第二节-函数极限的定义课件

高等数学

北邮世纪学院基础部华卫兵1可编辑课件PPT2.2函数的极限2可编辑课件PPT(复习)数列{xn=f(n)}可看成自变量为n的函数,定义域为N+.数列xn的极限为a即当n→∞时，对应函数值f(n)无限接近于确定的数a。函数的极限：在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个确定的数，称这个确定的数就叫在这一变化过程中函数的极限。3可编辑课件PPT三种情形时函数的极限：⑴自变量趋于有限值(x→x0)时,对应函数值的变化情形；(2)自变量从单侧趋于有限值(x→x0)时,对应函数值的变化情形；⑵自变量的绝对值无限增大(x→∞)

时,对应函数值的变化情形。4可编辑课件PPT[人影长度]

考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度．若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度为H。由日常生活知识知道，当此人直向目标时，其影子长度越短，当人越来越接近终点（数学上如何描述）时，其影子的长度逐渐趋于0（数学上如何描述）。5可编辑课件PPT1、x→x0时,f(x)的极限问题1：函数y=f(x)在x→x0的过程中，对应函数值f(x)无限接近于确定值A。⑴引例在x=1时，g(x)有定义，f(x)无定义，如图可知，当x从左从右无限趋近于1时，g(x)与f(x)都无限接近于2。问题2:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.6可编辑课件PPT⑵定义①设f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的e>0,总存在

d

>0,使得当0<|x-x0

|<d,恒有|f(x)-A|<e成立，则称x→x0时函数f(x)以常数A为极限，记为②

“ε-δ”定义注：7可编辑课件PPT⑶几何意义8可编辑课件PPT例1证例2证9可编辑课件PPT例3证函数在点x=1处没有定义.10可编辑课件PPT例4证11可编辑课件PPT例5证明可以先限制因为此时有故只要所以要使分析12可编辑课件PPT这就证明了证有13可编辑课件PPT例6求证：注在例4、例5中,我们将所考虑的式子适当放大,不是“最佳”的,但这不影响我们解题的有效性.其目的就是为了更简洁地求出

,或许所求出的

14可编辑课件PPT证首先，在右图所示的单位圆内,显然有即故OCDBAyxx15可编辑课件PPT16可编辑课件PPT同理可证:17可编辑课件PPT例7证明：证因为则这就证明了所需的结论.18可编辑课件PPT在上面例题中,需要注意以下几点：,我们强调其存在性.换句话说,对于固定1.对于的不同的方法会得出不同的,不存在哪一个更好的问题.数都可以充当这个角色.3.正数是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.,那么比它更小的正是不惟一的,一旦求出了19可编辑课件PPT有时为了方便,需要让

小于某个正数.一旦对这为贵”.当然也能满足要求.所以我们有时戏称

“

以小样的

能找到相应的

,

那么比它大的

,这个

20可编辑课件PPT2.单侧极限:例如,21可编辑课件PPT左极限右极限22可编辑课件PPT左右极限存在但不相等,例8证23可编辑课件PPT[注意]

求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴⑵解：⑴∵，∴函数在指定点的极限不存在。⑵∵，∴函数在指定点的极限24可编辑课件PPT

例9

讨论函数解因为所以25可编辑课件PPT定理不存在.特例26可编辑课件PPT例10

证明狄利克雷函数证

处处无极限.满足27可编辑课件PPT这就证明了结论.则28可编辑课件PPT3、x→∞时,f(x)的极限⑴引例如图可知，当|x|无限增大时，f(x)无限接近于1,即x→∞时,f(x)→1。问题1：y=f(x)在x→∞的过程中,对应函数值f(x)无限接近于确定值A。问题2:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.29可编辑课件PPT①如果对于任意给定的正数ε

，总存在着正数X，使得当|x|>X时，恒有|f(x)-A|<ε成立，则称x趋于无穷大时函数f(x)以A为极限。记为：⑵定义②

“ε-X”定义③

x→+∞及x→-∞情形30可编辑课件PPT④③①任意给定②存在31可编辑课件PPT趋于例11函数当时,10203040O0.51为极限.以32可编辑课件PPT例12证任给这就是说33可编辑课件PPT证对于任意正数这就是说例13求证34可编辑课件PPT例14求证所以结论成立.证对于任意正数

,

可取35可编辑课件PPT定理1(惟一性)证

不妨设以及由极限的定义，对于任意的正数(1)存在,则此极限惟一.若的基本性质4、36可编辑课件PPT(2)式均成立，所以由

的任意性，推得A=B.这就证明了极限是惟(1)式与一的.(2)37可编辑课件PPT定理2（局部有界性）

证由此得有界.这就证明了在某个空心邻域上有界.38可编辑课件PPT注：试与数列极限的有界性定理作一(2)有界函数不一定存在极限；说明定理中“局部”这两个字是关键性的.比较；39可编辑课件PPT定理3（局部保号性）若则对任何正数由此证得证不妨设.对于任何取40可编辑课件PPT定理3'推论41可编辑课件PPT4、子列收敛性(函数与数列极限的关系)定理4证：42可编辑课件PPT例如:函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.43可编辑课件PPT例15证二者不相等,44可编辑课件PPT在点x0的极限也存在,且都存在,则在点x0的极限也存在,定理5（四则运算法则）若并有45可编辑课件PPT例1求极限解因为所以例题选讲46可编辑课件PPT例2特别又有证所以47可编辑课件PPT例3求当x→∞时，下列函数的极限⑴⑵解：⑴

⑵

由此可见，求x→∞时函数的极限与求数列的极限的方法是相同的。48可编辑课件PPT例4求下列极限⑴⑵解：⑴

⑵49可编辑课件PPT求极限的一般方法⑴直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0)⑵约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子g(x0)有意义，则函数极限极限为g(x0)。⑶有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如所得g(x0)有意义，则极限为g(x0)。⑷若x→∞，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以x的最高次幂，再逐项求极限。50可编辑