2023-2024学年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市国际港务区铁一中陆港中学九年级

（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）

A.ax2+hx+c=0B.x2—5=2%

C.X2+3%-1=y2+5D-x2+i=0

2.用配方法解一元二次方程X2+8X-7=0,则方程可化为（）

A.（x+4）2=23B.（x+8）2=23C.（x+4）2=9D.（%+8）2=9

3.下列说法中的错误的是（）

A.一组邻边相等的矩形是正方形

B.一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4.关于x的一元二次方程以2+3%-1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A-^-4C.k>-1D.kN-w且y。

5.向上抛掷两枚相同的硬币，落地后出现一正面、一反面的概率是（）

11C1

---

A.432

6.如图，在矩形ABC。中，对角线AC、B0相交于点。，点E、F

分别是4。、4。的中点，连接EF,若AB=3,BC=4,则EF的

长是（）

A.5

B|

C.-

4

D.3

7.如图，正方形4BCD和正方形CEFG中，点。在CG上，BC=

1,CE=3,H是AF的中点，那么CH的长是（）

A.2.5

B.V-5

C.

D.2

8.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一

季度共获利36.4万元，已知12月份和3月份利润的月增长率相同.设2,3月份利润的月增长率

为X,那么x满足的方程为()

A.10(1+x)2=36.4B.10+10(1+x)2=36.4

C.10+10(1+x)+10(1+2x)=36.4D.10+10(1+%)+10(1+x)2=36.4

9.如图，△力BC中，ABAD=Z.CAD,BE=CE,AD1BD,DE=3,AB=8,贝必C的值为

()

A.14B.11C.7D.15

10.用两个全等且边长为4的等边三角形48。和小AC。拼成菱形4BCD,把一个60。角的三角尺

与这个菱形叠合，使三角尺的60。角的顶点与点4重合，两边分别与4B,4C重合，将三角尺

绕点2按逆时针方向旋转，在转动过程中，当△AEC的面积是2，与时，CF的长为()

A.2或4B.2或6C.4或6D.0或8

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

11.顺次连接矩形的四边中点所得图形是

12.若关于％的一元二次方程(m—2)M+%+巾2—4=0的一个根为0,则m值是

13.如图是一个五角星图案，中间部分的五边形4BCDE是一个

正五边形，则图中4ABe的度数是度.

14.西安有“碳水之都”的美誉，现有4张卡片正面分别写着“碳”“水”“之”“都”，卡

片除汉字不同其他别无二致，将卡片正面朝下洗匀，然后同时随机抽取2张，刚好抽到

“碳”“水”二字的概率是.

15.若a?+5ab-b2=0,则怖的值为

16.如图，在矩形4BCO中，E为BC上一点，以CE为边作矩形

DEGF,其中GF经过点4连接2E,若BG=4G,CE=1,力尸=2,

则的长为.

三、解答题(本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

(1)用公式法解方程：2/-钛-1=2；

(2)用配方法解方程：4x2-3=4x；

(3)用分解因式法解：x-l=(l-x)2.

18.(本小题4.0分)

解方程：滔+4=弯

x+24-/x-2

19.(本小题6.0分)

已知：直线I上一点C及其外一点4求作：菱形ABCD,使菱形4BCD的边BC在直线I上.(保留

作图痕迹)

A,

C

20.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，力。是8c边上的中线，E是AD的中点，延长BE到F,使BE=EF,连接AF、

CF、DF.求证：四边形4DCF是平行四边形.

21.(本小题10.0分)

接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径.现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种

点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的1.25倍，且甲社区接

种点完成3000人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成4000人的疫苗接种所需的时间

少2天.

(1)求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数：

(2)一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度.该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来

平均每天接种疫苗的人数增加了25%,受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点

平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了57n人，但不低于800人，这

样乙社区接种点(6+15)天接种疫苗的人数比甲社区接种点2m天接种疫苗的人数多6000人,

求m的值.

