2023-2024学年河南省保定市高一下学期第一次月考（3月）数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年河南省保定市高一下学期第一次月考（3月）数学模拟试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量，点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．2．下列结论正确的是（

）A．平行向量的方向都相同B．单位向量都相等C．零向量与任意向量都不平行D．两个单位向量之和可能仍然是单位向量3．在中，角的对边分别是，若，则（

）A． B． C． D．4．已知向量满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．45．设是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，则点是的（

）A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心6．已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．7．在中，角的对边分别是，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形8．在中，已知，则的内切圆的面积为（

）A． B． C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A． B．C． D．10．在中，，，则边的长可能为（

）A． B． C． D．11．初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（

）A．舰艇所需的时间为1小时 B．舰艇所需的时间为2小时C． D．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12．已知向量，则与的夹角的大小为.13．已知非零向量满足，则当取得最小值时，的值为.14．石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上､下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底在同一平面内的三个测量基点，且在处测得该塔顶点的仰角分别为，米，则石家庄电视塔的塔高为米.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知向量.(1)求的坐标及；(2)若向量，且向量与平行，求的值.16．在中，内角所对的边分别为，且(1)证明：.(2)若外接圆的周长为，且，求的面积.17．如图，在直角梯形中，与交于点，点在线段上.(1)用和表示；(2)设，求的值；(3)设，证明：.18．在中，角，，的对边分别是，，，且.(1)求的大小；(2)设的中点为，且，求的取值范围.19．如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，是圆心，直径为24米，是弧的中点.一个时装塑料模特在上，.计划在弧上设置一个收银台，记，其中.(1)试用表示；(2)当时，求的大小；(3)当越大时，该店店长在收银台处的视线范围越大，试问当店长在收银台处的视线范围最大时，的长度为多少米？1．C【分析】根据向量坐标运算直接构造方程求解即可.【详解】设，则，解得：，，.故选：C.2．D【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.【详解】对于A：根据平行向量的概念知，平行向量的方向相同或者相反，错误；对于B：单位向量大小相等都是1，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，错误；对于C：零向量与任意向量平行，错误；对于D：如图，在边长为1的正六边形中，都为单位向量，且，即两个单位向量之和可能仍然是单位向量，正确；故选：D3．A【分析】利用正弦定理计算即得.【详解】由正弦定理可得，所以.故选：A.4．D【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则和数量积的运算公式，准确计算，即可求解.【详解】由向量满足，因为，可得，解得，故选：D.5．A【分析】利用向量的加减法法则计算化简，再运用向量垂直的充要条件进行判断即得.【详解】由题意可得，则，故点是的垂心.故选：A.6．B【分析】由平面向量数量积的定义和投影向量的计算公式求解即可.【详解】因为，所以，故向量在向量上的投影向量为.故选：B.7．C【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案.【详解】由正弦定理可得，所以，即，所以，又因为，所以，则，又因为，所以.故选：C.8．C【分析】由三边长利用余弦定理求得继而求得三角形的面积，接着通过的内切圆的圆心分割三角形得到其面积的另种表示方式，即可求得内切圆半径.【详解】由余弦定理可得，因，则，.设的内切圆的半径为，则，解得，则的内切圆的面积为.故选：C.9．BC【分析】根据平面向量共线的坐标表示判断所给两向量是否共线即可.【详解】对于A：因为零向量与任意向量共线，故与不能作为一组基底，故A错误；对于B：因为，所以与不共线，可以作为基底，故B正确；对于C：因为，所以与不共线，可以作为基底，故C正确；对于D：因为，所以与共线，不可以作为基底，故D错误.故选：BC10．BD【分析】利用余弦定理解三角形即可求得结果.【详解】，，由余弦定理得：，即，解得：或；经检验，均满足题意.故选：BD.11．AD【分析】设出所需时间，分别表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判断结果.【详解】如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.根据余弦定理得，解得或（舍去），故.由正弦定理得，解得故选：AD.12．【分析】根据平面向量的夹角公式的坐标式计算即得.【详解】，因为，所以.故答案为：.13．【分析】利用推理得到，代入中，利用基本不等式即可求得.【详解】因为，所以，即，则,当且仅当，即时，等号成立，所以当取得最小值时，.故答案为：.14．280【分析】设出塔高分别在中表示出,在和中就运用余弦定理建立方程，计算即得.【详解】设，则.由，得，由余弦定理得，解得米，即为280米.故答案为：280.15．(1)，(2)【分析】（1）利用向量的线性运算和模长的坐标表示求解即可；（2）先求出向量与的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解即可.【详解】（1），因为，所以.（2），.因为向量与平行，所以，解得.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）运用正弦定理化边为角，整理得，再利用化简成，再利用正弦定理即可证明；（2）由正弦定理和题设条件得到，代入可得，借助于（1）的结论，利用余弦定理求得，继而求得三角形面积.【详解】（1）由题意可得，根据正弦定理，得，即因，所以，则，再由正弦定理可得，证毕.（2）因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径，由正弦定理，，所以.故，由（1）知，故，因为，所以，所以的面积为17．(1)，(2)(3)证明见解析【分析】（1）利用平面向量的加法运算并根据线段的比例关系可得结论；（2）由共线定理根据三点共线可得结果；（3）根据向量等式得出的表达式，再由二次函数性质可证明结论.【详解】（1）因为，，.（2）由（1）得，因为三点共线，所以，解得.（3）由（1）得，设，则又不共线，所以，即.由，得.因为函数在上单调递增，所以当时，，故.18．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得到，再由辅助角公式计算可得；（2）设，则，则，利用正弦定理表示出、，从而转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，即，则.因为，所以，即，所以，又，所以，所以，解得.（2）设，则，则，根据正弦定理可得，所以，，所以，由，得，所以，故的取值范围为.19．(1)(2)(3)当取得最大值时，店长在收银台处的视线范围最大，此时【分析】（1）由正弦定理和两角和的余弦公式求解即可；（2）方法一：将直接代入，即可得出答案；方法二：由余弦定理求解即可.（3）令，则令，由二次函数的性质求出的最大值，再由余弦