2024届天津市河北区高三数学上学期期中考试卷附答案详析

2024届天津市河北区高三数学上学期期中考试卷

（试卷满分150分.考试用时120分钟）2023.11

第I卷（选择题共45分）

参考公式：

如果事件A,B互斥,那么‘（AU』=）（A）+P（5）

如果事件A,B相互独立,那么P（AB）=P（A）P（3）

球的表面积公式S=4乃代

4

V=-^R3

球的体积公式3

其中R表示球的半径

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1,已知全集U={T°，L2,3},集合.={0,1,2},於{-1,0,1},则弧A）cB=

A.H{0』}c.{T23}D{-1,0,1,3）

2.设xeR,贝『，*2一5》＜0”是的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为12°，4°）,[4°，6。）,

[60,80）,[80,100],若低于60分的人数是5则该班的学生人数是（）

5.若”=1脸30-8,b=3°\c=0.321,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<ac.c<a<bD.a<c<b

6.已知圆锥的高为3,底面半径长为4,若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径长为

A.5B.石C.9D.3

7.设等差数列｛叫的前"项和为S",若包=4,Sg=72,则/=（）

A.20B.23C.24D.28

x2y2

8.已知双曲线C:〃_/=[的焦距为10，点p（2』）在c的渐近线上，则C的方程为

%2丁x2j2x2丁%2丁

A.20.^=1B.力=1C.8O-2O=1D.20-80=1

兀_71

9.已知函数/（力=*m（5+。）+刈°>0,。>0）的最大值是4,最小值是0,最小正周期是5,直线

是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是（）

y=4sin（4x+^）y=2sin[2x+g）+2y=2sin（4x+2]+2y=2sin（4x+；）+2

第II卷共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.

1-i

10.i是虚数单位，则复数直不一

11.二项式（的展开式中，x的系数为

12.在平面直角坐标系中，直线3%+分+3=。被圆（x-2）-+（y+l）-=4截得的弦长为

13.甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.7,两人每次射击是否命

中互不影响.设事件A为“两人至少命中一次“，事件8为“甲命中”，则条件概率尸出A）的值为.

14.已知函数"唾2（彳-1）">1则满足/（力42的x的取值范围是

15.设以=（-2,4）,。8=（-&2）,OC=（b,0））其中b>0,。为坐标原点，若A,B,C三点

11

一+一

共线，则勿+b=ab的最小值为

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

7T

/(x)=sin(2x——)-cos2x

16.已知函数6xeR

八］

rn'5上的单调区间

⑴求函数/（*的最小正周期；（2）求函数/（“）的对称轴方程；⑶求函数/（x）在

.B+C.-

csin-----=asinC

一人、,八人,,一万.

17.在锐角“3C中，内角A,B,C的对边分别为。，b，c,且2

（1）求角A的大小；

sin8=@

⑵若6=1,7,求边j

（3）在（2）的条件下，求8s（28+4）的值

2,AB=l

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC/),AD±AB,DC,AD=DC=AP=

点E为棱PC的中点.

⑴求证：8E〃平面PA。；

（2）求直线BE与平面H犯所成角的正弦值;

（3）求点C到平面PBD的距离.

19.已知函数7（x）=2d-2f+1

⑴求曲线y=〃x）在点（iJ。））处的切线方程；

（2）求函数y=/a）的单调区间和极值；

⑶若函数g（x）=〃x）-6在区间［T1］上有一个零点，求实数6的取值范围.

22

-+-^~=1（4>Z?>0）_J_

率为5,过点A的直

20.设椭圆后：。”的左顶点为A,左焦点为尸.已知椭圆的离心

。尸与直线/垂直，垂足

线,与椭圆交于另一点8,且点C与点8关于彳轴对称（C与8不重合）.若直线

。108

3=---

为。，且48田的面积35.

⑴求直线/的斜率；

⑵求椭圆E的方程.

1.A

【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】QA={T,3},则©A）B={-1}

故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2.B

【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.

【详解】化简不等式，可知°<%<5推不出1<1；

由卜-1|<1能推出0cx<5,

故"x2-5x<0，，是“Ix-l|<l，，的必要不充分条件，

故选B.

【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.

3.B

【分析】先判断x>0时函数“X）的单调性，即可判断选项C,D；再判断当x<°时函数“X）即可判断

A,B,即可得答案.

【详解】当时，""二'+最，此时,（X）在（°，。上单调递减，

当X>1时，此时/（X）在（L+00）上单调递增，

且X>0时，/（x）min=f（D=2,

由此可知C,D选项中图象错误；

当x<0时，-V+x,此时“X）在（-00，。）上单调递减，

故选项A中图象不合题意，

又〃-1）=0,故B中图象符合题意，

故选：B

4.C

【分析】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率，结合低于60分的人数即可求得答案.

【详解】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为20©005+0.010）=0.300,

由于低于60分的人数是15,则该班的学生人数是S3。。

故选：C

5.D

【分析】分别根据对数函数以及指数函数的单调性判断出三数的取值范围，即可得答案.

【详解】由题意得a=l°g3°-8<l0g31=0,。=3°8>3。=1,

0<C=0.321<0.3°=1,

故“＜c＜。，

故选：D

6.B

【分析】由己知中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，

利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得答案.

【详解】•••圆锥的底面半径r=4,高h=3,

圆锥的母线1=5,

/.圆锥侧面积S=ml=20兀，

设球的半径为r,则4ra'2=20兀，.1=有

故选B.

【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式的应用，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键.

7.D

【分析】由$9=72得到%=8,代入公式求解即可.

S=72

【详解】因为是等差数列，92

所以为=8,又％=、所以公差为d=%-%=4,

4o=%+6d=28

故选：D.

8.A

【详解】由题意得，双曲线的焦距为1°,即〃+/=/=25,

b

y=­x

又双曲线的渐近线方程为.a="-纱=0,点P(2,l)在C的渐近线上，

所以。=肛联立方程组可得京=2调＞*=.*，

二上1

所以双曲线的方程为2。5.

考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质.

9.C

1=2,5兀-7

j7。(D=-----+K71,kE.Z

【分析】根据最值求得〔"=2,根据周期求得。=4,根据对称轴可求得6，从而可求

jA+k=4jA=2

【详解】因为最大值是4,最小值是0,所以1―A+%=°,解得=2

7i2n_7i

因为最小正周期是5,所以。一5，解得。=4,

x=—4x—\-<p=—I-kit,ZiGZ

因为直线3是其图象的一条对称轴，所以32,

(p=--+lat,k&Zk=\,(p=—

所以6,又因为夕>°,所以当6,

y=2sin|4x+—|+2

所以所求解析式可能为.I6J

故选：C

io.一石一石।

【分析】根据复数的除法运算，即可求得答案.

l-i_(l)(3_4i)__l_7i__J___7_.

【详解】由题意得3+电(3+4i)(3-4i)252525：

故答案为：2525

11.10

【分析】由二项式定理求解即可.

【详解】要卜+2中含有x的项，则需要在5项中选取2个『与3个.相乘，故含有x的项为

C：(x2)2(-)3=10x

X，故X的系数为10

故答案为10.

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用与其中某项的系数问题，属于基础题型.

12.26

【分析】根据圆的垂径定理，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可；

【详解】设圆(、一2)~+(〉+1)一=4的圆心为人，它的坐标为(21),该圆的半径为r=2,

/_|3x2+4x(-l)+3|_|

圆心A到直线3x+4y+3=0的距离为：\/32+42

所以弦长为：2,2_/=2/^1=2后,

故答案为：26

40

13.47

【分析】根据对立事件的关系和独立性可求得「(A)、「(A3),再根据条件概率的计算公式即可求解.

…即P⑷=1-「伍)=1-0.2x0.3=0.94

【详解】x7，

P(/IB)=0.8x0.7+0.8x0.3=0.8

W)二需0.8_40

O94-47

所以

40

故答案为：47.

[-1,1]C,+8)

14.2

【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数以及对数函数性质，分段解不等式，即可得答案.

【详解】当时，/(•¥)42即21-242,二1一万42,二X2-1,贝|j-14x41；

当x>l时，/(x)«2即l-log2(x—1)42,解得2,

即2

([―,+°o)

故满足fx町\<372,的x的取值范围是2,

[-1,1]“,田)

故答案为:

15.2%

【分析】由题意求得力8=(一"+2,-2),AC=S+2,T),

根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条

—I——(_—)(2〃+/7)

件可得2a+6的值，将ab化为2ab,展开后利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由°4=(-2,4),OB=(-a,2)OC=("0)可得AB=(-a+2,-2),AC=(b+2,-4)

由于A,B,C三点共线,故的=(-。+2,-2),4C=3+2,~4)共线，

所以(—a+2)x(-4)-(-2)(/?+2)=0f即2a+)=2,

111/7\1/b2acb2a一rr3

一+7=7(一+—)(2a+Z?)=—(—+—+3)>—(2J------+3)=V2+—

贝2ab2\ab2

h_2a

当且仅当。一匕,结合2a+6=2,即a=2-&,0=2忘-2时取等号,

故答案为：2；2

16.(1)兀；

x=~~—(keZ)

⑵212

10型][--]

（3）单调增区间是’12,单调递减区间是12,2.

【分析】（1）（2）（3）利用差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.

f(x)=sin2x——cos2x-cos2x=--sin2x——cos2x=#sin(2x-—)

【详解】（1）依题意,22223

7_2兀—兀

所以函数/（力的最小正周期为"

/(x)=>/3sin(2x-^)2x--=fat--JeZx=--------,keZ

(2)由(1)知,由32，得212

所以函数/（X）的对称轴方程是'一万一而€

/(x)=^sin(2x-J)xe[0《]2x--e[--,—]

J

(3)由(1)知,3,当2时，3'33,

八，，57t兀-兀2兀5兀71

--<2x--<-0<x<——-<2x——<—-<x<-

由332,解得12,由233,解得122,

[0—i[o当[2―]

所以函数/（X）在’5上的单调增区间是‘工，单调递减区间是丘'5.

71311

A=­C~~Zcos（28+A）=-----

17.（1）3（2）2（3）14

1

si.n—A=—

【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可求22,根据角的范围即可求解A的

值；

（2）由已知利用正弦定理可得”的值，由余弦定理可得4c2-牝-3=（）,解方程可求。的值;

（3）利用同角三角函数基本关系式可求cos5的值，利用二倍角公式可求sin28,cos2B的值，利用两

角和的余弦公式即可求解8s（28+A）的值.

csin^^=<zsinC.(H-A]A.

csin-------=ccos—=6zsinC

可得

【详解】(1)因为2I2J2

sinCeos—=sinAsinC

所以由正弦定理可得2,

A.,仁.AA

cos—=sinA=2sin—cos—

又c为三角形内角，smCHO,所以222,

A(八兀)A

.，、不€|叱|COS—>0

因为Ae(0n,兀)，2I2人2

,A1An.7i

sm——=——=-A=—

所以22,可得26,所以3.

.兀sin3

A=一,.

(2)因为3,b=T,7

_fc-sinA_'x2_百

a_bsinB-JlX2

所以由正弦定理sinAsin8可得不

,1.—=1+C2-2X1XCX-

由余弦定理a2-="2+c_2"cosA,可得42,

=3=3

整理可得4c2-今-3=0,解得或一5(舍去)，所以‘一5；

a=—>bcosB=-71-sin2B=-

(3)由(2)可知2,所以8为锐角，则7

sin2B=2sinBcosB=生^cos2B=2cos:B-l=—

所以7,7,

cos(2B+A)=cos2BcosA—sin2Bsin4=—x——x=--

所以727214

出25/6

18.(1)证明见解析(2)3(3)3

【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行;

（2）求出平面尸切的一个法向量，再由向量法求解；

（3）求出向量BC=（L2，°）,再由向量法求解.

【详解】（1）以点A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，）轴，z轴，建立空间直角坐标系.

可得A(0,0,0),5(1,0,0)C(2,2,0)a0,2,0)尸(0,0,2)

由E为棱PC的中点，得£(11，1),

向量BE=(0,l,l),AB=(1,0,0)

故BE-AB=0,

因为PA,底面ABC。，ABu底面"CD,所以

又因为AD^A氏A£）AP=A,ADAPu平面p4£）,

所以A82平面PAD,即A8为平面PA。的一个法向量,

又BEO面PAD,所以8E〃平面皿）；

向量8。=(-1,2,0),PB=(l,0,-2)；=(0,1,1)

n-BD=0-x+2y=0

设“=（x,y,z）为平面尸处的法向量，则"PB=0,即x-2z=0

令y=l,则x=2，z=l,得”=（2，覃）为平面依。的一个法向量,

所以直线BE与平面所成角的正弦值为3.

(3)向量肥=0,2,0),

42任

则点C到平面尸切的距离।।

19.⑴2尤7-1=。

（2+//02\J9r_32]

⑵单调递增为（T®,〔3'J,单调递减区间为I'3）,极大值1,极小值力（3）1'27）

【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求曲线的切线斜率，进而可求切线方程;

（2）结合导数与单调性及极值关系可求；

（3）结合（2）的单调性结合图象即可求解.

2

【详解】（1）f,W=6x-4x）所以尸（1）=2J⑴=1,

故曲线产“力在点。/⑴）处的切线方程yT=2d）,gp2x-y-l=0.

（2）由⑴可知，/3=6/-4x=2x（3x-2）,

22

所以当"5或“。时，小）＞。，当℃＜彳时，小）＜0,

所以函数的单调递增为（一8，°）,

,单调递减区间为

当x=o时函数取得极大值/（。）=1,当时，函数取得极小值d27；

（3）令函数g（x）=〃x）-6=0,即/（x）=b,

所以函数8（力="同一/?在区间［71］上有一个零点，

等价于图象/（X）与直线V=》在区间［T［】上有一个交点.

由⑵可知，函数在H°）,《I上明曾‘在屋.

且f(T)=-3J(l)=l,

画出图象y=/（x）"W-i，i］,如下图所示,

由图可知，当一3’",药时，图象f（x）与直线＞=6在区间［T』上有一个交点.

故实数方的取值范围为

20.（1）4；⑵2015.

【分析】（1）由离心率得"=2c,8=区,设直线/的方程为y="（x+2c）,求出B点坐标（由韦达定

理求解），利用垂直可得得斜率左；

（2）由点到直线距离公式求出忸力」叫，然后由三角形面积可得。值，从而得椭圆方程.

_c_l_____

［详解］（1）e~a~2,a=2c,因此，=,储一。2=丘,