22.(本小题10.0分)

如图，在平行四边形4BCD中，对角线AC、相交于点。，CE垂直于边的延长线于点E,

CF垂直于AD边的延长线于点F,且CE=CF.

(1)求证：四边形4BC0是菱形；

(2)当48：AE=3：5,CE=5时，求菱形48co的面积.

D

23.(本小题10.0分)

已知关于久的方程：x2-(3m+l)x+(|m)2=0有两个不相等的实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若m为(1)中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为a,

b,求代数式J/+)。2匕一4a的值.

44

24.(本小题12.0分)

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔

离分家万事休”，数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，

在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.在我校的数学选修课上，同学们针对四

边形面积求解的问题进行了探究：

【问题提出】

(1)如图1,在口ABC。中，44=45°,AB=8,AD=6,E是力。的中点，点尸在DC上，且DF=5,

求四边形4BFE的面积；(结果保留根号)

【问题解决】

(2)如图2所示，现规划在一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE,按设计要求，要在五

边形河畔公园ZBCDE内挖一个四边形人工湖。PMN,使点。、P、M、N分别在边BC、CD、4E、

4B上，且满足B。=24N=2CP,4M=OC.已知五边形4BC0E中，乙4=NB=/C=90。，

AB=800m,BC=1200m,CD=600m,AE=900m,为满足人工湖周边各功能场所及绿

化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人

工湖OPMN?若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请

说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4选项，当a=0是，原方程是一次方程，不符合题意；

B选项符合一元二次方程的定义；

C选项有两个未知数，也不符合题意；

。选项是分式方程，不符合题意；

故选:B.

一元二次方程是指含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此来判断即可.

本题考查了一元二次方程的识别，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：x2+8x—7=0,

x2+8x=7,

x2+8x+42=7+42,

(x+4)2=23,

故选：A.

移项，配方，即可得出选项.

本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：4一组邻边相等的矩形是正方形，此说法正确，不符合题目的要求：

8、一组邻边相等的平行四边形是菱形，此说法正确，不符合题目的要求；

C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，此说法错误，符合题目的要求；

。、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此说法正确，不符合题目的要求；

故选：C.

根据正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的判定方法逐项分析即可.

此题是一道几何结论开放题，全面地考查了矩形的判定定理，可以大大激发学生的思考兴趣，拓

展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神.

4.【答案】D

【解析】解：•••关于x的一元二次方程-2+3x-1=0有实数根，

b2-4ac>0,

即：9+4fc>0,

解得：k>-p

4

,••关于x的一元二次方程/c%2+3x-1=0中k*0,

则k的取值范围是k>一狙k丰0.

故选：D.

根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可,

同时还应注意二次项系数不能为0.

本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.

5.【答案】C

【解析】解：画树状图如下：

开始

正反

Z\

正反正反

共有4种等可能的情况出现，其中出现一正面和一个反面的情况占2种，

所以出现“一正面和一个反面”的概率为3=:，

故选：C.

画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合

事件4或B的结果数目然后利用概率公式求事件4或8的概率.

6.【答案】C

【解析】解：YaB=3,BC=4,

•••AC=VAB2+BC2=V9+16=5，

•••四边形ABC。是矩形，

AC=BD=5,BO=DO=|,

•••点E、/分别是力。、4。的中点，

・•・EF/OD=4

故选：c.

由矩形的性质可得AC=BD=5,BO=DOI，由三角形中位线定理可求解.

本题考查了矩形的性质，三角形中位线的定理，勾股定理，掌握矩形的对角线相等是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：如图，连接4C、CF,

•.•正方形力BCD和正方形CEFG中，BC=1,CE=3,

AC=C，CF=3t，

AACD=AGCF=45°,

Z.ACF=90°,

山勾股定理得，4F=yjAC2+CF2=(V-2)2+(3V-2)2=2A/-5,

••・H是4F的中点，

•••CH=旻独=另X2<5=V-5.

