2024年中考数学压轴题预测《圆的综合压轴题》及答案解析

圆的罐含蒸命题

命题趋势

中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类:

圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类,也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

热考题型解读

考向一

考向二

考向三

考向四

考向五

考向六

考向一

［题目］工］（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆。，AB=50cm,

如图1和图2所示，上W为水面截线，GH为台面截线，AW〃GH.

计算:在图1中，已知AW=48cm，作OdW于点C.

FEH

（1）求oc的长.

操作:将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分，当NANM=30°时停止滚动.如图

2.其中,半圆的中点为Q,与半圆的切点为E,连接OE交于点。.

探究:在图2中.

（2）操作后水面高度下降了多少？

（3）连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与觉的长度,并比较大小.

•1•

【分析】(1)连接OM,利用垂径定理得出MC=yMN=24cm,由勾股定理计算即可得出答案；

⑵由切线的性质证明OE工GH,进而得到OE_LAW,利用锐角三角函数的定义求出O。，再与⑴中

。。相减即可得出答案；

(3)由半圆的中点为Q得到/QOB=90°,得到/QOE=30°,分别求出线段EF与迎的长度，再相减比

较即可.

【解答】解：⑴连接OM,

・・・O为圆心，OC_LMN于点C,MN=48cm,

：.MC=圆的综合压轴题(解析版)MN=24cm,

AB—50cm,

/.OM—圆的综合压轴题(解析版)4B=25cm,

在Rt/\OMC中，OC=y/OM2-MC2=V252-242=7(cm);

图1

(2)TGH与半圆的切点为E,

：.OE_LGH,

•：MN//GH,

：.OE_LMN于，&D,

,/AANM=30°,ON=25cm,

：.OD^^ON^^-C7t,

操作后水面高度下降鬲度为：----7=---C7T；

⑶•••OE_LMV于点。，/ANM=30°,

：./DOB=60°,

•.•半圆的中点为Q,

AQ—QB,

.-.ZQOB=90°,

二/QOE=30°,

EF=tanNQOEPE=^y^(cm),

々的长为3°25=爷(皿)，

..25V325_5073-25^_25(273-^)

•———『=-6—=6>0'

：.EF>EQ.

题百团(2023•乐山)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动.

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：

如图1,将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转9到达的位置△ABC的位置，那么可以得到：

AB^AB',AC^AC,BC=BC；

ABAC=AB'AC,/ABC=AAB'C,NACB=AAC'B'.(______)

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规好而“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决

图形旋转的关键.故数学就是一门哲学.

【问题解决】

(1)上述问题情境中“()”处应填理由:旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；

•2•

（2）如图2,小王将一个半径为4cm,圆心角为60。的扇形纸板ABC绕点。逆时针旋转90°到达扇形纸板

A'B'C的位置.

①请在图中作出点O；

②如果B9=6cm,则在旋转过程中，点B经过的路径长为学cm；

［问题拓展］

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置.另

一个在弧的中点处固定,然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止.止匕时，两个纸板重叠部分的面积是

多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题.

图1图2图3

【分析】【问题解决】

（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；

（2）①作线段BB',A4的垂直平分线，两垂直平分线交于O,点。为所求：

②由/BOB，=90°,OB=。0,可得08=*=3四,再用弧长公式可得答案;

【问题拓展】

AM2

连接P4,交AC于河,连接PA,PD,AA',PB',PC,求出A'D,DM=

cosZ-PAB'cos3003

^A'D=竽，可得SAA，DP=/*竽*4=竽；S扇影PA，B'=307rx42苧，证■明空4PCD

360O

平等(cn?).

