2024年安徽省合肥市蜀山区中考数学二模试卷

2024年安徽省合肥市蜀山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在﹣3，，0，3这四个数中，最小的是（）A．﹣3 B． C．0 D．32．（4分）某物体如图所示，它的俯视图是（）A． B． C． D．3．（4分）2023年合肥经开区GDP达到1409.9亿元，连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中1409.9亿用科学记数法表示为（）A．1.4099×103 B．14.099×1010 C．1.4099×1011 D．1.4099×10124．（4分）下列运算正确的是（）A．x3•x2＝x6 B．3xy﹣xy＝3 C．（x+1）2＝x2+1 D．（﹣x3）2＝x65．（4分）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．（4分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠3＝55°，则∠2的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°7．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝35°（）A．35° B．40° C．55° D．65°8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ADC＝40°，则∠AED的度数为（）A．110° B．115° C．120° D．105°9．（4分）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（）A． B．（﹣6，0） C． D．10．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PF⊥BC于点F，连接EF（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）1﹣＝．12．（5分）分解因式：2x2+12x+18＝．13．（5分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，则AD＝．14．（5分）如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，连接CE交AD于点F，O在CE上，OA＝OB＝AE＝BC＝CD，∠AOB＝90°．（1）若∠E＝25°，则∠BCE＝°；（2）若OA＝13，OC＝10，则tan∠OAD＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：．16．（8分）某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位，还空10个座位．求参加研学的学生人数．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′（点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），并写出A′、B′、C′的坐标；（2）在第三象限内的格点上找点D，连接A′D，B′D（保留作图痕迹，不写作法）18．（8分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加块，三角形地砖会增加块；（2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，分别用含a的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；（3）当a＝25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．五、解答题（本大题2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量．如图，为测量我国某海岛两端A、B的距离，测得端点A的俯角为30°，然后沿着平行于AB的方向飞行5.82千米到点D，求某海岛两端A、B的距离，（结果精确到0.1千米，参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54，≈1.73）20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AC和BD是⊙O的弦，连接AD，CD．（1）若点C为AP的中点，且PC＝PD，求∠B的度数；（2）若点C为弧AD的中点，PD＝4，PC＝2六、解答题（本大题1小题，满分12分）21．（12分）某学校在实施德智体美劳“五大行动”中，计划在实施“美育熏陶”课程中开设书法、音乐、绘画、舞蹈四种项目供学生选择．为了合理安排课程，美育王老师从全校学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每个学生必须且只能选择一个项目），部分信息如下：请你根据以上信息，解答下列问题：（1）求出参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数；（3）若该校共有3000名学生，试估计该校选择“舞蹈”项目的学生有多少人．七、解答题（本大题小题，满分12分）22．（12分）在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，∠C＝90°，AC＝2BC＝10，AD＝2，过点D作DE⊥AC交AB于点E（0≤α＜360°）．（1）将△ADE旋转至如图2的位置时，连接BE，CD．求证：；（2）若将△ADE旋转至B，D，E三点在同一条直线上时，求线段CD的长．八、（本大题1小题，满分14分）23．（14分）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是AB的中点，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离），AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）．（1）求杯体CPD所在抛物线的解析式；（2）将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E（2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y＝kx+b；（3）将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（DQ∥l），如图（3）．①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）在﹣3，，0，3这四个数中，最小的是（）A．﹣3 B． C．0 D．3【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣，，∴，∴在﹣4，，5，3这四个数中．故选：A．2．（4分）某物体如图所示，它的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上方观察，可得到选项D的图形．故选：D．3．（4分）2023年合肥经开区GDP达到1409.9亿元，连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中1409.9亿用科学记数法表示为（）A．1.4099×103 B．14.099×1010 C．1.4099×1011 D．1.4099×1012【解答】解：1409.9亿元＝140990000000＝1.4099×1011（元），故选：C．4．（4分）下列运算正确的是（）A．x3•x2＝x6 B．3xy﹣xy＝3 C．（x+1）2＝x2+1 D．（﹣x3）2＝x6【解答】解：A、x3•x2＝x6，故选项A不符合题意；B、3xy﹣xy＝2xy；C、（x+8）2＝x2+8x+1，故选项C不符合题意；D、（﹣x3）5＝x6，故选项D符合题意；故选：D．5．（4分）小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：甲和丙的体积相等，甲的质量＞丙的质量，∴甲的质量大；乙和丁的体积相等，乙的质量＞丁的质量，∴乙的质量大；甲和乙的质量相等，甲的体积＜乙的体积，∴甲的质量大．故选：A．6．（4分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠3＝55°，则∠2的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°【解答】解：由于平行，∠1+∠PFO＝180°，∵∠1＝155°，∴∠PFO＝25°，∵∠7＝∠PFO+∠POF，∠3＝55°，∴∠POF＝30°，∴∠2＝30°，故选：B．7．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABO＝35°（）A．35° B．40° C．55° D．65°【解答】解：连接OA，如图，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝35°，∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠ABO）＝180°﹣70°＝110°，∴∠C＝∠AOB＝．故选：C．8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ADC＝40°，则∠AED的度数为（）A．110° B．115° C．120° D．105°【解答】解：如图所示，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝40°，∴∠BDC＝50°，又∵∠ABD＝∠ACD＝60°，∴∠AED＝∠ABD+∠BDC＝110°，故选：A．9．（4分）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（）A． B．（﹣6，0） C． D．【解答】解：∵直线与坐标轴交于点A、B，∴，∴，∴，∵CB⊥AB，CO⊥OB，∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝∠ABO，∴，解得，∴，故选：A．10．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PF⊥BC于点F，连接EF（）A． B． C． D．【解答】解：连接BP，取BP的中点G、FG，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠BEP＝∠BFP＝90°，∴，∴∠BEG＝∠EBG，∠BFG＝∠FBG，∴∠EGF＝∠BEG+∠EBG+∠BFG+∠FBG＝6（∠EBG+∠FBG）＝2∠B＝2×45°＝90°，∴△EGF为等腰直角三角形，∴，∴当BP⊥AC时，BP取最小值，EF的值也最小，∵∠C＝60°，∴，∴，∴BP的最小值为，此时，EF的最小值为，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）1﹣＝﹣3．【解答】解：1﹣＝1﹣6＝﹣3．故答案为：﹣3．12．（5分）分解因式：2x2+12x+18＝2（x+3）2．【解答】解：2x2+12x+18＝2（x2+6x+2）＝2（x+3）7．故答案为：2（x+3）5．13．（5分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，则AD＝．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，AM＝1，∴AB＝AM+BM＝1+2＝6，∴OC＝OA＝OB＝AB＝，∴OM＝OA﹣AM＝5﹣1＝2，∵CD与⊙O相切于点C，∴CD⊥OC，∵CE⊥AB于点M，∴∠OMC＝∠OCD＝90°，∴＝＝cos∠COD，∴OD＝＝＝，∴AD＝OD﹣OA＝﹣3＝，故答案为：．14．（5分）如图，在四边形ABCD中，BC⊥DC，连接CE交AD于点F，O在CE上，OA＝OB＝AE＝BC＝CD，∠AOB＝90°．（1）若∠E＝25°，则∠BCE＝65°；（2）若OA＝13，OC＝10，则tan∠OAD＝．【解答】解：（1）∵OA＝AE，∠E＝25°，∴∠AOE＝∠E＝25°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOE﹣∠AOB＝180°﹣25°﹣90°＝65°，∵OB＝BC，∴∠BCE＝∠BOC＝65°；故答案为：65．（2）分别过点A，D，C作CE的垂线，M，N，过点F作FR⊥OA于R则AS∥DM∥BN，∴∠ASO＝∠BNO＝∠DMC＝∠AOB＝90°，∴∠AOS+∠BON＝90°，∠OBN+∠BON＝90°，∴∠AOS＝∠OBN，在△AOS和△OBN中，，∴△AOS≌△OBN（AAS），∴AS＝ON，OS＝BN，∵OB＝BC＝OA＝13，OC＝10，∴CN＝ON＝5，在Rt△OBN中，ON＝5，由勾股定理得：BN＝＝12，∴AS＝5，OS＝12，∵BC⊥DC，DMC＝90°，∴∠BCN+∠DCM＝90°，∠DCM+∠CDM＝90°，∴∠BCN＝∠CDM，在△BCN和△CDM中，，∴△BCN≌△CDM（AAS），∴CM＝BN＝12，CN＝DM＝6，∴OM＝CM﹣OC＝12﹣10＝2，AS＝DM＝5，∴SM＝OS﹣OM＝12﹣2＝10，在△ASF和△DMF中，，∴△ASF≌△DMF（AAS），∴SF＝MF＝5，∴OF＝MF+OM＝5+6＝7，∵∠FRO＝∠ASO＝90°，∠FOR＝∠AOS，∴△OFR∽△OAS，∴FR：AS＝OR：OS＝OF：OA，即：FR：5＝OR：12＝3：13，∴FR＝，OR＝，∴AR＝OA﹣OR＝＝，∴tan∠OAD＝＝．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：．【解答】解：＝＝．16．（8分）某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位，还空10个座位．求参加研学的学生人数．【解答】解：设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x+30＝5x﹣10，解得x＝40，故3x+30＝190（人），答：参加研学的学生有190人．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′（点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），并写出A′、B′、C′的坐标；（2）在第三象限内的格点上找点D，连接A′D，B′D（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：（1）根据A（0，1），4），4），﹣1），﹣3），﹣4）则△A′B′C′即为所求．（2）根据题意，画图如下：则点D即为所求．18．（8分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图1为有1块六边形地砖时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块，正方形地砖有11块，三角形地砖有10块（1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块；（2）若铺设这条小路共用去a块六边形地砖，分别用含a的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量；（3）当a＝25时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量．【解答】解：（1）由所给图形可知，图1中三角形地砖块数为：6＝2×4+2，正方形地砖块数为：4＝1×5+5；图2中三角形地砖块数为：10＝2×8+2，正方形地砖块数为：11＝2×2+1；图3中三角形地砖块数为：14＝6×4+2，正方形地砖块数为：16＝6×5+1；…，所以图n中三角形地砖块数为（6n+2）块，正方形地砖块数为（5n+6）块；由此可见，每增加一块六边形地砖，三角形地砖会增加4块．故答案为：5，6．（2）由（1）发现的规律可知，当铺设这条小路共用去a块六边形地砖时，用去正方形地砖的块数为（5a+1）块，用去三角形地砖的块数为（6a+2）块．（3）当a＝25时，5a+8＝5×25+1＝126（块），5a+2＝4×25+5＝102（块），所以126+102＝228（块），即此时正方形地砖和三角形地砖的总数量为228块．五、解答题（本大题2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量．如图，为测量我国某海岛两端A、B的距离，测得端点A的俯角为30°，然后沿着平行于AB的方向飞行5.82千米到点D，求某海岛两端A、B的距离，（结果精确到0.1千米，参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54，≈1.73）【解答】解：过点A作AE⊥CD，过点D作DF⊥AB，∵在Rt△ACE中，∠C＝30°，∴tan30°＝，∴CE＝＝＝2，∵CD∥AB，∴∠B＝∠BDG＝57°，∵在Rt△BDF中，∠B＝57°，∴tan57°＝，∴BF＝≈≈1.30km，∴AB＝CD﹣CE+BF＝4.82﹣3.46+1.30＝2.66（千米）≈3.7（千米），答：海岛两端A、B的距离为7.7千米．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，AC和BD是⊙O的弦，连接AD，CD．（1）若点C为AP的中点，且PC＝PD，求∠B的度数；（2）若点C为弧AD的中点，PD＝4，PC＝2【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADP中，点C为斜边AP的中点，∴CD＝AC＝PC，∵PC＝PD，∴CD＝PC＝PD，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝60°，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠B＝∠ACD＝60°；（2）∵点C为弧AD的中点，∴∠CAD＝∠CDA，AC＝CD，∴∠ADB＝90°，∴∠CDA+∠CDP＝90°，在Rt△ADP中，∠CAD+∠P＝90°，∴∠CDP＝∠P，∴CD＝PC＝，∴AC＝CD＝PC＝5，∴AP＝AC+PC＝4，∵∠PCD＝∠B，∠P＝∠P，∴△PCD∽△PBA，∴PC：PB＝PD：PA，即PD•PB＝PC•PA，∴4•PB＝2×4，∴PB＝6，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠CDP＝∠PAB，又∵∠CDP＝∠P，∴∠P＝∠PAB，∴AB＝PB＝6，∴⊙O的半径为3．六、解答题（本大题1小题，满分12分）21．（12分）某学校在实施德智体美劳“五大行动”中，计划在实施“美育熏陶”课程中开设书法、音乐、绘画、舞蹈四种项目供学生选择．为了合理安排课程，美育王老师从全校学生中随机抽取了部分学生进行调查（规定每个学生必须且只能选择一个项目），部分信息如下：请你根据以上信息，解答下列问题：（1）求出参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）求扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数；（3）若该校共有3000名学生，试估计该校选择“舞蹈”项目的学生有多少人．【解答】解：（1）参加这次调查的学生人数为（18+24+6）÷（1﹣20%）＝60（人），绘画的人数为60×20%＝12（人），补全图形如下：（2）360°×＝108°，答：扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数为108°；（3）3000×＝300（人），答：估计该校选择“舞蹈”项目的学生约有300人．七、解答题（本大题小题，满分12分）22．（12分）在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图1，∠C＝90°，AC＝2BC＝10，AD＝2，过点D作DE⊥AC交AB于点E（0≤α＜360°）．（1）将△ADE旋转至如图2的位置时，连接BE，CD．求证：；（2）若将△ADE旋转至B，D，E三点在同一条直线上时，求线段CD的长．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，∴∠EAD+∠DAB＝∠BAC+∠DAB，∴∠DAC＝∠EAB，∴△ADC∽△AEB，∴＝；（2）解：∵∠ABC＝90°，AC＝2BC＝10，∴BC＝8，∴AB＝＝＝5，∵DE∥BC，∴＝＝2，＝，∵AD＝2，∴DE＝3，由（1）知，＝，∴＝，∴＝＝＝，∴CD＝BE，如图，当点D在BE上时，∵∠ADE＝90°，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，AB＝5，由勾股定理得，DB＝＝，∴BE＝BD+DE＝11+1＝12，∴CD＝12×＝；如图，当点D在BE的延长线上时，在Rt△ADB中，AD＝2，由勾股定理得，BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝11﹣1＝10，∴CD＝10×＝4，综上所述：线段CD的长为或4．八、（本大题1小题，满分14分）23．（14分）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是AB的中点，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离），AB所