故选：B.

连接4C、CF,根据正方形性质求出AC、CF,Z.ACD=Z.GCF=45%再求出乙4CF=90。，然后利

用勾股定理求出4尸，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各

性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程.熟练掌握由实际问题抽象出一元二次方程是解题

的关键.求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a,变化后的量为b，平均变化率为x,则经过

两次变化后的数量关系为a(l±x)2=b.

等量关系为：一月份利润+一月份的利润x(1+增长率)+一月份的利润x(1+增长率尸=36.4,

把相关数值代入计算即可.

【解答】

解：设二、三月份的月增长率是％,依题意有

10+10(1+x)+10(1+x)2=36.4,

故选：D.

9.【答案】A

【解析】解：如图，延长BD交AC于尸,

在△ADB和AADF中，

Z.BAD=Z.FAD

AD=AD,

JLADB=Z.ADF

：^ADB^^ADF{ASA),

:.AF=AB=8,BD=DFf

・・,BE=EC,

DE是4BFC的中位线，

:.FC=2DE=2x3=6,

・・.4C=4F+FC=8+6=14,

故选：A.

延长8。交AC于广，证明△4082A/0F,根据全等三角形的性质得到4尸=48=8,BD=DF,

根据三角形中位线定理求出FC,计算即可.

本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，熟记三角形中位线等于第三边的一

半是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：如图1,在△48E和中，

•・•乙BAE+Z-EAC=/.CAF+Z-EAC=60°,

，Z-BAE=Z.CAF.

•・・AB=ACfZ,B=/LACF=60°,

：^ABE^^ACF{ASA).

・•・BE=CF,

•・・△AEC的CE边上的高为等边^ABC的高，而48=4,

・•・CE边上的高为2C，

又△4EC的面积是2门，

・•・3xCEx2V~~3=2^-3，

.♦・CE=2,

・・・BE=2=CF；

如图2,在AaCE和AZD尸中,

•・・Z-CAE+/LEAD=Z.FAD+乙DAE=60°,

:.Z-CAE=Z-DAF,

•・・Z.BCA=Z.ACD=60°,

・・・(FCE=60°,

・•・Z.ACE=120°,

•・・/.ADC=60°,

・・・2LADF=120°,

在△ACE和△4。尸中，

Z.FAD=Z.CAE

AC=AD,

Z.ADF=Z.ACE

'.^ACE^^ADF^ASAy

ACE=DF,

・•・BE=CF.

•・•△NEC的CE边上的高为等边^ABC的高，而48=4,

・•・CE边上的高为24方，

又△4EC的面积是2/耳，

:、gXCEX2y/~~3=2A/-3,

:.CE=2,

.・.BE=CF=AB+CE=6.

:.BE=6或2.

故选：B.

首先利用等式的性质可得出NBAE=4C4F,再由AB=AC、ZF=Z.ACF,利用44s在图1、2中可

证得证明△4CE三△ADF,从而得到BE=CF,根据已知条件知道△AEC的高为等边△ABC的高，

由于△力EC的面积等于2q,由此可以求出底边CE即可解决问题.

本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质及全等三角形的判定，注意在含有三角形的图形中，

线段的相等一般都会转化为三角形的全等的证明，三角形全等的判定是中考的热点，先根据已知

条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么

条件.

11.【答案】菱形

【解析】解：在△ABD中，

■：AH=HD,AE=EB,

•••EH=：BD,

同理FG=^BO,HG=\AC,EF=^AC,

又•••在矩形ZBCD中，AC=BD,

EH=HG=GF=FE,

四边形EFGH为菱形.

故答案为：菱形.

因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边

都相等，从而说明是一个菱形.

本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①

定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分.