【解答】解：【问题解决】

（1）根据题意，AB=AB',AC=AC',BC=B'C'-,ZBAC=AB'AC,AABC=AAB'C,ZACB=

/AC旧的理由是:旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，

故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；

（2）①如图:

作线段447的垂直平分线，两垂直平分线交于O,点O为所求；

②•/ABOB'=90°,OB=OB',

/.ABOB'是等腰直角三角形，

•/BB'=6,

OB==3^/2^,

..907rx3号_36穴।

(cm),

1802

.•.点B经过的路径长为金光cm,

•3・

故答案为：与当匹cm;

【问题拓展】

连接P4,交于河，连接24,「。，44',93',?。,如图：

♦.•点P为后0中点，

APAB=ZPAC=-yZBAC=30°,

由旋转得APA'B'=30°,PA=P4=4,

在Rt/\PAM中，PM—PA•sin/.PAM—4Xsin30°=2,

・・.AfM=PA!-PM=4-2=2,

在7?以4。河中，

A'D=—-=—-—=,DM=—A'D=

cosZ.PABcos30°323

.•.S*/X手、4=胃；

a,_30-义4、__4TT_

扇形PAB~360一飞一'

下面证明阴影部分关于对称：

•・・APAC="A旧=30°,4ADN=AA!DM,

：.NA7VD=/4MD=90°,

・・・APNAf=9Q°,

,

：.PN=^-PA=2f

・•.AN=PA—PN=2,

f

・・.AN=AMf

・•・/\AND笑Z\4MD(AAS),

・・・AD=4，

：.CD=BrD,

•：PD=PD,PBf=PC,

：./\PBrD空AFCD(SSS),

・・・阴影部分面积被PO等分，

•Q—2(S1—9)—2(4"_4A/^)—8>-(

••Q阴影―扇形P4B^^A'DP)—3g)—31(

两个纸板重叠部分的面积是8"8，^cm2.

o

考向二:圆与全等三角形综合题

寂目回（2023-济宁）如图，已知AB是。O的直径，CD=CB,BE切0O于点B,过点。作CF±OE交

BE于点、F,EF=2BF.

⑴如图1,连接BD,求证：△ADB笃△OBE；

⑵如图2,N是4D上一点，在上取一点使/MCN=60°,连接的V.请问：三条线段皿N,

DN有怎样的数量关系？并证明你的结论.

-4■

【分析】⑴根据CF_LOE,。。是半径，可得CF是圆。的切线，根据BE是圆O的切线，由切线长定理可

得BF=CF,进而根据sinE=^=!，得出ZS=30°,/EOB=60°,根据CD=CB得出6D='，根

据垂径定理的推论得出OC_LBD,进而得出乙42汨=90°=NEBO,根据含30度角的直角三角形的性

质，得出A。=BO=^48,即可证明空AOEB(AAS);

⑵延长ND至H使得，连接根据圆内接四边形对角互补得出证

明AHDC竺4MBC(SAS)，结合已知条件证明4CNH注/\CNM(SAS)，得出NH=AW,即可得出结论.

【解答】⑴证明：:CFLOE,OC是半径，

.•.CF是圆。的切线，

〈BE是圆。的切线，

:.BF=CF,

,:EF=2BF,

：.EF=2CF,

.口CF1

SmE=EF=^'

：./E=30°,ZSOB=60°,

•：CD=CB,

：.CD=CB,

：.OC±BD,

•.•48是直径，

/./ADB=90°=/EBO,

/E+ZEBD=90°,AABD+AEBD=90°,

/.AE=ZABD=30°,

：.AD^BO^^AB,

：.AABD笃△OEB(AAS);

(2)解：MN=BM+DN,理由如下:

延长ND至H使得DH=BM,连接CH,6。,如图2所示,

VACBM+4NDC=180°,AHDC+4NDC=180°,

4HDC=4MBC,A

•；CD=CB,DH=BM,

△HDCg4MBe(SAS),

4BCM=4DCH,CM=CH,

由(可得

1)/ABD=30°,图2

•5•

♦・•AB是直径，

・・・ZADB=90°,

/.ZA=60°,

・・・ADCB=180°-ZA=120°,

•・・/MCN=60°,

・・・ABCM+ZNCD=120°-ANCM=120°-60°=60°,

・・・ZDCH+ANCD=ANCH=60°,

・・・ANCH=ANCM,

,:NC=NC,

・・・△CW岂△CTW(SAS),

:.NH=MN,

・・.MN=DN+DH=DN+BM,

:・MN=BM+DN.

建目目(2023-哈尔滨)已知△ABC内接于OO,AB为O。的直径，N为形的中点，连接ON交AC于

⑵如图②，点。在OO上，连接。8,。0,。。,。。交。8于点后,若。8=。。,求证00〃4。；

⑶如图③，在⑵的条件下，点F在BD上，过点F作FGLDO,交。。于点G,DG=S,过点F作FR

，。及垂足为五,连接EF,E4EF：DF=3：2,点T在BC的延长线上，连接4T,过点T作TAILZX7,

交DC的延长线于点若FR=CM,4r=42,求AB的长.

【分析】(1)连接OC,证明0H是△4BC的中位线，即可得到BC=2OH;

(2)设ABDC=2a,证明4DOB空△L>OC(SSS),可得ABDO=ACDO=《NBDC=a，再推导出

ZCDO=NACD，即可证明。O//AC;

(3)连接4D,延长AE与BC交于W点，延长A。、TN交于乙点，先证明4DGF笃ACHE(AAS),得到

OF=CE,再证明ADFG空AAFH(ASA)，得到AE=OF,从而判断出四边形ADFE是矩形，得到EF±

求出tan/EDF=：，通过证明Z\FRK第△CML(AAS),推导出CL=FK=2FG=CW，再证明

/\AWC笃ATLC(AAS),则AC=TC，在Rt/\ACT中，由AT=，求出AC=CT=4,在Rt/\ABC

中，tan/B47=["=等，求出反7=6,在出△ABC中，利用勾股定理求出AB=NAC/BC?=2*.

【解答】(1)证明：如图①，连接OC,

•.•N是血的中点，

：.AN=CN,

：.AAON=NCON,

-6-

・・・OA=OC,

・•.AH=HC,

•・・OA=OBf

・・・OH是△ABC的中位线，

・・.BC=2OH;

⑵证明：如图②，设乙BZ9C=2a,

•/BD=CD,DO=DO,BO=OC,

・・・丛DOB空△OOC(SSS),图①

・•.ABDO=ZCDO=；/BDC=a,

•：OB=OD,

・・・/DBO=/BDO=a,

・・•/ACD=/ABD=a,

：.ACDO=AACD,

：.DOUAC\

⑶解:如图③，连接AD,延长AE与6。交于W点，延长AC、TM交于L点、,

：FG±OD,

・・ZDGF=90°,

：ACHE=90°9

・・ZDGF=ACHEf

・・AFDG=AECH,DG=CH,

・・dDGFm△CHE(AAS),

•.DF=CE,

：AH=CH,

\OH±AC,

・・/EHC=/DGF,

・・AH=HC,

,・A4EC是等腰三角形，

•.AE=EC,4EAC=/ECA,

：ABDO=/ODE=NECA,

・・ZEAH=AFDG,

：DG=CH,

・・DG=AH,

・・/XDFGn/XAFH(ASA),

・・AE=DF,

・・/DEA=2/ECA,ZFDE=2ZODEf

・・/FDE=/DEA,

\DF//AE,

・・四边形AEFD是平行四边形，

・・AB是圆。的直径，

・・ZAOB=90°,

••四边形ADFE是矩形，

•7•

：.EF±BDf

♦：EF:DF=3:2,

/.tan/EDF=—,

•：FR±CD,FG±DOf

・・・/ODE=/RFK=90°,

・・・/ECA=/MCL,

・・.ARFK=ALCM,

•：CM±MT,

：.ZCML=90°,

•：FR=CM,

：./\FRK注△CML(44S),

:・CL=FK=2FG,

・・・BC=2OH9EH=OH,

：.EH是△AWC的中位线,

：.CW=2EHf

•：EH=FGf

：.CL=FK=2FG=CW,

・・・/TCL=/CMT=90°,

・・・/MCL=/CTM,

・・・/ACE=AECA=ALCM,

：.ACTM=AWAC,

・•・/\AWC^ATLC(AAS),

・・・AC=TC,

在Rt4ACT中,AT=4A/2,

・・.AC=CT=4,

•：AW//BD,

・•.ZBAW=ZDBC,

・・・ZDBO=/EDO,/EAC=ABDO=/ODE,

：./BAC=/BDE,

在Rt/\ABC中,tan/BAC=得=等,

/AC

BC=6,

在Rt/\ABC中，AB=-^AC2+BC2=2V13.

；题目回(2023-长春)【感知】如图①，点4B、P均在。。上，乙406=90°,则锐角AAPB的大小为

45度.

雨布小明遇到这样一个问题:如图②，OO是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上(点P不与

点A、C重合)，连接PA、PB、PC.求证：PB=H4+PC.小明发现，延长P4至点E,使AE=P。，连

接BE,通过证明△PBC空/XEBA.可推得△_?叫是等边三角形，进而得证.下面是小明的部分证明过

程：

证明：延长P4至点E,使AE=P。，连接BE.

•.•四边形48cp是。。的内接四边形，

/.ABAP+ABCP=180°,

•8•

ZBAP+NBAE=180°,

NBCP=ZBAE,

•.•△ABC是等边三角形,

:.BA=BC,

：.△PBC空AEBA(SAS).

请你补全余下的证明过程.

【应用】如图③，。。是△AB。的外接圆，ZABC=90°,=点P在。。上，且点P与点B在AC

的两侧，连接PA、PB、PC，若PB=2®A,则梨■的值为吗.

图①图②图③

【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案；

【探究】先构造出APBC空AEBA(SAS)，得出,进而得出AFBE是等边三角形，即可得出结论；

【应用】先构造出△P8C空AGBA(SAS)，进而判断出APBG=90°,进而得出APBG是等腰直角三角形,

即可得出结论;

【解答】【感知】解：•.•乙405=90°,

/.AAPB=-yZAOB=45°(在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半),

故答案为：45;

【探究】证明：延长P4至点E,使AE=P。，连接BE.

四边形ABCP是。。的内接四边形，

ABAP+NBCP=180°,

•/ABAP+NBAE=180°,

NBCP=NBAE,

△48。是等边三南形，

：.BA=BC,

：.△PBCWAEBA(SAS),

：.PB=EB,

△ABC是等边三南形，

ZACB=60°,

/.ZAPS=60°,

.•.△PBE为等边三角形，

PB=PE=AE+AP=PC+AP;

【应用】解:如图③,

延长PA至点G,使AG=PC,连接BE.

•：四边形48cp是OO的内接四边形，

/./LBAP+ABCP=180°,

•••ABAP+/BAG=180°,

图③

■9•

2BCP=NBAG,

；BA=BC,

：.APBC名/\GBA(SAS),

/.PB=GB,4PBe=AGBA,

•：AABC=90°,

：.2PBG=ZGBA+AABP=ZPBC+AABP=4ABe=90°,

PG=72BP,

•：PG=PA+AG=PA+PC,

：.PC=PG-PA=y/2x2V2PA-PA=3PA,

.FB=2叵PA=2V2

"FC-3PA

故答案为：手

o

考向三:圆的综合证明问题

;题目回（2023-黄石）如图，AB为。。的直径，D4和OO相交于点F,AC平分/D4B,点。在。。上,

且CD_LD4,AC交BF于点P.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）求证：AC-PC=BC2；

（3）已知EC's即求筹的值.

【分析】（1）连接OC,由等腰三角形的性质得ZOAC=AOCA,再证ADAC=/OCA,则DA//OC,然后

证OC，CD,即可得出结论；

（2）由圆周角定理得AACB=90°,ADAC=2PBe,再证ABAC=/PBC,然后证△ACB〜/\BCP,得

公=里即可得出结论；

BCPC

（3）过P作PE_LAB于点E,证AC•PC=3FP•。。，再证△ACD〜/\BPC，得AC•PC=BP•。。，则

BP・DC=3FP,DC,进而得BP=3FP,然后由角平分线的性质和三角形

面积即可得出结论.

【解答】（1）证明：如图1,连接OC,

•：OA=OC,

：.AOAC^AOCA,

■：力。平分/DAB,

ADACAOAC,

/.ADAC^AOCA,

：.DAIIOC,

图1

■10•

•：CD_LDA,

：.OC工CD,

・・・C。是。O的切线；

⑵证明：・・・AB为。O的直径，

・・.ZACB=90°,

•/4。平分NO4B,

・・.ADAC=ZBAC,

・・・乙DAC=APBC,

：.ABAC=APBC,

又丁/ACB=/BCP,

・・・/\ACB〜/\BCP,

.AC=BC

"BC-FC*

・・・AC-PC=BC2;

(3)解:如图2,过P作PE_LAB于点E,

由(2)可知，47・J。=石。2,

•・・BC2=3FP・DC,

・・・AC・PC=3FP・DC,

•：CD_LDA9

：./ADC=90°,

•・・AB为。O的直径，

・・.ZBCP=90°,

・・・

4ADC=/BCP,图2

•・・ZDAC=ZCBPf

・・・/\ACD〜叔BPC,

.AC=DC

：.AC・PC=BP・DC,

:・BP・DC=3FP・DC,

:.BP=3FP,

・・・AB为。O的直径，

・・・ZAFB=90°,

：.PF±AD,

•・,4。平分/DAB,PE±AB,

・・.PF=PE,

勃・FP驯・FP

uN乙

'△APF-j

...豆嬴=>B・PE=yBP-AF

AFFPFP1

AB=BP=W=y.

题目⑦如图，在OO中，直径48垂直弦CD于点E,连接力。，4D,BC,作CF,AD于点F,交线段OB

于点G（不与点O,B重合），连接OF.

■11•

（1）若BE=L求GE的长.

（2）求证：BC2=BG-BO.

（3）若FO=FG,猜想ACAD的度数，并证明你的结论.

【分析】⑴由垂径定理可得/AED=90°,结合CF±AD可得/DAE=/FCD,根据圆周角定理可得

/DAE=乙BCD,进而可得ABCD=/FCD,通过证明4BCE咨&GCE,可得GE=BE=1;

（2）证明△ACB〜△CEB,根据对应边成比例可得BC2=BA-BE,再根据AB=2BO,BE=^-BG,可证

BC2^BG-BO；

（3）方法一：设NDAE=ACAE=a,AFOG=AFGO=五，可证a=90°-万，AOCF=90-3a,通过SAS

证明△COFgA4OF,进而可得/。CF=/OAF,即90°—3a=a■，则/CAD=2a=45°.方法二：延长

FO交AC于点H,连接OC,证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题.

【解答】（1）解:直径AB垂直弦CD,

：.ZAED=90°,

：.ADAE+ZD=90°,

•：CF±AD,

：.AFCD+ZD=9Q°,

：.ZDAE=AFCD,

由圆周角定理得ADAE=/BCD,

：.ABCD=Z.FCD,

，ZBCE=ZGCE

<CE=CE

在△BCE和△GCE中，ZBEC=ZGEC,

ABCE空AGCE（ASA'）,

:.GE=BE=\;

（2）证明：48是。。的直径，

A=90°,

ANACB=NCEB=90°,

•：/ABC=4CBE,

MACB〜4CEB,

.BC_BA

,•而一诙’

：.BC2=BA-BE,

由Q）知GE=BE,

：.BE=^BG,

■12­

•・・AB=2BO,

：.BC2=BA・BE=2BO-yBG=BG-BO;

(3)解：NC4D=45°,证明如下：

解法一:如图，连接OC,

•・・FO=FG,

・・.AFOG=AFGO,

•・,直径4B垂直弦CD,

:・CE=DE,AAED=ZAEC=90°,

,：AE=AE,

：./XACEn△ADE(SAS),

・・・/DAE=/CAE,

设/DAE=ZCAE=a,/.FOG=AFGO=/3,

则/FCD=/BCD=/DAE=a,

•・・OA=OC,

・・・AOCA=AOAC=a,

•・・ZACB=90°,

・・・AOCF=AACB-ZOCA-AFCD-/.BCD=90°—3a,

•；/CGE="GF=B,ZGCE=a,"GE+/GCE=90°,

：./3cn=90°,

/.a—90°T,

VACOG=AOAC+Z-OCA=a-\-a=2a,

：./COF=ACOG+AGOF=2a+0=2(90°一位+0=180°~13,

・・・乙COF=(AOF,

'CO=AO

,ZC0F=ZA0F

在△COR和/XAOF中，OF=OF,

・・・ACOF^AAOF(SAS),

・・.AOCF=AOAFf

即90°—3a=a,

・・.a=22.5°,

ACAD—2a—45°.

解法二：

如图，延长尸O交AC于点H,连接OC,

•：FO=FG,

・・.AFOG=AFGO,

・・・/.FOG=AFGO=ACGB=ZB,

：.BC//FH,

・・・AB是。O的直径，

・・・乙4cB=90°,

・・.ZACB=ZAHO=90°,

•：OA=OCf

•13•

:.AH=CH,

：.AF=CF,

•：CFYAD,

：./\AFC是等腰直角三角形,

/./CAO=45°.

，题目叵（2023・永州）如图，以AB为直径的。O是△ABC的外接圆，延长BC到点D使得/BAC=

/BD4,点后在"1的延长线上，点河在线段AC上，CE交BM于N,CE交AB于G.

⑴求证：石。是。。的切线；

⑵若入。=n，BD=5,求BC的长;

⑶若DE・AM=AOAD,求证：BMA.CE.

【分析】（1）由AB是。。的直径得=90°,故ABAC+乙48。=90°,由NBAC=ABDA得ABDA

+AABC=90°,有NBAD=90°，即可得证；

（2）证明△ACB〜△DC4,则等=羔=afC”,可得写=R吗〃，解得BC=2或BC=3,

ACiJCJDJJ—Voo—i5C

由AC>CD即可得到BC的长；

ACAR

（3）先证明△AB。〜△DAC,则倦=/，得到人0人。=0>_43,由£>£•AM=AD得到

DE-AM=CD-AB,故装^=禁，由同角的余角相等得ABAM=ZCDE,有/\AMBB〜/\DCE,得

DCDE

/石=/ABM，进一步得到/EGA+/石=AABM+ABGN=90°,则ABNG=90°，即可得到结论.

［解答］(］)证明：•・•AB是。O的直径,

・・.ZACB=90°,

・・.ZBAC+ZABC=90°,

•・・ABAC=ABDA,

・・.ABDA+AABC=90°f

・・."AD=90°,

・・.石。是。。的切线；

(2)解：:ABAC=ABDA,AACB=ADCA=90°,

・・・AACB-ADCA,

.BC_=AC_=4c

**AC-DC—BD—BC'

.BC_V6

-\/65—BC'

解得BC=2或BC=3,

当BC=2时，CD=BD-BC=3,

■14­

当BC=3时，CD=BD—BC=2,

•：AOCD,即

.•.BC=3;

（3）证明：AB是。。的直径,

：./ACB=/DCM=90°,

VABACABDA,

：./\ABC-NDAC,

.AC_AB

"nc-AD'

AC-ADCD-AB,

•：DE-AM^AC-AD,

：.DE.AM^CD-AB,

.AM_AB

"DC~^E!

•：ZBAM+ACAD=ACDE+ACAD=90°,

/BAM=ZCDE,

/\AMB~/\DCE,

：.NE=NABM,

•/NEGA=NBGN,

：./EGA+2E=/ABM+ABGN=90°,

/BNG=90°,

：.BM±CE.

;题目回（2023•广东）综合探究

如图1,在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC,相交于点。，点A关于BD的对称点为Ar.连接

AA,交BD于点E,连接CA'.

（1）求证：AA'±CA',

（2）以点。为圆心，OE为半径作圆.

①如图2,⑷。与CD相切,求证：AA=VSCA；

②如图3,。。与C4相切，40=1，求③。的面积.

图2

【分析】（1）根据轴对称的性质可得=AAr±根据四边形ABCD是矩形，得出OA=O。，从

而OE〃4。,从而得出44'_L；

（2）①设CD。。与CD切于点F,连接OF,并延长交AB于点G,可证得0G=OF=OE,从而得出

NEAO=ZGAO=AGBO，进而得出AEAO=30°,从而AA=V3CA;

②设OO切CA'于点连接。H,可推出AA'^2OH,CA'=2OE,从而44'=CA',进而得出AA'AC

=/4CA=45°,/AOE=/ACA'=45°,从而得出AE=OE,OD=OA=2钙，设OA=OE=c,则

0。=04=四2,在/?力八4£）后中，由勾股定理得出/+[（应—1）到2=],从而求得/=2±产，进而得

■15­

出。。的面积.

