中考数学一轮复习课件相似三角形

相似三角形

知识点1比例线段及其性质1.比例线段及其性质概念在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段性质1＝⇔ad①

＝

⁠bc（abcd≠0）性质2＝⇔＝（bd≠0）性质3＝＝…＝（bd·…·n≠0，b＋d＋…＋n≠0）⇒＝（等比性质）＝2.黄金分割定义如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且＝，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即＝≈0.618，≈0.382图示⁠

⁠3.平行线分线段成比例基本事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段②

成比例

⁠.如图1，l3∥l4∥l5，且被直线l1，l2所截，那么＝，＝，＝推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.如图2，在△ADE和△ABC中，若DE∥BC，则＝；如图3，在△ADE和△ABC中，若DE∥BC，则＝图示⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠图1

图2

图3成比例【提分小练】1.下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（

C

）A.4cm，5cm，6cm，7cmB.3cm，4cm，5cm，8cmC.5cm，15cm，3cm，9cmD.8cm，4cm，1cm，3cmC

5.如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF的长为

6

⁠.第5题图

66.如图，已知l1∥l2∥l3，两条直线分别与l1，l2，l3交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝6，BC＝10，DF＝24，则DE的长为

9

⁠.第6题图9

10知识点2相似三角形的性质与判定概念三个角对应相等，三条边③

对应成比例

⁠的三角形.相似三角形任意对应边的比叫做相似比性质（1）相似三角形的对应角④

相等

⁠，对应边⑤

成比例

⁠；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）的比等于⑥

相似比

⁠；（3）相似三角形的周长比等于相似比；（4）相似三角形的面积比等于⑦

相似比的平方

⁠对应成比例相等成比例相似比相似比的平方判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）两组角分别对应⑧

相等

⁠的两个三角形相似；（3）两边对应成比例且⑨

夹角

⁠相等的两个三角形相似；（4）三边对应⑩

成比例

⁠的两个三角形相似相等夹角成比例

【提分小练】8.已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则对应边上的高的比为

4∶1

⁠；周长的比为

4∶1

⁠；面积的比为

16∶1

⁠.9.如图，P是△ABC的边AC上一点，连接BP.

（2）在（1）的条件下，若AC＝8，AP＝2，则AB的长为

4

⁠.4∶14∶116∶1

4知识点3相似多边形概念两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方10.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.

83°

12

【提分小练】知识点4图形的位似概念如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，我们就说这两个图形关于这点位似性质（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比；（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于同一个点；（3）位似图形对应边平行（或在一条直线上）；（4）位似图形对应角相等；（5）在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标比等于k或－k【提分小练】

（3，1）命题点1

比例的基本性质

A.B.C.D.D考点训练命题点2

相似三角形的判定与性质2.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（

C

）A.32B.8C.4D.163.如图，在△ABC中，D是边AB上的点，∠B＝∠ACD，AC∶AB＝1∶2，则△ADC与△ACB的周长比是（

B

）A.1∶B.1∶2C.1∶3D.1∶4CB4.如图，在▱ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC＝3∶2，连接AE，交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（

C

）A.2∶5B.3∶5C.9∶25D.4∶25第4题图C

A.9B.12C.15D.18第5题图D6.如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.（1）求证：△ABF∽△BEC；（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC.

命题点3

相似三角形的应用7.学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为

8.5

⁠m.第7题图8.5命题点4

位似8.如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O.若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD面积的比值是

4

⁠.第8题图4

⁠

⁠如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是边AB上不与点A，B重合的一个定点.AO⊥BC于点O，交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M.

（1）求证：△ADE∽△FMC；【自主解答】

（2）解：设BC与DF的交点为I，易得∠DBI＝∠CFI＝45°.∵∠BID＝∠FIC，∴△BID∽△FIC，

∵∠BIF＝∠DIC，∴△BIF∽△DIC，∴∠IBF＝∠IDC＝90°，∴∠ABF＝∠ABC＋∠IBF＝135°.【夺分宝典】与相似三角形相关的证明与计算：1.利用相似三角形的性质求线段的比例关系或数量关系：（1）先看要求比值的线段或所求线段所在的三角形，确定可能的相似三角形；（2）找出两个三角形相似的条件并证明，结合相似三角形性质求解，如果这两个三角形不相似，则可找中间比代换或作辅助线构造相似三角形求解.2.利用相似三角形求线段的长：通过证明包含所求线段所在的两个三角形相似，通过列比例式进行求解，或通过证明其他两个三角形相似，进而通过线段之间的等量关系进行求解.易错提醒如果题中只说两个三角形相似而不是“相似于（∽）”，需分类讨论，相似三角形的分类讨论实质上是相似三角形顶点对应位置的讨论.【对点训练】1.如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠BFC＝∠D.（1）求证：△BCF∽△CED；（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴∠BCF＝∠CED.∵∠BFC＝∠D，∴△BCF∽△CED.（2）若AB＝3，AE＝2，求CF的长.

2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.（1）求证：∠CAE＝∠BAF；

（2）求证：CF·FQ＝AF·BQ.

A.6B.C.1D.2.（2023·安顺期末）若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比为（

B

）A.1∶2B.1∶4C.1∶8D.1∶16AB巩固训练

A.B.C.D.第3题图A4.（2023·黔西南州模拟）如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3.若AB的长为6，则DE的长为（

B

）A.4B.9C.12D.13.5第4题图B5.（2023·遵义模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标为（

C

）A.（2，4）B.（4，2）C.（6，4）D.（5，4）第5题图CA.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m第6题图B

第7题图

第8题图

9.如图，CA⊥AD，ED⊥AD，B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.（1）求证：△ABC∽△DEB；（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠D＝∠CBE＝90°，∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB.（2）求线段BD的长.

10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高.（1）求证：△ABD∽△CBA；（1）证明：∵AD是BC上的高，∴∠BDA＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC.又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA.（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长.

A.B.C.2D.3第11题图A12.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（

C

）A.1.8B.2.4C.3D.3.2第12题图C13.（2023·上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD.（1）求证：AF＝DE