12.【答案】-2

【解析】解：根据题意，得

x=0满足关于x的一元二次方程(ni-2)x2+x+m2-4=0,

m2—4=0,

解得，m—±2；

又•.,二次项系数m-2H0,即m芋2,

:.m=-2；

故答案为：-2.

根据一元二次方程解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程—+x+—然

后解关于m的一元二次方程即可.

本题考查了一元二次方程的解的定义.解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方

程的二次项系数不为0”这一条件.

13.【答案】108

【解析】解：•.•ABCDE是一个正五边形，

•••五边形的内角和是(5-2)x180°=540°,

乙ABC=540°+5=108°.

根据五边形的内角和是(5-2)x180°=540°,再根据正五边形的各个内角都相等求得乙4BC的度

数.

掌握多边形的内角和定理以及正多边形的性质.

【答案】

14.O

【解析】解：画树状图如下：

开始

碳水之都

/l\Zl\/N/T\

水之都碳之都碳水都碳水之

共有12种等可能的结果，其中刚好抽到“碳”“水”二字的结果有2种，

・•・刚好抽到“碳”“水”二字的概率是总

1Zo

故答案为：

画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到“碳”“水”二字的结果有2种，再由概率公

式求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步

或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

15.【答案】一?士萼

【解析】解：,**a2+Sab—b2=0,

；・产+5t—1=0,

・・・产+5t+片=搭

44

«+|)24

5,y/~29

一二十--，

2-2

故答案为一I士等

根据换元法以及一元二次方程的解法即可求出答案.

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练应用一元二次方程的解法，本题属于中等题型.

16.【答案】8

【解析】解：延长4G交C8的延长线于0

vDE//FT,

・•・Z.T=乙DEC，

v乙ABT=ZC=90°,AB=DC,

：・AT=DE,BT=CE=1,

•••四边形DEGF是矩形，

:*DE=FG,

・•・AT=FG,

:・AF=GT=2,

•・,GA=GB,

:.Z.GAB=Z-GBA,

•・・Z.GAB+47=90°,Z.GBA+4TBG=90°,

・•・Z.T=乙GBT,

GT=GB=GA=

AB=VAT2-BT2=V42-l2=

vAG=GT,EG1AT,

EA=ET,设E力=ET=x,

在Rtz\4BE中，则有/=(C^)2+(x-1)2,

・•・x=8,

・•・AE=ET=8，

•：AT=DE,AT//DE,

.•・四边形ACET是平行四边形，

:.AD=ET=8.

延长47交CB的延长线于7:证明EG垂直平分线段AT,推出E4=ET,设E4=ET=%,构建方程求

出X即可解决问题.

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，

解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

17.【答案】解：(1)2%2_以一1=2,

2x2—4x—3=0,

A=(-4)2-4x2X(-3)=40>0,

4±2^n^2±<T0

x=2x2=-2-'

所以与=当卫，&=鸟卫；

(2)4x2—3=4%,

4x2-4x-3=0,

4

2J3J

444

(.X-1)2=1>

x-^=±l,

所以X]=5，X2=—I；

(3)x-1=(1-x)2,

(x-l)2-(x-1)=0,

(%—1)(%—1—1)=0,

x—1=0或％-1-1=0,

所以工1=1,%2=2.

【解析】(1)先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解;

(2)利用配方法得到(x-勺2=1,然后利用直接开平方法解方程；

(3)先把方程变形为Q-1)2_(X-1)=0,再利用因式分解法把方程转化为x-1=0或x-1一

1=0,然后解两个一次方程即可.

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方法.

18.【答案】解：原方程可化为：话一招=等，

%+2xz—4x-2

方程的两边同乘(％-2)(x+2),得

(x-2)2-16=(x+2＞解得x=-2,

检验：把x=-2代入。+2)(x-2)=0

•••原方程无解.

【解析】观察可得最简公分母是(x-2)(x+2),方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为

整式方程求解.

(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.

(2)解分式方程一定注意要验根.