【解答】（1）证明：•・,点A关于BD的对称点为4,

：.AE=ArE,AAf±BD,

・・•四边形ABCD是矩形，

・・.OA=OC,

：.OE//AfC,

：.AA!\_CA!\

（2）①证明：如图2,

设CD。。与CD切于点尸，连接O尸，并延长交AB于点G,

：.OF_LCD,OF=OE,

・・,四边形ABCD是矩形，

；.OB=OD=[BD,ABHCD,AC=BD,OA=^-AC,

：.OG±AB,ZFDO=/GBO,OA=OB,

:"GAO=/GBO,

•：/DOF=/BOG,

：.NDOFmABOG（ASA）,

・・.OG=OF,

・・.OG=OE,

f

由⑴知：AA.LBDf

：.AEAO=AGAO,

•：/EAB+/GBO=90°,

・・・/.EAO+Z.GAO+AGBO=90°,

・・・32瓦10=90°,

・•.ZEAO=30°,

由⑴知：A4_LC4,

tan/E_AO=,

AA

tan30°=,

AA

AA=V3CA；

②解:如图3,

设。O切CA!于点H,连接OH,

：.OH_LCAf,

由（1）知：AAr_LCAf,AAf±BD,OA=OC,

：.OH//AAr,OE//CAf,

：.4coH〜△C44,△AOE〜△AC4,

.OH=PCOE^OA=1

••兀「左一万’石厂正一2‘

・・.AAf=2OH,CA!=2OE,

・・.AAf=CAf,

：.乙4/。=/4。4=45°,

・・・乙40石=乙4。4=45°,

：.AE=OE,OD=OA=V2AE,

•16•

设入石=0石=力，则OD=OA=也,

：.DE=OD—OE=(A/2—l)x,

在Rt/XADE中，由勾股定理得，

rr2+[(V2—l)rc]2=1,

.2_2+V2

••力一4,

.Q_cr?2_2+y/2_

•・S©o—7T•OE--,7T•

考向四:圆与等腰三角形的综合

10］（2023•宁波）如图，在Rt/\ABC中，/。=90°,E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC

相切于点。,连结AD,BE=3,BD=3瓜P是AB边上的动点，当AADP为等腰三角形时，AP的长

为6或2沟

【分析】连接。。，DE,根据切线的性质和勾股定理求出。。=6,然后分三种情况讨论:①当AP=P。时,

此时P与。重合，②如图2,当4P=人。时,③如图3,当DP〃=AD时，分别进行求解即可.

【解答】解:如图1,连接OD,DE,

\•半圆O与BC相切于点D,

：.OD±BC,

在RtAOBD中，OB=OE+BE=OD+3,BD=3

.-.OS^BD^+OI^,

：.(00+3)2=(3V5)2+On2,

解得00=6,

AO=EO=OO=6,

ffll

①当AP=PD时，此时P与。重合，

，AP=AO=6;

②如图2,当AP=AD时，

在Rt/\ABC中，

AC±BC,

：.OD//AC,

：./\BOD-/\BAC,

图2

•17•

ODBDBO

AC=BC=BA,

63遥3+6

AC=3"/5-H3D=3+6+6,

/.AC—10,CD—2A/5,

AD=VAC2+CD2=V100+20=2V30,

AP'=AD=2V30;

③如图3,当DP'=人。时，

•/AD=2V30,

：.DP"=AD=2V30,

•：OD=OA,

：.ZODA=ABAD,

：.OD//AC,

：.ZODA=ACAD,

：.ABAD=ACAD,

AD平分/BA。，

过点。作DH_LAE于点H,

:.AH=P"H,DH=DC=2瓜

•：AD=AD,

：.RtAADHTRt/\ADC(HL),

AH—AC—10,

AH=AC=P"H=W,

：.AP"=2AH=20(P为AB边上一点，不符合题意，舍去),

综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或2vW.

故答案为：6或2历.

