四川省叙永第一中学校2023-2024学年高三年级上册入学考试数学（理科）试题

四川省叙永第一中学校2023-2024学年高三上学期入学考试

数学(理科)试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x∣χ2+2x-3≤θ},8={x∣y=ln(x+2)},则AB=()

A.(-2,-IJB.(-2,3]C.(-2,1]D.[-2,1]

2.命题''VneN*j(")GM且〃的否定形式是()

A.,/(〃)任N*且/(〃)>〃

B.,/(〃)任N*或/,(〃)>〃

C.⅛⅞wM,∕(*任M且/(%)>%

D.⅛⅛wN*,∕(%)任N*或/(n0)>"(I

3.下列函数中，在上是增函数的是()

A.y=-x3B.y--x2-4xC.y-^~D.y=√2-x

l+x

4.已知命题P：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题q：空间中三

个平面α,β,/,若C/,β-Lr,aβ=l,贝则下列命题为真命题的是

()

A.PdqB.〃人rc.PYfD.-PM

5.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21x21大小的，即441个点，根

据O和1的二进制编码，一共有2句种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1

万年约为3x10"秒，那么大约可以用(参考数据：lg2=O.3,lg3≈0.5)()

A.IO"?万年B.117万年C.10项万年D.205万年

6.已知α>0且α≠l,“函数〃X)=优为增函数”是“函数g(x)=x"~在(0,+“)上单调递

增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数f(x)=∕+:g(χ)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

A.y=∕(χ)+g(χ)-!B.y=∕(χ)-g(χ)一!

44

C.y=∕(χ)g(χ)D.y=4τ⅛

f(χ)

8.如图是某三棱锥的三视图，已知网格纸的小正方形边长是1,则这个三棱锥中最长

棱的长为()

A.5B.√34C.741D.7

ɔʃɪl

9.若函数F(X)=FL是奇函数，则使f(X)>3成立的X的取值范围为()

2-a

A.(-8,-I)B.(-1,0)C.(0,I)D.(1,+8)

10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子’'的美誉，用其名

字命名的“高斯函数”：设XeR,用印表示不超过X的最大整数，则y=E]称为高斯函

数，也称取整函数，例如："3.7]=T,[2.3]=2.已知/(X)==2,则函数y="(x)]

的值域为()

A.{0}B.{-1,0}C.{-2,-1,0|D.{-1,0,1)

ɪv>0

11.已知/(x)=e`-，若关于X的方程/⑶-对(χ)+,“7=O恰好有4个不相等

-x√c<O

的实数根，则实数掰的取值范围为()

A.d,2)u(2,e)B.(ɪ,l)C.(1,ɪ+!)D.(Le)

eeee

0.4

12.设α=lnl.l,⅛=e°1-1,c=tanθ.l,d=—,则()

π

A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.a<b<d<cD.a<c<d<h

试卷第2页，共4页

二、填空题

13.己知基函数y=(∕+m-l)x""∣在(0,+8)上单调递增，则实数，〃的值为.

14.已知圆锥的高为2,体积为8-若该圆锥顶点和底面圆周上所有点都在同一个球面

上，则此球的体积为.

15.已知函数/(x)=OreTT+hu,若/(x)Wl,贝IJa的取值范围为.

16.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,/(x+l)是奇函数，且/(lr)+g(x)=2,

/(x)+g(x-3)=2,则下列结论正确的是.(只填序号)

①/(x)为偶函数；

②g(x)为奇函数；

20

③£f(k)=40；

k=∖

20

④Xg(Z)=40.

k=l

三、解答题

17.在ΛBC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,已知/+/?-c?=：仍.

⑴求COSC；

⑵若c=3√∏,求,,ABC外接圆的半径.

18.已知函数f(x)=2Λ∕2COSXSin(X+-).

