座谈会.①你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；②从这6名学生中随机抽取2人，求至多有1人每周阅读时间在[7.5，8.5）内的概率.解

（2）①应从每周阅读时间在[6.5，7.5）内的学生中抽取2名，从每周阅读时间在[7.5，8.5）内的学生中抽取4名.理由：每周阅读时间在[6.5，7.5）内与每周阅读时间在[7.5，8.5）内是差异明显且不重叠的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层随机抽样的方法抽取样本，∵两者频率分别为0.1，0.2，∴应按照1∶2的比例进行名额分配.

角度二：相互独立事件的概率与统计的综合问题【例3】

某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（3）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小.（结论不要求证明）解

（3）p0＞p1.通性通法解决概率与统计综合问题的一般步骤⁠

⁠为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，4，3个监测站，并以9个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量.（1）若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平均值为115，求重度污染区AQI平均值；解：（1）设重度污染区AQI平均值为x，根据题意得119×9＝70×2＋115×4＋3x，解得x＝157.故重度污染区AQI平均值为157.（2）如图是2023年6月份30天的AQI的频率分布直方图，6月份仅有1天AQI在[140，150）内.①某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率作为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从6月份AQI不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中AQI在[170，200）内的概率.

02知能演练·扣课标⁠

⁠1.一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（

）

2.某商场对某一商品搞活动，已知该商品每个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示.从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为（

）

3.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0～25dB（分贝），并规定测试值在区间（0，5]为非常优秀，测试值在区间（5，10]为优秀.对500人进行了听力测试，从中随机抽取了50人的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图，从总体的500人中随机抽取1人，估计其测试值在区间（0，10]内的概率为（

）A.0.2B.0.8C.0.02D.0.08解析：根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间（0，10]内的频率为：1－（0.06＋0.08＋0.02）×5＝1－0.8＝0.2，以频率估计概率，故从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间（0，10]内的概率为0.2，故选A.4.在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程ax2＋2bx＋1＝0有2个不相等的实数根的概率为（

）

5.全球智能手机市场销量持续增长乏力已经是不争的事实，但折叠屏手机却走出逆势，成为行业唯一增长的高端机品类.如图是某数据公司统计的2023年第一季度中国折叠屏手机市场份额.现有2023年第一季度中国折叠屏手机市场份额超过5%的品牌折叠屏手机各一部，从中任取2部手机，则其中有A品牌折叠屏手机的概率为（

）

6.二进制是以2为基数代表系统的二进位制，通常用0和1表示.二进制数011（2）化为十进制的计算公式如下：011（2）＝0×22＋1×21＋1×20＝3.若从二进制数11（2），00（2），10（2），01（2）中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（

）

7.四张卡片的正面分别写上y＝｜cosx｜，y＝tanx＋2sinx，y＝｜sinx｜＋sin｜x｜，y＝sinx＋cosx＋｜sinx－cosx｜，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为（

）

8.班级举行知识竞猜闯关活动，设置了A，B，C三个问题.答题者可自行决定答三题顺序.甲有60%的可能答对问题A，80%的可能答对问题B，50%的可能答对问题C.记答题者连续答对两题的概率为p，要使得p最大，他应该先回答（

