湖南省邵阳市双清区2023-2024学年数学九年级上册期末综合测试试题含解析

湖南省邵阳市双清区2023-2024学年数学九上期末综合测试试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.有一组数据5,3,5,6,7,这组数据的众数为（）

A.3B.6C.5D.7

2.如图，在正方形ABC。中，点。是对角线AC,8D的交点，过点。作射线分别交OM,ON于点及b,且

ZEOF=9Q°,交,OC,EF于魚G.给出下列结论：®MCOE仝DOF,QOGEZFGCC；③四边形CEOE的

面积为正方形ABCO面积的丄；@DF2+BE2=OG*OC.其中正确的是（）

4

A.①②③④B.①②③C.①®④D.③④

3.如图，△OABs/XocD,OA：OC=3：2,ZA=a,ZC=p,ZkOAB与aOCD的面积分别是Si和S2,AOAB

与aocD的周长分别是ci和C2,则下列等式一定成立的是（）

4.如图，。0是AABC的外接圆，厶=60。，点P是AABC外一点，BP=6,CP=3,则线段OP的最大值为（）

A.9B.4.5C.373D.百

5-已知*6是关于'的一元二次方程八⑵"3）x+/=°的两个不相等的实数根'且满足»-1,贝権

的值是（）

A.3B.1C.3或一1D.-3或1

4

6.如图，在RtAABC中，ZC=90°,sinA=一，AC=6cm,则BC的长度为（）

/5

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

7.如图，已知NAQB.按照以下步骤作图：①以点。为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交NAOB的两边于C,

O两点，连接CO.②分别以点C,。为圆心，以大于线段0C的长为半径作弧，两弧在NAO8内交于点E,连接

CE,DE.③连接OE交CO于点下列结论中错误的是（）

A.NCEO=NDEOB.CM=MD

C.Z.OCD—Z.ECDD.S四边形OCED=gCDOE

8.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A.m>lB.m<lC.m>lD.m<l

9.抛物线y=一（x—2产+3,下列说法正确的是（）

A.开口向下，顶点坐标（2,3）B.开口向上，顶点坐标（2,-3）

C.开口向下，顶点坐标（一2,3）D.开口向上，顶点坐标（一2,-3）

10.关于x的一元二次方程x2-2X+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

11.已知二次函数y=ac2+/zr+c（。。0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=—l；

③当x=l时，y=2a；④当〃?<一2时，am2+bm>0;其中正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

9

12.若△ABCs^DEF,且AABC与4DEF的面积比是一,则4ABC与4DEF对应中线的比为（）

4

28193

A.-B.—C.—D.一

31642

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，在AABC中，AB=AC=L点D、E在直线BC上运动，设BD=x,CE=y.如果NBAC=30。，ZDAE=105°,

则y与x之间的函数关系式为.

14.正方形ABC。的边长为2an,。点是正方形ABC。的中心，将此正方形沿直线AB滚动（无滑动），且每一次

滚动的角度都等于90。.例如：8点不动，滚动正方形ABCD,当8点上方相邻的点。落在直线AB上时为第1次滚动.

如果将正方形ABCD滚动2020次，那么。点经过的路程等于.（结果不取近似值）

15.已知反比例函数y=£的图象经过点厶（-3,-2）,则这个反比例函数的解析式是.

16.菱形ABCD中，若周长是20cm,对角线AC=6cm,则对角线BD=cm.

17.如图把A6C沿A3边平移到VA7TC的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是ABC面积的三

分之一，若=则点C平移的距离CC是

18.如图，在RtAABC中，NACB=90>AC=4,BC=3,D是以点A为圆心2为半径的圆上一点，连接BD,M为BD的

中点，则线段CM长度的最小值为

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，BC是路边坡角为30。，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边

缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角NDAN和NDBN分别是37。和60。（图中的点A、B、C、D、M,N均在

同一平面内，CM/7AN）.

（1）求灯杆CD的高度；

（2）求AB的长度（结果精确到（）.1米）.（参考数据：73=1.1.sin37°=060,cos370=0.80,tan37°=：0.75）

20.（8分）如图1,ABC为等腰三角形，。是底边的中点，腰与O相切于点。，底交0于点E,

F.

（1）求证：AC是。0的切线；

（2）如图2,连接AT,DF,AE交。于点G,点。是弧EG的中点，若4）=2,AF=4,求。的半径.

21.（8分）如图，在正方形ABC。中，点E在边AO上，过点D作DK丄BE于K,且。K=夜.

（1）若AE=ED，求正方形ABC。的周长；

（2）若ZEDK=22.5°,求正方形ABCO的面积.

22.（10分）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，一次函数.丫=/叫+〃的图象与反比例函数>=幺的图象交于4B

X

两点，若A（4,l）,点3的横坐标为2

（1）求反比例函数及一次函数的解析式；

（2）若一次函数y=，nr+〃的图象交x轴于点C,过点。作x轴的垂线交反比例函数图象于点。，连接

OA.OD、AD,求AAQD的面积.

23.（10分）为了创建国家级卫生城区，某社区在九月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元.已

知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元.

（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物各多少盆？

（2）十月份，该社区决定再次购买甲、两种绿色植物.已知十月份甲种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠£元

2

（«>0）,十月份乙种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠二。%.因创卫需要，该社区十月份购买甲种绿色植物

的数量比九月份的数量增加了丄。％,十为份购买乙种绿色植物的数量比九月份的数量增加了a%.若该社区十月份

2

的总花费与九月份的总花费恰好相同，求4的值.

24.（10分）如图，AB、AD是。O的弦，^ABC是等腰直角三角形，aADC纟AAEB,请仅用无刻度直尺作图：

⑴在图1中作出圆心O；

⑵在图2中过点B作BF〃AC.

（图1）（图2）

25.（12分）若a并且a：-2a=0,求方程16x2-4ax+l=3-12x的根.

26.2018年非洲猪瘟疫情暴发后，今年猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：今年7月20日

猪肉价格比今年年初上涨了60%,某市民今年7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱.

（D问：今年年初猪肉的价格为每千克多少元？

（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按7月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉

的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润，并且可能让顾客

得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】根据众数的概念求解.

【详解】这组数据中1出现的次数最多，出现了2次，

则众数为1.

故选：C.

【点睛】

本题考査了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.

【分析】根据全等三角形的判定（ASA）即可得到①正确；根据相似三角形的判定可得②正确；根据全等三角形的

性质可得③正确；根据相似三角形的性质和判定、勾股定理，即可得到答案.

【详解】解：①Q四边形ABCD是正方形，

.1.OC=OD,AC1BD,NODF=NOCE=45。,

QZMON=90°,

:.ZCOM=ZDOF,

.yCOE^VDOF(ASA),

故①正确；

(2)QZEOF=ZECF=90°,

.•.点O,E,C,尸四点共圆，

:.ZEOG=ZCFG,NOEG=NFCG,

...OGE^NFGC,

故②正确；

③QVCOE^VDOF,

••S7cOE-SyOOF，

S四边形CEOF=S70CD=4S正方形"CD•

故③正确；

④QVCOE^VDOF,

:.OE=OF,又QNEQF=90°,

.•.VEOE是等腰直角三角形，

ZOEG=ZOCE=45°,

Q/EOG=/COE,

.NOEG^NOCE,

:.OE:OC=OG:OE,

:.OG*OC=OE2,

QOC=-AC,OE=—EF,

22

;.OG・AC=EF2,

QCE=DF,BC=CD,

BE=CF,

又QRtNCEF中，C产+CE2=EF2，

BE2+DF2=EF2>

OG*AC=BE2+DF2,

故④错误，

故选8.

【点睛】

本题考査全等三角形的判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形的

判定（ASA）和性质、相似三角形的性质和判定.

3、D

【解析】A选项，在AOABs^oCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不

一定成立；

B选项，在AOABs/^oCD中，NA和NC是对应角，因此。=/，所以B选项不成立；

C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；

D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.

故选D.

4、C

【分析】连接08、0C,如图，则△08C是顶角为120。的等腰三角形，将AOPC绕点。顺时针旋转120。到△0M5的

位置，连接MP,贝IJNPOM=120°,MB=PC=3,OM=OP,根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可得PM=80P，

于是求。尸的最大值转化为求的最大值，因为MB+BPWPM，所以当尸、B、M三点共线时，PM最大，据此求

解即可.

【详解】解：连接08、OC,如图，则08=0C,ZBOC=2ZA=120°,将AOPC绕点。顺时针旋转120°到AOMB的

位置，连接MP,则NPOM=120。，MB=PC=3,OM=OP,

过点。作ON丄PM于点N,则NMON=60。，MN=-PM,

2

在直角4M0N中，MN=OM.sin60。=与OM，；•PM=&JM=&）P，

二当尸M最大时，。尸最大,

又因为MB+BPWPM，所以当尸、B,M三点共线时，PM最大，此时PM=3+6=9,

936

所以0尸的最大值是:耳

【点睛】

本题考査了圆周角定理、等腰三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形和两点之间线段最短等知识，具有一定的难

度，将AOPC绕点。顺时针旋转120。至以。知8的位置，将求。尸的最大值转化为求PM的最大值是解题的关键.

5^A

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出a+p、ap再代入分式计算，即可求得加.

【详解】解：由根与系数的关系得：a+尸=一(2"+3),邓=而,

11a+B-2m+3

,—=----=--------=—],

apapm2

即m2-2m-3=0>解得：m=3或m=一1,

而当m=—1时，原方程△=12—4X1=—3<0,无实数根，不符合题意，应舍去，

・・.用的值为1.

故选A.

【点睛】

本题考査一元二次方程中根与系数的关系应用，难度不大，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键.

6、C

BC4

【详解】已知sinA=F==，设BC=4x,AB=5x,

AB5

又因AC2+BC2=AB2,

即62+(4x)2=(5x)2,

解得：x=2或x=-2(舍),

所以BC=4x=8cm,

故答案选C.

7、C

【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可.

【详解】由作图步骤可得：OE是NAQB的角平分线，

，NCOE=NDOE,

,.,OC=OD,OE=OE,OM=OM,

.,.△COE^ADOE,

.•.ZCEO=ZDEO,

VZCOE=ZDOE,OC=OD,

/.CM=DM,OM丄CD,

S四边形OCED=SACOE+SADOE=—OE*CM-\—OE，DM=—CD*OE,

222

但不能得出ZOCD=ZECD,

:.A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作

图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知

直线的垂线）是解题的关键.

8、D

【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△>（）,即可得出关于机的一元一次不等式，解之即可得出实数机的

取值范围.

详解：•.•方程》2一2犬+〃2=0有两个不相同的实数根，

.•.一=（-2）2-4m>0,

解得：，“<1.

故选D.

点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当厶>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.

9,A

【解析】根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标.

【详解】解：y=一（x-2A+3

.••a=-l<0,抛物线的开口向下，顶点坐标(2,3)

故选A

【点睛】

本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、顶点坐标等性质.

10、A

【分析】关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0,据此列出关于k的不等式，解

答即可.

【详解】根据一元二次方程根与判别式的关系，要使得x2-2X+k=0有两个相等实根，只需要△=(-2)2-4k=0,解得k=l.

故本题正确答案为A.

【点睛】

本题考查了一元二次方程axZ+bx+c=0(a/))的根的判别式△=b2-4ac：当△>(),方程有两个不相等的实数根；当△=(),

方程有两个相等的实数根；当△〈()，方程没有实数根.

11、B

【分析】由题意根据二次函数图像的性质，对所给说法进行依次分析与判断即可.

【详解】解：•••抛物线与y轴交于原点，

.*.c=0,故①正确；

-2+0

•.•该抛物线的对称轴是：-----=-1,

2

二该抛物线的对称轴是直线x=—l,故②正确；

：x=l,<y=a+b+c,c=0,

二当x=l时，y=a+b,故③错误；

Vx=m,则有y=由图像可知x<-2时，y>0,

.,.当m<—2时，am2+bm>0>故④正确.

故选:B.

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(aWO)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与

y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.

12、D

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可.

9

【详解】A4BC与AOEf的面积比是一，

4

3

:.△ABC与4DEF的相似比为一,

2

3

:.△ABC与4DEF对应中线的比为一，

2

故选"

【点睛】

考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形

对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

二、填空题（每题4分，共24分）

1

13、y=-

x

【解析】VZBAC=30°,AB=AC,

180-30

:.ZACB=ZABC==75

2

:.ZACE=ZABD=180°-75°=105°,

VZDAE=105°,NBAC=30°,

:.ZDAB+ZCAE=1050-30o=75°,

XVNDAB+NADB=NABC=75°,

.*.ZADB=ZCAE.

.'.△ADB^AEAC,

.CE_AC

»•-9Z-_19

ABDB1x

••y=­・

x

故答案为y=L

X

14、1010\/2^cm

【分析】根据题意，画出图形，求出每次滚动点O的运动路程乘滚动次数即可求出结论.

【详解】解：如下图所示,

DC

V正方形ABCD的边长为2cm

，AB=AD,BO=-BD

2

：,BD=JAB。+AD?=2夜cm

:.BO=y/2cm

•.•每一次滚动的角度都等于90。

•••每一次滚动，点O的运动轨迹为以90°为圆心角，半径为3cm的弧长

0点经过的路程为为乃他x2020=1010伝cm

180

故答案为：1010伝cm.

【点睛】

此题考査的是求一个点在运动过程中经过的路程，掌握正方形的性质和弧长公式是解决此题的关键.

6

15>y=-

X

【分析】把点A(-3,-2),代入求解即可.

【详解】解：由于反比例函数y=K的图象经过点厶(-3,-2),

X

把点4(—3,—2),代入y=g中，

解得k=6,

所以函数解析式为：y=-

X

故答案为：y=一

x

【点睛】

本题考查待定系数法解函数解析式，掌握待定系数法的解题步骤正确计算是关键.

16、1

【分析】先根据周长求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出BD的一半，然后即可

得解.

【详解】解：如图，二•菱形ABCD的周长是20cm,对角线AC=6cm,

1

；・AB=20+4=5cm,AO=—AC=3cm,

2

XVAC±BD,

：,BO=AB1-AO1=4cm,

.,.BD=2BO=lcm,

本题考査了菱形的性质，属于简单题，熟悉菱形对角线互相垂直且平分是解题关键.

17、73-1

【分析】根据题意可知aABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为三分之一，所以可以求出A8=l,进而可求答

案.

【详解】

.•把A3C沿AB边平移到V4B'C'

•.AC\A'C

••A'BDs^BC

A4=V3-1

即点c平移的距离CC'是0-1

故答案为百-1.

【点睛】

本题考査的是相似三角形的性质与判定，能够知道相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键.

3

18、一

2

【分析】作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和

CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.

【详解】解：如图，取AB的中点E,连接CE,ME,AD,

,；E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2,

.、EM为△BAD的中位线，

/.EM=-AD=-?21,

22

在RtZkACB中，AC=4,BC=3,

由勾股定理得，AB=y/AC2+BC2=A/42+32=5

TCE为RtaACB斜边的中线，

ACE=-AB=-?5

222

5537

在ACEM中，2-1己+1,即一#CM

2222

【点睛】

本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM

为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.

三、解答题(共78分)

19、(1)10米；(2)11.4米

【解析】(1)延长DC交AN于H.只要证明BC=CD即可；

(2)在R3BCH中，求出BH、CH,在RtAADH中求出AH即可解决问题.

