二项式定理（1）课件高二下学期数学人教A版选择性

6.3.1二项式定理（1）

1.今天是星期一，从明天起的第天是星期几？820新课引入2.某人投资10万元，年利率10％，按每年复利一次计算，10年后本息．这就得研究形如的展开式．？探究：展开下列式子，并回答下面的问题

(a+b)1=

,

(a+b)2=__________________(a+b)3=__________________1、若把(a+b)3看成(a+b)(a+b)(a+b)，你能用排列组合的思想来解释a3这一项是怎么得到的吗？

其他的项呢？2、参照上题的思想，试展开(a+b)4a2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3完成教材P29探究a+b那么，将展开后，它的各项是什么呢？

容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：思考:现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？在上面4个括号中：每个都不取b的情况有1种，即种，恰有1个取b的情况下有种，恰有2个取b的情况下有种，恰有3个取b的情况下有种，4个都取b的情况下有种，所以a4的系数是；所以a3b的系数是；

所以a2b2的系数是；

所以ab3的系数是；

所以b4的系数是.

(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,a2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=____________________，a+b(a+b)n

=?……请同学们归纳、猜想

!?一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

探究猜想：思考：的展开式怎么写呢？按所取b的个数分类：

(1)不取b，得(2)取1个b，得(3)取2个b，得…………(k+1)取k个b，得…………(n+1)取n个b，得

将这n+1个式子相加，可得(分成n+1类)

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，二项展开式中的叫做二项式系数.

它一共有n+1项，其中各项的系数用来表示，叫做二项展开式的通项，

即通项为展开式第r+1项:一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

1.系数规律：2.指数规律：（1）各项的次数均为n；（2）各项里a的指数由n降到0，

b的指数由0升到n.3.项数规律：两项和的n次幂的展开式共有n+1个项.定理特征新知探究:二项式定理：公式通项公式:集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，特定项系数、以及数、式的整除方面有广泛应用.它在求展开式的某些特定项、注意：（2）叫做二项式系数，（1）展开式的第r+1项（通项）其中它与第r+1项的系数是两个不同的概念.它可表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随即确定；（3）表示的是第r+1项，而不是第r项；（4）中a，b

的位置不能颠倒，且它们指数和一定为n.二项式定理对任意的数a、b都成立，当然对特殊的a、b也成立！问题1：根据二项式定理，(1＋x)n(n∈N*)等于什么？问题2：(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？例1.应用探究求的展开式．

解：根据二项式定理，

（1）求(1+2x)7的展开式中的第4项的二项式系数以及第4项的系数；（2）例2教材P30例2改编解：（1）(1+2x)7展开式的第4项为∴第4项的二项式系数

的展开式中的三次项.第4项的系数是280.展开式中

的系数（3）求

（2）求的展开式中的三次项.例2教材P30例2改编由题意得∴

三次项是:解：应用探究解:求的展开式中的系数。的展开式的通项：根据题意，得因此，的系数是例2(3)通项公式变式:求展开式中的常数项.

解：依题意故在的展开式中的常数项是第9项，即（1）二项式定理是代数公式

和它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法．（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉他