高考数学一轮复习试题第9节 函数模型及其应用

第9节函数模型及其应用

考试要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解”指数

爆炸对数增长”“直线上升”等术语的含义2通过收集、阅读一些现实生

活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了

解函数模型在社会生活中的广泛应用.

知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.指数、对数、鬲函数模型性质比较

函数y=axy=logoxy=xfl

（«>1）（«>D（心0）

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随〃值

图象随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表

变化而

的变化现为与y轴平行现为与X轴平行

各有不同

值的比较存在一个X0,当x>xo时，有logox〈炉

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型fix)=ax+b(a,。为常数，aWO)

2

二次函数模型fix）=ox+Z?x+c（a9b,c为常数，aWO）

与指数函数相关的模型fix）=ba':+c（a,b,c为常数，a>0且aWl,0W0）

与对数函数相关的模型7（x）=blogd+c（a,b,c为常数，a〉0且aWl,bWO）

与幕函数相关的模型j{x）=a^,+b{a,b,n为常数，a#0）

常用结论

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增

长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越

来越小.

2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.

3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数

学结果对实际问题的合理性.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若

按九折出售，则每件还能获利.()

(2)函数y=2'的函数值比＞=/的函数值大.()

⑶不存在X0,使心＜X0＜logaXO.()

(4)在(0,+8)上，随着X的增大，)=炉(&＞1)的增长速度会超过并远远大于＞=

必。＞0)的增长速度.()

答案(l)x⑵*(3)X(4)7

9

解析(1)9折出售的售价为100(1+10%)X—=99(TG).

•••每件赔1元，(1)错误.

(2)当x=2时，2了=/=4.不正确.

(3)如a=x()=g,〃=；,不等式成立，因此(3)错误.

2.(2021.全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测

量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数

记录法的数据V满足L=5+lg忆已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则

其视力的小数记录法的数据约为:标21259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

答案C

解析由题意知4.9=5+lgV,得lgV=—0.1,得丫=10-5心0.8,所以该同学视

力的小数记录法的数据约为0.8.

3.(多选)(2021.青岛质检)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量,

收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数

据，绘制了下面的折线图.

月接待游客量（万人）

O1234567891011121234567891()1112123456789101112

2014年2015年2016年

根据该折线图，下列结论正确的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较

平稳

答案BCD

解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误.其余

全部正确.

4.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价

定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低（升高）0.5元，则可多（少）

销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定

为（）

A.3.75元/瓶B.7.5元/瓶

C.12元/瓶D.6元/瓶

答案D

解析设销售价每瓶定为x元，利润为y元，贝1]y=（x—3）（4OO+M^X4O]=8O（X

-3）-（9-X）=-80（X-6）2+720（X^3）,所以x=6时，y取得最大值.

5.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

则对x,y最适合的拟合函数是（）

A.y=2xB.y=x1—1

C.y=2x~2D.y=log2X

答案D

解析当x=0.99时，y=0.01,可排除A,当x=2.01时，y=0.98,可排除B、

C,故选D.

IX力

6.(2022.北京丰台一模)大气压强片受;余积,它的单位是“帕斯卡”(Pa.lPa=

1N/m2),大气压强p(Pa)随海拔高度/z(m)的变化规律是。=00晨幼伙=0.000126m

'),po是海平面大气压强.已知在某高山4,上两处测得的大气压强分别为“，

P2,片=；.那么4,4两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln2—.693)()

A.550mB.l818m

C.5500mD.8732m

答案C

解析方nip小o・e""="书=用力01,故加—3华in2心瑞069标3=55oom.

□考点突破•题型剖析

考点一利用函数图象刻画实际问题的变化过程

1.某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程,收集并整理了2021年1月至2021

年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据.绘制了下面的折

线图.

月跑步平均里程/千米

根据折线图，下列结论正确的是()

A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月

D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平

稳

答案D

解析由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错

误；

月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；

月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错误，故选D.

2.（2022.郑州质检）水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度

如图甲、乙所示，某天。时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论

断：

①。时到3时只进水不出水；

②3时到4时不进水只出水；

③4时到5时不进水也不出水.

则一定正确的论断是（填序号）.

答案①

解析由甲、乙、丙图可得进水速度为1,出水速度为2,结合丙图中直线的斜

率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2,故①正确；

不进只出水时，蓄水量减少的速度为2,故②不正确；

两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0,故③不正确.

3.（2022.武汉调研）为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长

规律，统计显示，生长4年的树高为;米，如图所示的散点图，记录了样本树的

生长时间/（年）与树高M米）之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①尸

2'—a；②/—+砥/；③④y=3+a中（其中a为正的常数），生长年

数与树高的关系拟合最好的是（填写序号），估计该树生长8年后的树高

为米.

4

3

*

2.•*

1*

~O]~~1234567/

答案②¥

解析由散点图的走势，知模型①不合适.

曲线过点（4,则后三个模型的解析式分别为②y=g+log2/；③/=夕+/；④y

=3+g,当/=1时，代入④中，得＞=*与图不符，易知拟合最好的是②.

将f=8代入②式，得y=§+log28=w（米）.

感悟提升判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合

模型选图象.

（2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，

验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.

考点二已知函数模型解决实际问题

例1（2021•承德二模）我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月

以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：y=

yo-erl,其中r表示经过的时间（单位：年），yo表示f=0时的人口数（单位：亿），r

表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记（已

上报户口）的全国总人口12.43亿人（不包括香港、澳门和台湾地区）和2010年第

六次人口普查登记（已上报户口）的全国总人口13.33亿人（不包括香港、澳门和台

湾地区）为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年年末（不包括香港、

澳门和台湾地区）的全国总人口数为（13.332=177.6889,口.43』154.5049）（）

A.14.30亿B.15.20亿

C.14.62亿D.15.72亿

答案A

1333

解析由马尔萨斯人口增长模型，得13.33=12.43/°。即所以我国

13332177.6889

2020年年末的全国总人口数约为丫=13.335°，=置方=（亿）.

12.4314.30

感悟提升1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.

⑴认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

训练1（2021.益阳二模）我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是

小数记录与五分记录，如图所示（已隐去数据），其部分数据如下表:

小数

0.10.120.150.2・・・?.・・1.01.21.52.0

记录X

五分

4.04.14.24.3・・・4.7・・・5.05.15.25.3

记录y

现有如下函数模型：①y=5+lgx,②y=5+小忌，x表示小数E印

xUIE

记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下Ems

mEIUE

问题：小明同学检测视力时，医生告诉他视力为4.7,则小明同Einam

mEmUJE

学的小数记录数据为（参考数据：10一°320.5,5-°-22弋0.7,m3-2

标准对数视力表

10-01^0.8）（）

A.0.3B.0.5

C.0.7D.0.8

答案B

解析由题中数据可知，当尤=1时，y=5,两个函数模型都符合；

当x=0.1时，由y=5+lgx,得y=5+lg0.1=4,与表中的数据符合，而y=5

4-j7;lg7=5.1,与表中的数据不符，

1\JA-

所以选择模型y=5+lgx更合适，

此时令y=4.7,则lgx=—0.3,

所以x=10a3«=：o.5.

考点三构造函数模型解决实际问题

角度1构造二次函数模型

例2某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售

100元征税R元），若每年销售量为（30—|R）万件，要使附加税不少于128万元，

则R的取值范围是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

答案A

解析根据题意，要使附加税不少于128万元，需（30一|H）X160XH%228,

整理得衣一12尺+32W0,解得4WRW8,即g4,8].

角度2构造指数、对数函数模型

例3（1）（2022.青岛检测）一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有1

的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是

（）

A.6B.5C.4D.3

答案C

解析设这种放射性物质最初的质量为1,经过MxWN）年后，剩余量是〉，

则有y=（4）-

依题意得（JW焉.

则叫2100,解得x24.

所以至少需要的年数是4.

⑵（2022.武汉检测）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级d（x）（单位:dB）

与声音强度x（单位：W/n?）满足d（x）=91gy^*-6一般两人小声交谈时，声音的

1入1U

等级约为54dB,在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB,那么

老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（）

A.1倍B.10倍

C.100倍D.1000倍

答案B

解析设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为加W/n?,

X2W/m2,

riY-)

根据题意得d(xi)=91g[1A乂1[八U_M=63,解得1zxxi=1U106,d(x2)=91g[乂[八_]?=54,

解得X2=10?所以号=10,

因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.

角度3构建分段函数模型

例4小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某

小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本川⑴

万元，在年产量不足8万件时，W(x)=¥+x(万元).在年产量不小于8万件时,

W(x)=6x+千一38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当

年能全部售完.

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销

售收入一固定成本一流动成本)

⑵年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是

多少？

解(1)每件产品售价为5元，

则x万件产品的销售收入为5x万元.

当0令＜8时，

L(x)=5x-&C2+x)-3=-$+4x-3,

当x28时,

L(x)=5x-38)-3

(,100

=35_^+—

—gf+dx—3,0<r<8,

故L(x)=

(,100

35-lx+V,,工28.

(2)当0令＜8时,

L（x）———3=—g（x—6）2+9；

当x=6时，L（x）取最大值为£（6）=9（万元）;

当*28时，L（x）=35—[+雪）

釜35-2\^・手=15（万元），

（当且仅当％=等，即尤=10时，取等号）

综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利

润为15万元.

感悟提升（1）在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.

②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知

识，建立相应的函数模型.

③解模：求解函数模型，得出数学结论.

④还原：将数学结论还原为实际意义的问题.

（2）通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构

建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.

训练2（1）（多选）已知一容器中有A,8两种菌，且在任何时刻A,B两种菌的个

数乘积均为定值107为了简单起见，科学家用Pn=lg〃A来记录A菌个数的资

料，其中〃A为A菌的个数.现有以下几种说法，其中正确的是（）

A.PQl

B.PAWIO

C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多

10

D.假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5<PA<5.5（注：1g2^0.3）

答案BD

解析当〃4=1时，PA=O,故A错误；

又riA-nB=1O10且1,

10

."后10叫：.PA^\g10=10,故B正确;

若PA=1,则〃A=10；若PA=2,则〃A=100,故C错误；

设5菌的个数为"8=5X104,

101（）

=5*]04=2*105,

则Pa=lg（〃A）=5+lg2.

又lg2Ao.3,：.5<PA<5.5,D正确.

（2）（2020.全国in卷）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.

有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数m的单位：天）的

Logistic模型：«f）=I+e-，其中K为最大确诊病例数.当/（力=0.95K时，

标志着已初步遏制疫情，则/约为（In19心3）（）

A.60B.63C.66D.69

答案C

解析因为/（/）=]+e-（）.23V-53>'所以当/«*）=0.95K时，]+e-0.23丁-53）=

O.95^1+e-o.23（rt-53>=o.95=>1+e°23（产-53）=念=e023"*—53）=念一]=

e°23（，*-53）=]9=0.23（r—53）=ln19=广=$4+532高+53p66.

I分层训练•巩固提升

||A级基础巩固

1.（2021.张家口一模）溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH=

-lgfH+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离

子的浓度通常在1X107.45〜1义10-7.35之间，如果发生波动，就是病理现象，那

么，正常人体血液的pH值的范围是（）

AJ7.25,7.55]B」7.25,7.45]

C.[7.25,7.35]D.[7.35,7.45]

答案D

解析依题意，令pHi=—lg[lX10-7.45]=745,pH2=—lg[IX10-7.35]=7.35,因

此,正常人体血液的pH值的范围是[7.35,7.45].

2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列

四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x—21)

C.y=log2XD.^=log-x

答案B

解析由题中表格可知函数在（0,+8）上是增函数，且y的变化随尤的增大而增

大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.

3.（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同

学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路

程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（）

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min

B.甲从家到公园的时间是30min

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0WxW30时，y与x的关系式为

答案BD

解析在A中，甲在公园休息的时间是lOmin,所以只走了50min,A错误；

由题中图象知，B正确；

甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以

甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；

当0Wx〈30时，设伏#0）,则2=30%,解得k=七，D正确.

4.（多选）某工厂一年中各月的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中

正确的是（）

A.收入最高值与收入最低值的比是3：1

B.结余最高的月份是7月

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为40万元

答案ABC

解析由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1,

故A正确；

由题图可知，7月份的结余最高，为80—20=60（万元），故B正确；

由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故

C正确；

由题图可知，前6个月的平均收入为上义（40+60+30+30+50+60）=45（万元），

故D错误.

5.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵

树与两墙的距离分别是4m和am（0<«<12）,不考虑树的粗

细.现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD

设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内，

则函数“=%）（单位：n?）的图象大致是（）

答案B

解析设长为x,则CZ）长为16-x.

又因为要将P点围在矩形ABCO内,

所以

则矩形ABC。的面积为x(16—x).

当0VaW8时，当且仅当尤=8时，”=64.

当8VaV12时,〃=>(16—a),

'64,0VaW8,

所以u=\/,、

a(16—(2),8<cz<12,

分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近.

6.(2021.阜阳期末)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙

古四子王族预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精

度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与

“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2

m/s,这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水

漂”的速率为上一次的93%,若要使石片的速率低于7.84m/s,则至少需要“打

水漂”的次数为(参考数据：取In0.7=-0.357,In0.93=—0.073)()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析设石片第"次“打水漂”时的速率为弘，则％=11.2X0.93"」

由11.2X0.93"-iV7.84,得0.93”-1<0.7,则(〃-l)ln0.93Vin0.7,

In0.7-0.357

即〃一1>ln0.93=-0.073%4,89.

则”>5.89,故至少需要“打水漂”的次数为6.

7.某商品在最近30天内的价格加)与时间X单位：天)的函数关系是_/U)=f+10(。

VfW30,/GN),销售量g⑺与时间t的函数关系是g")=-/+35(OVfW3O"GN),

则这种商品的日销售金额的最大值是.

答案506

2

解析日销售金额y=(—/+35)。+10)=—1一曰+350+竽，

VreN..\z=12或13时，>ax=506.

8.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某

品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=crjA(a为常数)，广告

效应为0=9-4.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应

为（用常数a表示）.

答案（次

解析令，=近020）,则A=P,

2

.".D=at-i1=~2a）+1/,

...当即A=、/时，。取得最大值.

9.（2021•广州测试）据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害.在所有的农业

害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大.沙漠蝗虫的繁殖速度很快，迁徙能

力很强.已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来

的10倍.该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过_______天，蝗虫数量会达到4000

亿只.（参考数据：1g2^0.30,1g3-0.48）

答案54

解析由题意知，每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，设每天的

15

增长率为a,则有（l+a）i5=10,解得。=才布一1・

设经过x天后，蝗虫数量会达到4000亿只，

贝I有IX（1+^=4000,

xx

所以10^=4000,即行=lg4000,

X

故记=3+lg4=3+21g2-3+2X0.3=3.6,所以x=54,

故经过54天，蝗虫数量会达到4000亿只.

10.尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所

了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为

lgE=4.8+1.5M.

⑴已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5

级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的

为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约IO】?焦耳，试确定该次地震的类型；

（2）2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本

地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？（取9=3.2）

解（1）某次地震释放能量约10D焦耳，即E=l（）i2代入］gE=4.8+I.5M,化简

1g1012—4.812-4.8

得M==4.8.

1.51.5

因为4.8>4.7,所以该次地震为“破坏性地震”.

（2）设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为e，及.

由题意知，1gB=4.8+1.5X8=16.8,lgE2=4.8+1.5X9=18.3,

即⑻&=10区3,

所以卷<^10=3.2,得后=32.

故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.

11.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活

水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度。（单位：千克

/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，。的值为

2千克/年；当4〈尤W20时，。是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺

氧等原因，。的值为0千克/年.

⑴当0VxW20时，求函数。关于x的函数解析式；

（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并

求出最大值.

解（1）由题意得当0V光W4时，0=2；

当4VxW20时，设0=奴+仇

显然。=<2x+Z>在（4,20］内是减函数,

20a+/?=0,

由已知得解得,

4a+b=2,p=|,

所以V=—|x+|,

2,0«4,

故函数v='

4VxW20.

（2）设年生长量为/U）千克/立方米，依题意并由（1）可得,

'2x,0<启4,

*)—^x2+|x,4<xW20,

当0Vx<4时，«r)为增函数，故/U)max=/(4)=4X2=8；

当4VxW20时，兀0=一'+|九=一点＞2—20%)=一上。：一10)2+夸，Xx)max=/(10)

=12.5.

所以当x=10时，«x)的最大值为12.5.

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5

千克/立方米.

|B级能力提升

12.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，

我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术

问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊

桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日上点的轨道运行心点是平衡点，位于地月连

线的延长线上.设地球质量为月球质量为M2,地月距离为R,心点到月球的

距离为「，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：

JM2/pi必

(R+r)2+_户一依十乃天心

r3a3+

设a=S由于a的值很小，因此在近似计算的•(匚工)2--3a3,则/•的近似值

答