4

⑴求/(X)的最小正周期；

⑵现将/(X)图象向左平移W个单位长度，再向下平移1个单位长度得到g。)的图象，

O

若存在X€［-£TT,曰TT，使得g(x)<“成立，求实数α的取值范围.

63

19.设/'(X)为函数F(X)的导函数，已知f(x)=x+∕'(0)cos2x+α(αeR),且F(X)的图

像经过点(0,2).

(1)求曲线y=/(ɪ)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求函数/(x)在［0,兀］上的单调区间.

20.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形A8C。(及其内部)以AB边所在直线

为旋转轴旋转120。得到的封闭图形.

(1)设8C=1,AB=2,求这个几何体的表面积;

(2)设G是弧。尸的中点，设P是弧CE上的一点，且APLBE.求异面直线AG与BP所

成角的大小.

21.已知函数/(x)=∙∣7,其中x>0,4>0.

(1)当。=1时，求函数/S)的极值;

(2)若方程K2=x-αlnx恰有两个不相等的实数根，求。的取值范围.

e

X=2+2COSa

22.在平面直角坐标系XO)，中，P为曲线G：.(α为参数)上的动点，若

γ=sιnα

将点P的横坐标变为原来的一半，纵坐标保持不变，得到点。，记点。的轨迹为。2,

以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(I)求G的极坐标方程；

(2)设A,8是G上异于极点的两点，且ZAOB=求AoB面积S的最大值.

23.已知函数F(X)=IX-α∣+∣x+3∣.

⑴当“=1时，求不等式/(x)≥6的解集；

⑵若/(x)<2α有解，求实数。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.C

【分析】先化简集合AB,然后用交集的定义即可求解

【详解】因为A={x∣χ2+2x-3≤θ}={x∣-3≤x≤l},8={x∣y=ln(x+2)}={x∣x>-2},

所以AB=(-2,1]

故选：C

2.D

【详解】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“功蚱”,〃”)€乂且〃”)口的否定

形式是孤∈N*,f(%)任N*或f(n0)>n0

故选D.

考点：命题的否定

3.C

【解析】对AB：直接判断其单调性；

X1

对C：把y=丁匚化为y=l-3一,判断其单调性；

l+x1+x

对D：利用y=6判断y=√Γ7的单调性.

【详解】本题考查函数的单调性.

A项中，函数y=-V在R上单调递减，故A错误；

B项中，二次函数y=-∕-4x的图像开口向下，对称轴方程为x=-2,故该函数在(—,-2]

上单调递增，在(-2,E)上单调递减，故B错误；

C项中，函数y=W=I-士，在(F,-l)和(Ly)上分别单调递增，故C正确；

D项中，函数y=万^在(-8,2]上单调递减，故D错误.

故选：C

【点睛】方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.

4.D

【分析】根据直线与直线的位置关系定义、面面垂直的性质，结合与、或、非的真假性质逐

一判断即可.

答案第1页，共14页

【详解】因为空间中两条直线没有公共点，两条直线可以是异面直线,所以命题〃是假命题,

因此T7是真命题，

由面面垂直的性质可知命题q是真命题，f为假命题，

所以〃八"为假命题，PAF为假命题，PVF为假命题，力八9为真命题，

故选：D

5.A

【分析】由题意估算出可用的年限，然后转化为对数形式求解即可.

【详解】由题意大约能用一二二万年，

3×10"×104

,441

ljlijɪgɜɪθɪ.=441ig2-lg3-15≈441×0.3-0.5-15≈117,

故选：A.

6.C

【详解】函数/(X)=优为增函数,则4>1,此时α-l>O,故函数g(x)=x"T在(0,+8)上单调

递增;当g(x)=x"τ在(O,+e)上单调递增吐，α-l>O,所以α>l,故/(x)=αA为增函数.

故选：C

7.D

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=∕(x)+g(x)-J=χ2+sinχ,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不

符，排除A；

对于B,y=∕(x)-g(χ)-1=f-Sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C,y=/(x)g(x)=1χ2+；卜nx,则y=2xsinx+卜?}OSx,

当X=f时，y'=gχ坐+11+!∣χ*>°，与图象不符，排除c∙

422(164)2

故选：D.

8.C

【分析】根据三视图得到几何体的直观图，求出棱长，即可判断.

【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示：

答案第2页，共14页

S

其中*=4,AB=3,AC=5,且SAL平面A8C,ABlAC,

所以5C=Jλβ2+Ac2=用,SC=JSA2+3=弧,SB≈√SA2+AB2=5-

所以三棱锥中最长棱为SC=历.

故选：C

9.C

【解析】由/(X)为奇函数，根据奇函数的定义可求”，代入即可求解不等式.

2"

【详解】解：・・・/(x)=T■是奇函数，

v72x-a

∙∙/(-ɪ)=-/(ɪ),

R2"+12Λ÷1⅛Λ.r∏—-Z1+2'1+2Λ

即nF—=----整理可χ得-l-θ--------

2—aa—2,1—6f,2〃一21

1—6f,2'-U—2Λ,.∙.α=1,

2x+1

・•・/(X)=

2r-l

2Λ+1

fM=>3,

2x-l

2v+lC4-2∙2Λ

3=>0,

2Λ-1---------2Λ-1

2v-9

整理可得^―-<0,

2v-l

.∙.1<2Λ<2,解可得0V%<1∙

故选：C.

【点睛】本题考查由奇偶性求参数，考查指数相关的不等式的求解，属于基础题.

10.B

【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为/(x)=-，+g,然后分析函数/(x)的值

域，再根据高斯函数的含义确定y=[∕(χ)]的值域.

【详解】/(χ)=ι!---=-,

“八j+122√+l

答案第3页，共14页

二—5<∕(x)<0,0,J(X)<5,

.∙.[∕(x)]=-l或O,

∙∙∙y="(χ)]的值域为{τ,0}.

故选：B.

11.C

【分析】由方程尸(X)-时(力+机-1=0可解得/(x)=l或〃x)=/n-1,从而可得方程

f(x)=〃2-l有3个不是T的根，利用导数研究函数/(x)的性质，作出图象，数形结合可得

答案.

【详解1解方程∕2(%)-时(X)+机-1=0得=1或/(X)=W-1；

当XNo时，/(x)=4,∕,(x)=⅛,

ee

故/(χ)在((U)上单调递增，在―)上单调递减；

/(0)=0,/(1)ɪɪ,且x>0时，/(X)>O,所以O≤f(x)≤',

ee

当x<0时，/(x)=r,在(-8,0)上是减函数，且/(x)>0;

若/(x)=l,可知x<0,从而“X)=—χ=l,解得χ=-l,

故方程/(x)=仅一1有3个不是T的根.

作出/(x)的大致图象，

若使方程〃X)=W-I有3个不是T的根，即f(χ)的图象与直线y=,"-l有3个交点，且交

点横坐标不为T,

由图可知0<机T<!,即1<"7<1+L

答案第4页，共14页

故选：C.

12.B

【分析】观察4个数易得均与Ol有关,故考虑α(x)=ln(x+l),⅛(x)=et-l,c(x)=tanx,

4

d(x)==X在X=O.1时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与

π

0的大小关系即可.

【详解】设α(x)=ln(x+l),⅛(x)=ex-l,C(X)=tanx,d^x)=-x,易得

«(O)=Z?(O)=c∙(0)=J(O).

设y=d(x)-/(X)=3x-e*+l,则令V=3-e*=0有X=In3，故y="(x)-b(x)在

7ΓTITI

-8,Inq)上单调递增.

故即

①因为>e即>e,IoInB>1,

ln3>0.1,故d(0.1)-6(0.1)>d(0)-b(0)=0,即4>人

TC

cA2

②设y=b(x)—C(X)=e"-l—tanx,贝IJy=e'----1=∞sɔɪ-l⅛/(x)=ecosx-l,

COs'xcosx

则∕,(τ)=ex(cos2x-2sinx)=eA(-sin2x—2SinX+1).

设g(x)=x-sinx,贝∣Jg'(X)=I—COSX≥0,故g(x)=x-sinx为增函数，故g(x)≥g(θ)=θ,

BRɪ≥sin%.

i⅛∕,(x)≥er(-x2-2x+l)=el[-(x+l)2+2],当xe[0,0.1]时/KX)>0,/(x)=e'cos2x-l

为增函数，½∕(x)≥e0cos20-1=0,故当Xe[0,0可时y=b(x)—c(x)为增函数，故

b(O.l)—C(O.l)>6(0)-C(O)=0,故b>c.

ɪɪX+SirI-X

≡y=φ)-φ)=tanx-ln(x÷l),"嬴=G旬c1√P易得当时

y>0,⅛c(0.1)-a(0.1)>c(0)-α(0)=0,即c>α.

综上”>b>c>a

故选：B

【点睛】本题主要考查了构造函数求导根据单调性分析函数大小的问题，需要根据题中所给

答案第5页，共14页

的信息判断出需要构造的函数，再求导适当放缩分析函数的单调性，进而得出函数值的大小

即可.属于难题.

13.I

【分析】根据基函数的概念以及幕函数在(0,+∞)上的单调性可得结果.

【详解】根据累函数的定义可得/+m-l=l,解得a=-2或〃?=1,

当机=-2时，y=k在(O,+/)上单调递减，不合题意；

当m=l时，y=f在(O,+∞)上单调递增，符合题意.

故答案为：1∙

一256

14.π

3

【分析】首先由已知求得圆锥底面半径，再设球的半径为凡根据圆锥的几何特征及球的性

质列出关于R的方程，解出R,则球的体积可求.

【详解】设圆锥的底面半径为一，圆锥的高为〃，

因为圆锥的高为2,体积为8π,所以gπr%=8π,即gπx∕x2=8τt,解得r=2√L

当圆锥顶点与底面在球心。的两侧时，如图，

圆锥Sol的底面半径O∣A=2百，高5«=2,设球。的半径为R,

则(2—R)?+(2√5)2=Rt解得R=4,与R<2不符，故此种情况舍去,

当圆锥顶点与底面在球。的同侧时，如图，

答案第6页，共14页

圆锥Sa的底面半径o∣A=2百，高Sa=2,

设球。的半径为R，贝IJ(R-2)2+(26)2=片，解得R=4,符合题意.

综上，此球的半径为4,球的体积为Y=告兀内=孚兀.

33

,^,256

故4a答λ案为δ：~~^~π.

15.(-∞,2e]

【分析】构造函数f=τ+lnx,"x)Wl等价于αe'+Yl,再构造函数g(f)=?，利用函

数单调性求出最小值，即可求出。的值.

1_I1

【详解】f(x)Wl等价于祀/用+(—x+hu)≤l,令ι=r+lnr,则/=T+：=Hr2.

当x∈(0,1)时，/>0,r=-x+Inx单调递增；当x∈(l,+∞)时，0,∕=-x+Inx单调递减.

所以％≤—1.

故"x)<l转化为"e'+t≤l,即"≤∕恒成立.

令g(t)=⅛1,YT，则g'(0=YT)=T<0,贝ιjg(∕)zg(τ)=lφll=2e,

因为α≤宏恒成立，所以α≤g(f)min=g(-l)=2e.

故α的取值范围为(e,2e].

故答案为：(9Ze].

16.(1)@

【分析】结合已知条件和f(χ+l)是奇函数求出函数/(χ)的周期，然后利用周期和已知条件

得出“X)为偶函数，进而判断选项A;根据函数/(x+l)是奇函数，周期为4即可判断选项

B；根据的性质分析可得〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,再根据〃x)的周期性即可判

断选项C；结合函数g(x)的周期即可判断选项D.