【详解】（1）如图，延长DC交AN于H,

VZDBH=60°,ZDHB=90°,

...NBDH=30°,

VZCBH=30°,

.•.ZCBD=ZBDC=30°,

.".BC=CD=10（米）；

⑵在RtABCH中，CH=-BC=5,BH=56=8.65,

2

.*.DH=15,

PH15

在RtAADH中，AH==O?75=20,

tan37°

AAB=AH-BH=20-8.65=11.4（米）.

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

20、（1）证明见解析；（2）。的半径为2.1.

【分析】（1）连接。4,OD,过。作丄AC于点”，根据三线合一可得N84O=NC4O,然后根据角平分线

的性质可得0“=。。，然后根据切线的判定定理即可证出结论；

（2）连接”>,过。作DK丄BC于点K,根据平行线的判定证出证出A尸丄A5,根据角平分线的性质

可得AD=QK=2,然后利用HL证出RfAWFw必△/3）F，从而得出“=的=4,设。的半径为X,根据勾股

定理列出方程即可求出结论.

【详解】（1）证明：如图，连接。4,OD,过。作O”丄AC于点，.

VAB=AC,。是底边的中点,

ZBAO=ZCAO,

TAB是。的切线,

，OD±AB,

，OH=OD.

二AC是0。的切线；

(2)解：如图2,连接8,过。作DK丄BC于点K.

,点。是EG的中点，

:.ZAFD=ADFK=NODF,

:.OD//AF

:.AF±AB,

：.AD=DK=2

在RtADF和RtAKDF中，

AD=DK

DF=DF

：.RtAADF^RtZ\KDF

：.FK=AF=4

设。的半径为关

由勾股定理得：DK2+OK2=OD2

即2?+(4-x)2=¥,

解得：x-2.5.

.•・O的半径为2.5.

图2

【点睛】

此题考查的是等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握

等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键.

21、（1）4710;（2）4+2应♦

AHRF

【分析】（1）利用AA定理证明AEABSAEKD，从而得到=设AE=x,分别用含x的式子表示出

KDED

AB,BE,ED,代入比例式，求出x的值，从而求正方形周长；（2）在BK上取一点N,使KN=KD,连接B。，利用

等腰直角三角形的性质求得ON==BN=2,BK=BN+NK=2+y/2,然后利用勾股定理求得BO?，

从而求解正方形面积.

【详解】解：（1）•.•四边形ABCO是正方形，

二NA=90°.

•:DK1BE，

：.NK=90。.

，Z4=/K.

,:ZAEB=/KED，

:.^EABS^EKD.

.ABBE

''~KD=~ED'

设AE=x.

VAE=ED,

AB-2x.

.2x_V5x

飞=丁

：.x=—，即AE=^.

22

正方形ABCD的周长为4V10.

(2)如图，在3K上取一点N,使KN=KD,连接3D.

VDK1BE，NEDK=22.5°,

：.ZKDN=ZDNK=45°.

又因为NABD=NADB=45°

:.ZNDE=ZNDB=ZNBD=22.5°.

...NB=ND.

在RtNDKN中，DN=ypZDK=2，

：.BN=2.

BK=BN+NK=2+A/2.

在RfABKD中，BD2=BK2+DK2=8+472.

:.正方形ABCD的面积=丄=4+2虚.

2

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，添加辅助线

构造等腰直角三角形是本题的解题关键.

441

22、(1)y=—,y=—y=—x—1；(2)3

xx2

【分析】⑴点A（4,l）代入y=4,并且求出3点坐标，将A8代入y=烟+”

X

（2）S^OD=SADCo+5此0-SMOC

【详解】解：（1）①y=±②8（-2,-2）

X

一2=-2根+〃

1=4m+n

1

-

722-

1

y=X

2-

(2)C(2,0),0(2,2),A(4,l)

SADCC——0C^CD—2

SMDC=^CD-\XA-XC\=2

S.OAc=^OC.\yA\=}

SAAOO=SADCO+SSDCA—SMOC=3

23、（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物分别为600,50