•••E是ZD的中点,

:.AE=ED,

又・・•BE=EF,

.••四边形ABDr是平行四边形,

:.AF=BD,S.AF//BD,

•••4D是8c边上的中线，

.・.CD=DB,

AF=DC,

又4尸〃CD,

AF=CD,

••・四边形4FCD是平行四边形.

【解析】连接DF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推出四边形4BDF是平行四边

形，根据平行四边形的性质得出4尸=BD,5.AF//BD,进而得出4尸=CD,再根据“一组对边平

行且相等的四边形是平行四边形”即可得解.

本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

21.【答案】解：（1）设乙社区疫苗接种点平均每天接种x人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种1.25x

人，

由题意得：^=--2.

1.25%x

解得：%=800,

经检验，久=800是原分式方程的解，且符合题意,

•••1.25x=1.25x800=1000,

答：甲社区疫苗接种点平均每天接种1000人，乙社区疫苗接种点平均每天接种800人；

（2）由题意得：（1000-5m）X2m+6000=800X（1+25%）X（m+15）,

整理得：m2-100m+900=0,

解得：Tn】=90,m2=10,

1000—5m>800,

•••m<40,

•••m1=90不符合题意舍去，

答：的值为10.

【解析】（1）设乙社区疫苗接种点平均每天接种x人，则甲社区疫苗接种点平均每天接种1.25X人,

根据题意：甲社区接种点完成3000人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成4000人的疫苗接

种所需的时间少2天.即可列出关于久的分式方程，解分式方程即可，注意检验；

（2）根据题意：乙社区接种点+15）天接种疫苗的人数比甲社区接种点2巾天接种疫苗的人数多

6000人，列出关于m的一元二次方程，解方程，即可解决问题.

本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列

出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.

22.【答案】（1）证明：•••CELAE,CF1AF,CE=CF,

­.4C是S4B的平分线,

・•・Z-FAC=Z.EAC,

在平行四边形4BCD中，CDHAB,

・•・Z.DCA=Z.EAC,

:.Z.DCA=乙FAC,

AD=CD,

；.平行四边形力BCD是菱形；

(2)解：-AB：AE=3：5,

设AB=3x,则4E=5x,

•••BE=2x,

在菱形ABC。中，BC=AB=3x,

在Rt△EBC中，CE=5,

由勾股定理得：BC2=BE2+CE2,

52*4+4x2=9x2,

解得x=IG(负值舍去)，

•••AB=3x=3V-5>

.,.菱形ZBCD的面积=AB-CE=3屋x5=15，石.

【解析】(1)根据角平分线的性质可得AC是4ZMC的平分线，再根据平行四边形的性质证明4。=

CD,进而可得平行四边形4BCD是菱形；

(2)设4B=3x,BE=2x,根据勾股定理求出x的值，进而根据菱形的面积公式即可解决问题.

本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练

掌握菱形的性质是解题的关键.

23.【答案】解：⑴根据题意，得4=[一(3加+1)]2-4[(|m2+；]=6巾一1>°，

解得m

O

(2)vm为(1)中符合条件的最小正整数，

Am=1,

原一元二次方程为/一©+芋=0,

4

・•・a+b=4,ab==a2-4a4-=0,

44

・•・a2-4/a=——1-1»

4

・•・7ci3+2b—4a

44

1

=-a2(a4-fa)—4a

=a2—4a

11

~~~4*

【解析】(1)根据关于X的方程：M-(3m+l)x+(|m)2+2=0有两个不相等的实数根，可知/>

0,进一步求解即可；

(2)先确定m的值，再根据根与系数的关系，可得a+b=4,ab=y,a2-4a+y=0.进一步

化简计算即可.

本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的情况与

判别式的关系是解题的关键.

H

24.【答案】解：⑴如图1,过点4作AH1CD交的延r-..G..-U------------------£--------p

长线于H,过点E作EG1CH于G,：ET//

•••4H=90。，//

AB

•