）A.问题AB.问题BC.问题A，B和C都可以D.问题C解析：①若先回答问题A，则答题顺序可能为A，B，C和A，C，B，当答题顺序为A，B，C且连对两题时，p＝0.6×0.8×（1－0.5）＋（1－0.6）×0.8×0.5＝0.4；当答题顺序为A，C，B且连对两题时，p＝0.6×0.5×（1－0.8）＋（1－0.6）×0.5×0.8＝0.22.∴先回答问题A，连对两题的概率为0.4＋0.22＝0.62；②若先回答问题B，则答题顺序可能为B，A，C和B，C，A，当答题顺序为B，A，C且连对两题时，p＝0.8×0.6×（1－0.5）＋（1－0.8）×0.6×0.5＝0.3；当答题顺序为B，C，A且连对两题时，p＝0.8×0.5×（1－0.6）＋（1－0.8）×0.5×0.6＝0.22.∴先回答问题B，连对两题的概率为0.3＋0.22＝0.52；③若先回答问题C，则答题顺序可能为C，A，B和C，B，A，当答题顺序为C，A，B且连对两题时，p＝0.5×0.6×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.6×0.8＝0.3；当答题顺序为C，B，A且连对两题时，p＝0.5×0.8×（1－0.6）＋（1－0.5）×0.8×0.6＝0.4.∴先回答问题C，连对两题的概率为0.3＋0.4＝0.7.∵0.7＞0.62＞0.52，∴要使p最大，应先回答问题C.故选D.9.（多选）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下面的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××A.顾客购买乙商品的概率最大B.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C.顾客在甲、乙、丙、丁4种商品中同时购买3种商品的概率约为0.3D.顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2根据表中数据，下列结论中正确的有（

）

10.（多选）第七届世界智能大会于2023年5月在天津举办，志愿者的服务工作是此届世界智能大会成功举办的重要保障.某高校承办了天津志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组，得到如下表格.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.则（

）组号分组频率/组距第一组[45，55）a第二组[55，65）b第三组[65，75）0.045第四组[75，85）0.020第五组[85，95]aA.a＝0.005B.b＝0.025C.若本次志愿者选拔录取率为19%，则录取分数线为80解析：由题意可知10a＋（0.045＋0.02）×10＝0.7，（2a＋b＋0.045＋0.02）×10＝1，解得a＝0.005，b＝0.025，A、B选项正确；由题表得成绩在[75，85）和[85，95]的频率分别为0.020×10＝0.2和0.005×10＝0.05，若本次志愿者选拔录取率为19%，则录取分数线应落在第四组，设录取分数线为x，则0.02×（85－x）＋0.05＝0.19，解得x＝78，C选项错误；

11.（多选）某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男、女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把测评结果转化为个人的素养指标x和y（如图），其中“*”表示男同学，“＋”表示女同学.若0＜x＜0.6，则认定该同学为“初级水平”；若0.6≤x≤0.8，则认定该同学为“中级水平”；若0.8＜x≤1，则认定该同学为“高级水平”.若y≥100，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”；否则为“不具备明显艺术发展潜质”.下列说法中，正确的有（

）A.50名参加测试的女同学中，指标0＜x＜0.6的有20人C.50名参加测试的男同学中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有24人

C.事件“X1＝6”与“X＝0”互斥D.事件“X2＝1”与“X＝0”对立

13.已知a，b∈{－2，－1，1，2}，若向量m＝（a，b），n＝（1，1），则向量m与n所成的角为锐角的概率是

⁠.

14.用红、黄、蓝三种不同颜色给如图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是

⁠，3个矩形颜色都不同的概率是

⁠.

解析：所有可能的样本点共有27（个），如图所示：

15.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，在正八面体的六个顶点中任取三个构成三角形，则这三个点能构成等腰直角三角形的概率是

⁠.

16.我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果.已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为

⁠.

17.为培养青少年的阅读兴趣、养成阅读习惯、提高阅读能力，不断增强思想道德素质和科学文化素质，某市中小学（幼儿园）实施“大阅读工程”.某学校有小学生600人，初中生400人，为了解全校学生的课外阅读时间，学校采用分层随机抽样的方法，抽取了100名学生的阅读登记册，对11月和12月（按60天计算）的课外阅读时间进行统计调查，并将样本中的小学生和初中生按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，得其频率分布直方图如图所示.（1）活动规定：小学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时，若该校小学生课外阅读的平均时间低于规定时间，则学校应适当增设阅读课.根据以上抽样调查数据判断该校是否需要在小学部增设阅读课（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；解：（1）由题图得小学生的课外阅读时间在[30，40）内的频率为1－0.05－0.3－0.4－