双曲抛物型方程省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

4.双曲－抛物型方程初条：准确解为初值问题此乃线性Burgers方程，为N-S方程模型方程1第1页4.1差分格式1.迎格调式(c>0)(c<0)精度：稳定条件：2.蛙跳（leapfrog）格式精度：稳定条件：仅对对流项2第2页3.时间前差，空间中心差分显格式精度：稳定条件：4.Lax-Wendroff格式精度：稳定条件：3第3页5.Crank-Nicholson格式精度：稳定条件：恒稳6.全隐格式精度：稳定条件：恒稳可对对流项及扩散项分别采取不一样格式4第4页非线性Burgers方程为N-S方程一个很好模型方程对于特殊选定初始值和边界条件，及尤其函数f，可得准确解设f=u2/2，定解域为0

x

L,t0,边界值u(0,t)=u0,u(L,t)=0定常问题准确解：其中自行尝试各种格式5第5页时间微商差分迫近上述差分方法中在对时间偏微分时，只分为1单步二层格式（前向差分）一阶精度2蛙跳格式（中心差分）：二阶精度3若维持相关欧拉格式空间微商差分形式不变（简记为Ld），则我们可引入龙格－库塔(Runge-Kutta)格式，其时间差分精度为4阶（只是内存占用量大）6第6页范例若对空间微商采取中心差分，即则龙格－库塔格式为稳定条件：7第7页守恒型与非守恒型作为源方程方程组能够有不一样解析形式，如欧拉形式与拉格朗日形式，守恒形式与非守恒形式，积分形式与特征形式等。不一样形式源方程在解析分析中完全等效，但在数值计算方面则不尽然。对任一物理量U=U(x,t)，若能写成则称U为守恒型变量，F为其通量（密度），形如此方程者为守恒型方程8第8页质量守恒动量守恒能量守恒磁通守恒涡旋守恒9第9页差分格式从守恒型方程出发设计格式含有总体守恒特征，故称为守恒型格式，如该方程可写为半格点值由插值得到若体系与外界无交换，则10第10页差分格式子类半格点插值公式选取若干子类1.欧拉显格式二阶四阶2.欧拉全隐格式精度：11第11页3.Lax格式4.蛙跳－梯形格式蛙跳步梯形步相当于12第12页5.Lax-Wendroff格式(等价于半步长Lax＋半步长蛙跳)格式4、5时间精度均为二级。尤其是碰到激波时，守恒格式能使激波关系较为准确地满足，所以在激波计算中应首先考虑使用守恒型格式。13第13页5.说明对流方程差分格式

耗散性和色散性对于对流方程差分格式稳定性含有主要影响，而理想（磁）流体方程含有与对流方程相同形式，同属于双曲型方程，故设计格式时须注意耗散性及色散性在稳定条件满足情况下，迎格调式、Lax格式及全隐格式含有一阶耗散，属强耗散格式，L-W格式含有三阶耗散，龙格库塔格式含有五阶耗散，属弱耗散格式，色散效应起主导作用。蛙跳、跳点和C-N格式耗散余项为0，属无耗散格式，在碰到激波等强间断时，弱（无）耗散格式色散性会造成波头振荡和计算失稳，须引入人为耗散。14第14页隐式与显式隐格式稳定性好（步长仅受非线性效应及计算精度约束），而显格式则在步长上有强约束条件，有时会使步长太短而无法实现。但对波动过程及瞬变现象，物理量改变时间尺度较小，故显格式步长限制有时并不十分严重，且显格式含有编程简单及适宜并行处理优点，也经常被采取。对扩散项，当耗散系数较大或空间步长较小时，应优先考虑隐格式。将前面介绍单一方程差分格式对整个方程组进行统一处理是结构偏微分方程组差分格式最简单路径。15第15页6.守恒型方程组单步显格式考虑方程组其中U为未知函数，F为通量项，S为非齐次项（能够是U函数），三者均m维矢量上式可写为非守恒形式其中为矩阵上式中F可分解为与速度相关对流项FT和诸应力项＋耗散项FD

常见单步格式：Lax格式、Lax-Wendroff格式及迎格调式16第16页Lax格式精度：稳定条件：式中为矩阵A最大本征值该格式可推广到二、三维，对应稳定条件为对流体，为声速17第17页Lax-Wendroff格式精度：稳定条件：普通A是U线性函数，故其色散正比于k4，故适合研究长波作业：这儿应该是F还是U?18第18页迎风格式精度：稳定条件：推广到高维问题时效果很差，故普通只用于一维问题Lax方法及迎格调式虽精度低，但却含有强耗散和弱色散，故实际使用时稳定性及可靠性很好