题目口□（2023•上海）如图⑴所示，已知在△ABC中，AB=AC,O在边48上，点F是边08中点，以。

为圆心，B。为半径的圆分别交CB,力。于点DE,连接EF交。。于点G.

图（1）图（2）

⑴如果OG=OG,求证：四边形CEGD为平行四边形；

（2）如图（2）所示,连接OE,如果ZBAC=90°,AOFE=ADOE,AO=4,求边OB的长;

0G

（3）连接BG,如果△QBG是以03为腰的等腰三角形，且AO=OF,求0D的值.

【分析】（1）由AABC=AC,NODB=/ABC,即得NC=/ODB,O。〃AC,根据F是。B的中点，OG

=DG,知FG是△08。的中位线，故FG〃BC,即可得证；

■18•

（2）设NOFE=4DOE=a,OF=FB=a■，有OE=OB=2a,由（1）可得OD〃AC,故AAEO=4DOE

=a，得出4OFE=NAEO=a，进而证明/\AEO〜/\AFE,AE;2=AO—AF,由AE'2^EO2-AO2,有EO2

-AO2^AOxAF,解方程即可答案；

（3）AOBG是以OB为腰的等腰三角形，①当OG=OB时，②当BG=OB时，证明ABGO〜"PA,得出

0G=2

而而，设0G=2%,AP=3%,根据。G〃AB,得出△FOG〜△FAE,即得AB=2OG=4%,PE=

PC）4

AE—AP=k，连接OE丈PG于点、Q,证明&QPE〜4QGO,在4PQE与4BQO中，3

BQ=BG*H3G=2a+1*a4a尸小器黑1

33，付出0Q=BQ=4，可得〜△OQB,根据相似三角形

的性质得出a=2k,进而即可求得答案.

【解答】（1）证明：如图：

1/AC^AB,

AABC=^C,

•；OD=OB,

：.4ODB=4ABC,

：.4c=ZODB,

：.OD//AC,

■：F是OB的中点，OG=DG,

.••FG是△OBD的中位线，

：.FG//BC,^GEIICD,

：.四边形CEGD是平行四边形；

（2）解:如图:

由NOFE=2DOE,49=4,点F边OB中点，设4OFE=4DOE=a,OF=FB=a,则OE=OB=2a,

由（1）可得。。〃人。，

/.ZAEO=ADOE=a,

：.NOFE=NAEO=a,

ZA=ZA,

：.^AEO-/\AFE,

AE_AQ

AF^AE，即人炉=4>”，

在RtAAEO中，AE2=EO2To2,

EO2-AO2=AOXAF,

：.（2a）2-42=4x（4+a）,

解得：a=—2—或a=―2—（舍去），

OB=2a=1+V33;

（3）解:①当OG=OB时，点G与点。重合，不符合题意，舍去；

②当BG=OB时，延长BG交AC于点P,如图所示，

•.•点F是08的中点，AO=OF,

：.AO=OF=FB,

设AO=OF=FB=a,

■19•

•・•OG//AC,

・・・ABGO-ABFA,C

OGJB二&二2

APAB3a3,

设OG=2k,AP=3k,

•・・OG//AE,

・・・4FOG~/\FAE,

0G二OF二a1AOFB

・•・AE-AF_2a-2,

・・・AE=2OG=4k,

：.PE=AE-AP=k,

设OE交PG于点Q,

•・・OG//PE,

・•・AQPE〜AQGO,

GO二QG二OQ二2k

・・・PE"PQ'EQ,

199A

.ccWEQja,0Q=­a

..PpQn—3a,QG=3a,33AOFB

在APQE与/\BQO中，图（2）

PQ-^-aBQ=BG-H3G=2a

a

PQ_QE,1

:.OQ~BQ~4,

入NPQE=NBQO,

/1PQE〜△OQB,

PE

/.OB-"4,

k=1

/.2a飞，

a—2k,

OD—OB—2a,OG—2k,

OG=2k=k=1

:.OD"2a-a"2,

-O-G1

/.OD的值为y.

，题目亘（2023•泰州）已知：4B为圆上两定点，点。在该圆上，/C为所对的圆周角.

•20•

ccc

BB