【详解】因为/(x)+g(x-3)=2,所以〃x+3)+g(x)=2,

又因为“l-χ)+g(χ)=2,则有f(x+3)=f(l-x),

答案第7页，共14页

且/(x+l)是奇函数,则/(x+l)=-∕(l-x),可得/(x+3)=-∕(x+l),即"x+2)=-∕(x),

贝IJy(X+4)=-，(x+2)=M=/(x),

即/(x+4)="x),所以f(x)是周期为4的周期函数,

因为J(X+3)+g(x)=2,则g(x)=2-f(x+3),

可得g(x+4)=2-∕(x+4+3)=2-∕(x+3)=g(x),

故g(x)也是周期为4的周期函数.

对于①：因为Q(χ+l)f(I-χ),则/(x+2)=-y(τ),即一/(x)=-4-x),

所以/(r)=∕(x),所以f(x)为偶函数.故①正确；

对于②：：g(x)+g(τ)=[2-∕(x+3)]+[2-"τ+3)]=4-Iy(X+3)+"τ+3)]

=4-[∕(X-1)+∕(-X-1)]=4-[∕(1-X)+∕(X+1)]=4≠0,

Λg(x)≠-g(-x),故②错误；

对于③：因为/(x+l)=-∕(l-x),令X=0,即/(1)=-/(1),则/(1)=0,

又因为/(x+2)=-∕(x),令χ=l,所以"3)=-"l)=0,

令x=2,则/(4)=∙√(2),即42)+/(4)=0,

即"1)+J⑵+J⑶+f(4)=0,

20

所以Sy(Z)=50⑴+/(2)+α3)+∕(4)]=0,所以③错误；

*=1

对于④：因为g(x)=2-∕(x+3),

所以g(l)+g⑵+g(3)+g⑷=[2-/(4)]+[2-〃5)]+[2-/(6)]+[2-∕(7)]

=8-卜0)+/⑵+α3)+八4)]=8,

20

所以∑>(%)=5[g⑴+g⑵+g(3)+g(4)]=40,所以④正确.

Jt=I

故答案为：①④.

【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称

性,在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系,推证函数的性质，

答案第8页，共14页

根据函数的性质解决问题.

17.⑴,

10

(2)5

【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可;

(2)利用同角三角函数基本关系求出SinC,然后利用正弦定理求解即可.

【详解】(I)因为/+/-C?=3,

222ab

所以由余弦定理得a+h-c51.

cosC=---------------=------=—

2ab2ab10

(2)因为CoSC=Ce(0,π),所以SinC=Jl-([J=得

c=3√∏=

设.ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得碇一菊T一

-κΓ

解得R=5,即ΛBC外接圆的半径为5.

18.(l)π

6

(2)(------,+8)

2

【分析】(1)利用三角恒等变换的知识化简的解析式，从而求得了(x)的最小正周期.

(2)利用三角函数图象变换的知识求得g(x),根据三角函数最值的求法求得。的取值范围.

【详解】(1)/(x)=2∖∣2cosxsin(x÷ɪ)=2V∑cosχ(~~sɪnɪ+-ɪ∞sx)

=2cosxsinx+2cos2x=sin2x+cos2x+l=y∣2sin(2x+3+1,

4

所以/(X)的最小正周期r=T2ττ=jt∙

(2)由题意可得：

p(x)=>∣2sin(2(x+—)+—)+1-1=∙J1sin(2x+—)=∙j2cos2x

842

、1,TtTt,_71271

当XeI-E时，2x∈[--,-],

O333

所以当2x=g,即X=T时，go)*=g(1)=&x(-g)=-*，

ɔɔ322

答案第9页，共14页

若存在xe[-^，勺，使得g(x)<α成立，只需g(x)mM<明

63

所以日，即实数”的取值范围为(_*,+O0).

19.(DX-y+2=0

⑵单调递增区间为°*)和售兀π5π

;单调递减区间为

12,12

【分析】(1)求导，计算r(o)得到切线斜率，点斜式求切线方程.

(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.

【详解】(I)/(X)=x+f'(O)CoS2x+α(αeR),则1(X)=I-2f'(0)sin2x,得/(0)=l.

由题意f(0)=2,可得曲线y=f(x)在点(OJ(O))处的切线方程为y-2=x,即x-y+2=0.

(2)由已知得/(0)=r(0)+a=2.

又由(1)知/(0)=1,所以α=l.

故/(x)=x+cos2x+l.

f,{x}=l-2sin2x,x∈[O,πj,

由r(x)>0,得0≤χ<^∣,或需<χ4π;由/'(x)<0,得=<x<g.

故/O)在[0,兀]上的单调递增区间为0⅛]⅛[τf'ππ5π]

;单调递减区间为12,l2j,

20.(1)4+2万

%

【分析】(I)将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组

成，分别求出后相加即可;

(2)先根据条件得到BEj_面PAB,通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角

即可

12万ɔʃr

【详解】(1)上下两个扇形的面积之和为：2×→y×l2=^

两个矩形面积之和为：4

2TT4乃

侧面圆弧段的面积为：Yx2=Y

2TT4TT

故这个几何体的表面积为：y+y+4=4+2^

答案第10页，共14页

(2)如下图，将直线AG平移到下底面上为BGl

由ΛPL8E,且3E"L∕U3,APAB=A,可得：BE，面小3

TT

贝IJNPBE=2

2

而G是弧。尸的中点，∣i!∣JZE4GɪI

由于上下两个平面平行且全等，则直线AG与直线3P的夹角等于直线BGl与直线BP的夹角，

TT7ΓTT

即NPBGl为所求，则ZPBG1=W-W=E

236

则直线AG与直线BP的夹角为JTT

21.(1)极小值为6,无极大值

(2)(0,l)u(l,+∞)

【分析】(1)求导，结合函数单调性求解极值即可；

(2)先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从

而将原方程简化为方程e=:有两个不相等的实数解,方程化简后两边取对数,再构造函数，

根据零点个数求参数的取值范围.

【详解】(1)当。=1时，f(x)=~,/'(x)=e'(x,-D.

XJC

x>O,.,.当O<xvl时，∕,(x)<O；当1〉1时，f∖x)>O.

.∙.函数/(幻单调递减区间为(0,1),单调递增区间为α+∞).

・・・/。)的极小值为了⑴=e,无极大值.

(2)x>O,a>0,由方程=x-alnx,得J=IneX-Inf=In三，

eerx

答案第11页，共14页

令t=—>0,则一=In∕p.

令人。)=Inf-L,则/(r)=l-∙l.

ete

，当0<r<e时，∕z,W>0;当∕>e时，h∖t)<O.

函数”(f)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减.

Me)=O,方程;=Inf有唯一解f=e.

..・方程M=X-Rnx有两个不等的实数解等价于方程e=号有两个不相等的实数解.

exxa

等价于方程HnX=X-I有两个不相等的实数解.

构造函数MX)="InX-X+1,贝IJN(X)=@-1.

X

a>0,二当0<x<4时，k∖x)>0；当x>α时，k'(x)<0.

函数A(X)在(0.«)上单调递增，在3,E)上单调递减.

x→0+,%(x)→-∞;χ→+∞,k(x)→-∞.

二只需要k(α)="lnα-"+l>0,即Ina+工一1>0.

a

构造函数m(α)=lnα+'-1,则/(a)=1--ɪ.

aaa^

.∙.当OCa<1时，m,(a)<0；当a>l时，m,(a)>0.

••・函数机(“)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

∕M(1)=0,，当aκl时，Ina+1-1>0恒成立.

a

的取值范围为(0,1)51,+8).

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点或方程根问题：

(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可

用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

(2)方程的有解