2024年湖南省衡阳市珠晖区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年湖南省衡阳市珠晖区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．中秋节晚上一定能看到月亮 B．明天的气温一定会比今天的高 C．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定会中奖 D．地球上，上抛的篮球一定会下落3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+1的对称轴是（）A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝14．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，则⊙O的直径AB为（）A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．20247．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则∠α的度数是（）A．50° B．60° C．40° D．30°8．（3分）已知二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y19．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°（）A．64° B．61° C．62° D．60°10．（3分）已知三角形的两条边分别是3和8，第三边是方程x2﹣13x+42＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或18 B．17 C．18 D．不能确定二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+2的顶点坐标为．13．（3分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼条．14．（3分）已知a是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则﹣a2+2a＝．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上．16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径画弧，过点C作CE∥AB，交于点E，则的值为．三、解答题（共5小题，共52分.解答应写出过程）17．（8分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．18．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）（1）求反比例函数的解析式；（2）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时19．（10分）一辆汽车匀速通过某段高速公路，所需时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h），其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A（80，2），B（m，1）．（1）求k与m的值；（2）受天气影响，若行驶速度不得超过120km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？20．（12分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD•BE＝AD•DE．21．（14分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（1，m），平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？

2024年湖南省衡阳市珠晖区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．（3分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，故选：C．2．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．中秋节晚上一定能看到月亮 B．明天的气温一定会比今天的高 C．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定会中奖 D．地球上，上抛的篮球一定会下落【解答】解：A、可能发生，是随机事件；B、可能发生，是随机事件；C、可能发生，是随机事件；D、是一定会发生的事件，符合题意；故选：D．3．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+1的对称轴是（）A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝1【解答】解：∵y＝2（x+3）4+1，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，4）．故选：B．4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣2×1×3＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，则⊙O的直径AB为（）A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm【解答】解：如图，连接OD，∵BC＝CD＝DA＝4cm，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4cm，∴⊙O的直径AB为2cm．故选：D．6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（）A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024【解答】解：将x＝1代入ax2+bx﹣2＝0，得a+b﹣4＝5，∴a+b＝4，∴2027﹣a﹣b＝2027﹣（a+b）＝2027﹣4＝2023，故选：B．7．（3分）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则∠α的度数是（）A．50° B．60° C．40° D．30°【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°∴∠DOC＝80°﹣α∵∠A＝2∠D＝100°∴∠D＝50°∵∠C+∠D+∠DOC＝180°∴100°+50°+80°﹣α＝180°解得α＝50°故选：A．8．（3分）已知二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣3，∴a＝1＞0，开口向上，∴当x＜﹣4时，y随x的增大而减小，y随x的增大而增大，∵1＜2，∴y7＞y1，∵1﹣（﹣6）＝2，﹣1﹣（﹣6）＝1，∴y1＞y4，∴y2＞y1＞y7，故选：B．9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果∠BOD的度数为122°（）A．64° B．61° C．62° D．60°【解答】解：∵∠BOD的度数为122°，∴∠A＝BOD＝61°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝119°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝61°，故选：B．10．（3分）已知三角形的两条边分别是3和8，第三边是方程x2﹣13x+42＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或18 B．17 C．18 D．不能确定【解答】解：∵三角形的两条边分别是3和8，设第三边为a，∴8﹣3＜a＜6+2，即5＜a＜11，解方程x2﹣13x+42＝4，得：x1＝6，x5＝7，∴该方程的两个根都在a的取值范围内，∴当x＝6时，该三角形的周长为：8+8+6＝17，当x＝4时，该三角形的周长为：3+8+6＝18．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2）．【解答】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（5，故答案为（3，﹣2）．12．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+2的顶点坐标为（2，2）．【解答】解：∵抛物线y＝﹣3（x﹣2）6+2，∴抛物线y＝﹣3（x﹣6）2+2的顶点坐标为（6，2）．故答案为：（2，8）．13．（3分）为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘中捕捞了100条鱼做上标记，然后放回池塘里，再捕捞300条．若其中有标记的鱼有15条，则可估计池塘里有鱼2000条．【解答】解：估计池塘里有鱼100÷＝2000（条），故答案为：2000．14．（3分）已知a是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则﹣a2+2a＝﹣1．【解答】解：∵a是关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，∴a2﹣8a﹣1＝0，∴a2﹣2a＝1，∴﹣a2+2a＝﹣1；故答案为：﹣8．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，若点B的对应点B′落在边CD上1．【解答】解：∵矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB′C′D′，∴AB＝AB'＝5，AB＝CD＝5，∵∠D＝90°，∴B'D＝＝＝8，∴B'C＝CD﹣B'D＝1，故答案为：1．16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径画弧，过点C作CE∥AB，交于点E，则的值为．【解答】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F，过E作EG⊥AB交AB于G，连AE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵CE∥AB，∴∠FAB＝90°，∴∠FAC＝45°，∴△AFC为等腰直角三角形，设AF＝x，则CF＝x，∴AC＝＝，∴AB＝，∵AE、AB均为⊙的半径，∴AE＝2x，∴EF＝＝，∴CE＝，∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°，∴四边形FAGE为矩形，∴AF＝EG＝x，EF＝AG＝，∴BG＝AB﹣AG＝（7）x，∴BE＝＝，∴＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共52分.解答应写出过程）17．（8分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点（1）求证：△BDC∽△ABC；（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，∴△BDC∽△ABC；（2）∵△BDC∽△ABC，∴，∵BC＝4，AC＝8，∴CD＝6．18．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）（1）求反比例函数的解析式；（2）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+5的图象过点A（1，n），∴n＝﹣3+5，∴n＝4，∴点A坐标为（7，4），∵反比例函数y＝（k≠0）过点A（5，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）联立，解得或，即点B的坐标（2，1），若一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠2）的值，则1＜x＜4．19．（10分）一辆汽车匀速通过某段高速公路，所需时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h），其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A（80，2），B（m，1）．（1）求k与m的值；（2）受天气影响，若行驶速度不得超过120km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？【解答】解：（1）把A（80，2）代入，即2＝，解得k＝160，则反比例函数的解析式是，把（m，3）代入得m＝160，∴k的值为160，m的值为160；（2）把v＝120代入解析式，解得t＝，∴汽车通过该路段最少需要h．20．（12分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠BAC，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线．（2）求证：CD•BE＝AD•DE．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE