专题08 一元函数的导数及其应用利用导数研究函数零点（方程的根）问题（全题型压轴题）试题含解析

专题08一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴题）①判断零点（根）的个数 1②已知零点（根）的个数求参数 3③已知零点（根）的个数求代数式的值 512023·全国·高二专题练习）已知关于x的方程exsinx=x一1在(0,π)上解的个数为()22023·云南·校联考模拟预测）已知f(x)(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a=0时，证明：函数g(x)=f(x)+lnx一x2有且仅有一个零点.32023春·江西赣州·高二统考期末）已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的最值；(2)讨论函数g(x)=aex-lnx-1的零点个数.42023春·重庆·高二校联考期末）已知函数f(x)=ax-lnx-2.(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的零点个数.52023春·福建宁德·高二统考期末）已知函数f(x)=ax-+a-2，aeR.(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；(2)讨论函数f(x)的零点个数.62023春·四川眉山·高二统考期末）已知函数f(x)=ex-a-x-cosx，xe(-π,π)其中e=2.71828…为自然对数的底数.(2)当a=1时，求函数y=f(x)零点个数.72023·湖南·校联考二模）已知函数f(x)=ln(x2-2lnx).(1)求f(x)的最小值；(2)证明：方程e2f(x)-ef(x)=2f(x)有三个不等实根.12023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知函数f(x)=〈<0，函数g(x)=(f(x)-2)(f(x)-a)，若函数g(x)恰有三个零点，则a的取值范围是.22023春·安徽合肥·高二统考期末）若关于x的方程=-x2+x+1有三个不等实数根，则实数m的取值范围是.32023春·上海黄浦·高二格致中学校考期末）设meR，若关于x的方程x3-x2-x=m有3个不同的实根，则m的取值范围是.42023春·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知函数f(x)=〈(|x,x>10，若方程f(x)=2ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是.52023春·山西忻州·高二统考期中）已知函数f(x(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x一y+n=0，求m，n；(2)若f(x)在[一1,+伪)上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.62023春·江西九江·高二统考期末）已知函数f(x)=x3一x2+3一a,aeR.(1)求f(x)的极大值与极小值之差；(2)若函数f(x)在区间(0,3]上恰有2个零点，求a的取值范围.72023·广东梅州·统考三模）已知函数f(x)=ex一ax2，aeR，f,(x)为函数f(x)的导函数.(1)讨论函数f,(x)的单调性；(2)若方程f(x)+f,(x)=2一ax2在(0,1)上有实根，求a的取值范围.82023·江西宜春·校联考模拟预测）设f(x)=x2-tx+3lnx，g(x)=-+，且a、b为函数f(x)的极值点(0<a<b)(1)判断函数g(x)在区间(-b,-a)上的单调性，并证明你的结论；(2)若曲线g(x)在x=1处的切线斜率为-4，且方程g(x)-m=0(x<0)有两个不等的实根，求实数m的取值范围.12023·四川成都·三模）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点x1,x2,x3，其中m=R，则mx1x2x3的取值范围是()22023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知x1和x2是函数f(x)=x-2lnx+m的两个不相等的零点，则的范围是.32023春·湖南怀化·高二统考期末）已知x0是方程e3x-lnx+2x=0的一个根，则=.42023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）已知函数f(x)=(lnx)2+(4+a)xlnx+(2a+8)x2))52023春·浙江·高二期中）已知函数f(x)=(x-1)ex-ax3-ax2，a=R.(1)若x=0不是函数的极值点，求a的值；(2)当a<，若f(x)有三个极值点x1，x2，x3(x1<x2<x3)，且x1+x2+x3=3ln2-4,，求的取值范围.62023·北京·高三专题练习）已知函数f(x)=ex，曲线y=f(x)在点(-1，f(-1))处的切线方程为y=kx+b.(1)求k，b的值；,若g(x)=t,若g(x)=t有两个实数根x1,x2（x1<x2将x2-x1表示为t的函数，并求x2-x1llnx，的最小值.72023春·福建厦门·高二厦门市湖滨中学校考期末）已知函数f(x)=〈<1,若方程f(x)=a有两个实数解，则a的取值范围是；若两解分别为x1,x2且x2>x1，则x1-x2的最大值是.专题08一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴题）①判断零点（根）的个数 1②已知零点（根）的个数求参数 10③已知零点（根）的个数求代数式的值 17更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：12023·全国·高二专题练习）已知关于x的方程exsinx=x一1在(0,π)上解的个数为()【答案】A【详解】关于x的方程exsinx=x一1在(0,π)上解的个数，即为关于x的方程sinx=x1在(0,π)上解的个数，令h(x)=x1，xE(0,π)，则h,(x)=2x，xE(0,π)则当xE(0,2)时h,(x)>0，h(x)=x1单调递增；当xE(2,π)时h,(x)<0，h(x)=x1单调递减.在同一坐标系内作出h(x)=x1与y=sinx在(0,π)上的图像，两图像有1个交点则关于x的方程exsinx=x一1在(0,π)上解的个数为1.故选：A.22023·云南·校联考模拟预测）已知f(x)=(x-1)2ex-x3+ax,aeR.(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a=0时，证明：函数g(x)=f(x)+lnx-x2有且仅有一个零点.【答案】(1)函数的单调递增区间为(-1,0),(1,+父)，单调递减区间为(-父,-1),(0,1)(2)证明见解析【详解】（1）当a=1时，f(x)=(x-1)2ex-x3+x，f,(x)=2(x-1)ex+(x-1)2ex-x2+1=(x2-1)(ex-1)，故函数f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+父)，单调递减区间为(-父,-1),(0,1).x-，:h,(x)=ex+>0，所以h(x)在区间(0,+父)上:存在唯一x0e,1，使h(x0)=0，即ex-=0,ex=,-x0=lnx0，常g(x)在区间(0,x0)上是增函数，在区间(x0,1)上是减函数，在区间(1,+伪)上是增函=-x0-x+(x0-1)2.20所以F(x)在区间,1上是减函数.2,综上所述，g(x)有且只有一个零点.32023春·江西赣州·高二统考期末）已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的最值；(2)讨论函数g(x)=aex-lnx-1的零点个数.【答案】(1)最大值，无最小值(2)当a>时，函数g(x)没有零点，当a=或a<0时，函数g(x)只有1个零点，当0<a<时，函数g(x)有两个零点.【详解】（1）由函数f(x)= ex2x，令h(x)=-(lnx+1)，则h,(x)=-<0恒成立，所以xe(0,1)时，f¢(x)>0，xe(1,+伪)时，f,(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+伪)上单调递减，即当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=，无最小值；（2）函数g(x)=aex-lnx-1的零点个数就是方程aex-lnx-1=0的解的个数，整理得a=，令f(x)=，xe(0,+伪)，由（1）可知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+伪)上单调递减，当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=，当x趋近于0时，f(x)趋近于一伪，当x趋近于+伪时，f(x)恒大于0且趋近于0，作出函数图象如图：由图知，当a>时，函数g(x)没有零点，e当ae或a<0时，函数g(x)只有1个零点，当0<a<时，函数g(x)有两个零点.42023春·重庆·高二校联考期末）已知函数f(x)=ax一lnx一2.(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的零点个数.【答案】(1)极小值一1，无极大值.(2)当a>e时，函数f(x)没有零点；当a=e或a<0时，函数f(x)有1个零点；当0<a<e时，函数f(x)有2个零点.令f,(x)>0，则x>1；令f,(x)<0，则0<x<1；故函数f(x)的单调递增区间是(1,+伪)，单调递减区间为(0,1)；记g(x)=xx2,令g,(x)>0，则0<x令g,(x)<0，则x>1,e故g(x)在(0,)上单调递增，在(,+伪)上单调递减，从而g(x)max=g()=e，因此当a>e时，直线y=a与y=g(x)的图像没有交点；当a=e或a<0时，直线y=a与y=g(x)的图像有1个交点；当0<a<e时，直线y=a与y=g(x)的图像有2个交点.综上：当a>e时，函数f(x)没有零点；当a=e或a<0时，函数f(x)有1个零点；当0<a<e时，函数f(x)有2个零点.52023春·福建宁德·高二统考期末）已知函数f(x)=ax-+a-2，aeR.(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；(2)讨论函数f(x)的零点个数.【答案】(1(2)答案见解析【详解】（1）∵f(x)=2x-，∴f,(x)=2-，∴k=f,(1)=1.∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=x-1，即y=x+1，∴切线与坐标轴交点坐标分别为(0,1)，(-1,0)，∴所求三角形面积为（2）解法一：设函数h(x)=xf(x)= ax22x所以存在唯一x0e(e2a-3,1)，使得h(x0)=0；即f(x)），当h>0，解得a>1，所以h(x)没有零点，即f(x)没有零点；当h=0，解得a=1，所以h(x)只有一个零点，即f(x)只有一个零点；2a-3,只有一个零点，因为y=x-lnx，y,=1-，所以f(x)有两个零点.综上：当a<0或a=1时，f(x)只有一个零点；当0<a<1，f(x)有两个零点；当a>1，f(x)没有零点.解法二：当g,(x)<0，解得x>1；当g,(x)>0，解得0又因为当x趋向于0时，g(x)趋向于-伪，x趋向于+伪，g(x)趋向于0，根据图象知：当a<0或a=1时，f(x)只有一个零点；当a>1，f(x)没有零点；当0<a<1，f(x)有两个零点.解法三：设函数h(x)与g(x)相切于点P(x0,y0)，((00|x0|a=1-lx0,lx0由g,(x)>0，可解得0<x<e，所以g(x)在(0,e)上单调递增，由g,(x)<0可解得x>e，所以g(x)在(e,+伪)上单调递减.如图所示，当a<0或a=1时，h(x)与g(x)只有一个交点，所以f(x)有一个零点；(x)与g(x)只有两个交点，所以f(x)有两个零点；当a>1时，h(x)与g(x)没有交点，所以f(x)无零点.62023春·四川眉山·高二统考期末）已知函数f(x)=ex-a-x-cosx，xe(-π,π)其中e=2.71828…为自然对数的底数.(2)当a=1时，求函数y=f(x)零点个数.【答案】(1)证明见解析；(2)2.当0<x<π时，ex1>0,sinx>0，则f,(x)>0，因此函数f(x)在(π,0)上单调递减，在(0,π)上单调递增，则当xe(一π,π)时，f(x)之f(0)=0，（2）当a=1时，f(x)=ex一1一xcosx，xe(π,π)，求导得f,(x)=ex11+sinx，当0<x<1时，函数y=ex一11,y=sinx都递增，即函数f,(x)在(0,1)上单调递增，而f,(0)=e一11<0,f,(1)=sin1>0，因此存在x0e(0,1)，使得f,(x0)=0，0时，f,(x)<0，当x0<x<1时，f,(x)>0，0时，f,(x)<0，当x0<x<π时，f,(x)>0，即有函数f(x)在(一π,x0)上单调递减，在(x0,π)上单调递增，f(x0)<f(0)=e一1一1<0，>>0，于是函数f(x)在(π,x0)，(x0,π)各存在一个零点，所以函数y=f(x)零点个数是2.72023·湖南·校联考二模）已知函数f(x)=ln(x2一2lnx).(1)求f(x)的最小值；(2)证明：方程e2f(x)一ef(x)=2f(x)有三个不等实根.【答案】(1)0(2)证明见解析因为y=lnx在定义域内单调递增，所以f(x)的最小值为ln1=0；则g,(m)=2m-1-=，由2m2-m-2=0得m=.递增.∴g(m)有两个零点1和m0，方程h(m)=m有两个根m0e,2和m1=1，下面考虑h(x)=m0解的个数，其中m0e,2，2-2lnx-m0，结合h(x)的单调性可得：--m（)-m故s(x)在(0,1)上有且只有一个零点，sem而em>1，故h(x)-m0在(1,+伪)上有且只有一个零点，故h(x)-m0=0有两个不同的根x1,x3且0<x1<1<x3，综上所述，方程e2f(x)-ef(x)=2f(x)共有三个不等实根12023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知函数f(x)=〈<0，函数g(x)=(f(x)-2)(f(x)-a)，若函数g(x)恰有三个零点，则a的取值范围是.当x<-2时，f，(x)<0，函数f(x)在(-伪,-2)上单调递减，当2<x<0时，f¢(x)>0，函数f(x)在(-2,0)上单调递增，且f(0)=1，f(-2)=-，f(-1)=0，当x<-1时，f(x)<0，当-1<x<0时，f(x)>0，当x喻-伪时，与一次函数y=x+1相比，函数y=e-x增长更快，从而f(x)=喻0，x)>0，函数f(x)在(0,e)上单调递增，f'(x)<0，函数f(x)在(e,+伪)上单调递减，且f(e)=，f(1)=0，当x喻-伪时，与对数函数y=lnx相比，一次函数y=x增长更快，从而f(x)=喻0当x>0，且x喻0时，f(x)=喻-伪，根据以上信息，可作出函数f(x)的大致图象：令(f(x)-2)(f(x)-a)=0，得f(x)=a或f(x)=2，由图象可得f(x)=2没有解，所以方程(f(x)-2)(f(x)-a)=0的解的个数与方程f(x)=a解的个数相等，而方程f(x)=a的解的个数与函数y=f(x)的图象与函数y=a的图象的交点个数相等，f(x)的图象与函数y=a的图象有3个交点.22023春·安徽合肥·高二统考期末）若关于x的方程=-x2+x+1有三个不等实数根，则实数m的取值范围是.【详解】由已知可知关于x的方程m=(-x2+x+1)ex有三个不等实数根，即函数y=(-x2+x+1)ex的图象与直线y=m有三个公共点，构造函数g(x)=(-x2+x+1)ex，求导g,(x)=-(x-1)(x+2)ex，令g,(x)=0，解得x1=1,x2=-2当xe(-2,1)时，g,(x)>0，故g(x)在区间(-2,1)上单调递增，当xe(-伪,-2)u(1,+伪)时，g,(x)<0，故g(x)在区间(-伪,-2)和(1,+伪)上单调递减，且g(-2)=-，g(1)=e，当x<或x且当x喻-伪时，g(x)喻0，当x画出52e(-x2ex的大致图象如图，要使g(x)的图象与直线y=m有三个交点，需g(-2)<m<0，即32023春·上海黄浦·高二格致中学校考期末）设meR，若关于x的方程x3-x2-x=m有3个不同的实根，则m的取值范围是.【详解】记g(x)=x3-x2-x-m，令g,(x)=3x2-2x-1=0，得x=1或x=-，由g,(x)>0得x>1或x<-，此时g(x)为增函数，由g,(x)<0得-<x<1，此时g(x)为减函数，即当x=-时，函数g(x)取得极大值g(|（-=-m+，当x=1时，g(x)取得极小值，即g(1)=-m-1，因为关于x的方程x3-x2-x-m=0有三个不同的实根，所以函数g(x)有三个不同零点，即关于x的方程x3-x2-x=m有三个不同的实根m的范围是(|（-1,.42023春·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知函数f(x)=〈(|x,x>10，若方程f(x)=2ax有三个不同的实数根，则a的取值范围是.(e)（2)(e)（2)所以x=0不是方程f(x)=2ax的根.方程f(x)=2ax有三个不同的实数根，即直线y=2a与函数h(x)的图象有3个交点.当x<0时，h(x)=-，此时h(x)单调递增，且h(x)>，作出h(x)的图象如图，由图可知，当2a>e，即a>时，直线y=2a与函数h(x)的图象有3个交点，所以方程f(x)=2ax有三个不同的实数根时，实数a的取值范围为,+伪.(e)(e)52023春·山西忻州·高二统考期中）已知函数f(x)=(x2+1)ex-mx-1.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-y+n=0，求m，n；(2)若f(x)在[-1,+伪)上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.ll【详解】（1）因为f(x)=(x2+1)ex-mx-1，所以f(1)=2e-m-1，2ex-m，所以f，(1)=4e-m，（1）若m<0，则f，(x)>0，f(x)在[-1,+父)上为增函数，所以f(x)在[-1,+父)上只有一个零点，不合题意；xx，所以f(x)在[-1,0)上单调递减，在[0,+父)上单调递增，f(x)min=f(0)=0，所以f(x)在[-1,+父)上有且只有一个零点，不合题意；且f(x)在[-1,x0)上单调递减，在(x0,+父)上单调递增，所以f(x0)<f(0)=0，又f(m)=(m2+1)em-m2-1>(m2+1)-m2-1=0，所以根据零点存在性定理，f(x)在(x0,m)上有且只有一个零点，又f(x)在[-1,x0)上有且只有一个零点0，所以，当m>1时，f(x)在[-1,+父)上有两个零点；且f(x)在[-1,x1)上单调递减，在(x1,+父)上单调递增，因为f(x)在(x1,+父)上有且只有一个零点0，所以，若f(x)在[-1,+父)上有两个零点，则f(x)在[-1,x1)上有且只有一个零点，又f(x1)<f(0)=0，所以f(-1)>0，即f(-1)=+m-1>0，所以m>1-，即当1-<m<1时，f(x)在[-1,+父)上恰有两个零点，即实数a的取值范围为,3.即实数a的取值范围为,3.62023春·江西九江·高二统考期末）已知函数f(x)=x3-x2+3-a,a=R.(1)求f(x)的极大值与极小值之差；(2)若函数f(x)在区间(0,3]上恰有2个零点，求a的取值范围.【答案】(1当x>1或x<0时，f,(x)>0,f(x)单调递增；当0<x<1时，f,(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的极大值为f(0)=3-a，极小值为f(1)=-a.所以f(x)的极大值与极小值之差为f(0)-f(1)=.（2）由（1）知：f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,3]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=-a，又f(0)=3-a,f(3)=-a，因为函数f(x)在(0,3]上恰有2个不同的零点，(72023·广东梅州·统考三模）已知函数f(x)=ex-ax2，a=R，f,(x)为函数f(x)的导函数.(1)讨论函数f,(x)的单调性；(2)若方程f(x)+f,(x)=2-ax2在(0,1)上有实根，求a的取值范围.【答案】(1)函数f,(x)在(-伪,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+伪)上单调递增【详解】（1）f,(x)=ex-2ax，令g(x)=ex-2ax，则g,(x)=ex-2a当a<0时，g,(x)>0，函数f,(x)在R上单调递增；所以函数f,(x)在(一伪,ln2a)上单调递减，在(ln2a,+伪)上单调递增.f,(x)=ex2ax，方程f(x)+f,(x)=2ax2在(0,1)上有实根等价于方程exax1=0在(0,1)上有实根.xa所以函数Q(x)在(0,lna)上单调递减，在(lna,1)上单调递增.(1)判断函数g(x)在区间(一b,一a)上的单调性，并证明你的结论；(2)若曲线g(x)在x=1处的切线斜率为一4，且方程g(x)一m=0(x<0)有两个不等的实根，求实数m的取值范围.g,(x)=0时x=3或1，当x在(伪,0)上变化时，g,(x)，g(x)的变化情况如下：310g,(x)一0++0一g(x)极小值43∴方程g(x)m=0(x<0)有两个不等根时，转化为直线y=m与函数y=g(x)(x<0)的图象有两交点，12023·四川成都·三模）已知函数f(x)=x一一mlnx有三个零点x1,x2,x3，其中mER，则mx1x2x3的取值范围是()【答案】B所以也是零点，函数f(x)=x一一mlnx有三个零点x1,x2,x3，当m<2时，结合定义域和判别式易知f,(x)>0恒成立，即函数f(x)在(0,+伪)上单调递增，不符合题意；当m>2时，设x2-mx+1=0的两根分别为x4,x5，5，所以函数f(x)在(0,x4)上单调递增，在(x4,x5)上单调递减，在(x5,+伪)上单调递增，当x喻0时，f(x)喻-伪，f(x4)>f(1)=0，所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.故选：B22023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知x1和x2是函数f(x)=x-2lnx+m的两个不相等的零点，则的范围是.(0,1)【详解】：x1和x2是函数f(x)=x-2lnx+m两个不相等的零点，x1-2lnx1两式相减得x1-x2-2ln=0，令t=x2x:x1=tx2，:x2(t-1)=2lntx xt2-1，所以g,(t)=2t-2lnt-2，:Q(t)>Q(1)=0,:g,(t)>0恒成立，:g(t)在(1,+伪)是单调递增，:t2一12tlnt>0lnx0x32023春·湖南怀化·高二统考期末）已知x0是方程e3x一lnx+2lnx0x0【答案】3【详解】因为x0是方程e3x一lnx+2x=0的一个根，则x0>0，令f(x)=ex+x，则f,(x)=ex+1>0，所以f(x)在R单调递增，0，即f(3x0)=f(lnx0)， = 故答案为：342023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）已知函数f(x)=(lnx)2+(4+a)xlnx+(2a+8)x2))【答案】16【详解】函数f(x)的定义域为(0,+伪)，由f(x)=0可得2++2(a+4)=0，令t=2构造函数g(x)=+2，其中x>0，则g,(x)=1x.当x>e时，g,(x)<0，此时函数g(x)单调递减，作出函数g(x)的图象如下图所示：1,e22若使得方程2++2(a+4)=0由三个不等的实根x1、x2、x3，且满足x1<x2<x3，则关于t的方程t2+at+4=0有两个不等的实根t1、t2，设t1<t2，（x1)（x2)（x3)22（x1)（x2)（x3)故答案为：16.