第四章第01讲认识三角形(9类热点题型讲练)（原卷版）

第01讲认识三角形(9类热点题型讲练)1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2.理解并会应用三角形三边间的关系；3.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法.知识点01三角形的概念三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形.知识点02三角形的分类(1)按边分类可以分为；(2)按角分类可以分为知识点03三角形基本元素角与边的有关定理(1)三角形的内角和等于.(2)直接三角形两个锐角互余.(3)三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.知识点04三角形的中线、角平分线、中线三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段；三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段；三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．3．BD＝DC＝BC4．点D是BC边的中点．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．题型01三角形的识别与有关概念【例题】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在中，边BE所对的角是，所对的边是；在中，边AE所对的角是，所对的边是；以为内角的三角形有．【变式训练】1．（2024下·全国·七年级假期作业）观察图形．(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来；(2)写出的边、顶点及三个内角；(3)以为内角的三角形有哪些？(4)以AB为边的三角形有哪些？2．（2023·全国·八年级课堂例题）如图所示，在中，点，分别在，上，交于点．(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来．(2)写出以为内角的三角形．(3)写出的对边．(4)写出以线段为边的三角形．题型02三角形的分类【例题】（2023上·河南周口·八年级校考阶段练习）如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（

）A．①对，②不对 B．①不对，②对 C．①、②都不对 D．①、②都对【变式训练】1．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）如图，一个三角形纸片被一块长方形木板遮挡了一部分，则该三角形是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能2．（2023上·湖北孝感·八年级统考期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（

）A．表示等边三角形 B．表示锐角三角形C．表示等腰三角形 D．表示三边都不相等的三角形题型03构成三角形的条件【例题】（2024上·新疆阿克苏·八年级统考期末）下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【变式训练】1．（2024上·广西百色·八年级统考期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（

）A．5，6，12 B．4，4，8 C．2，3，4 D．2，3，52．（2024上·河北保定·八年级统考期末）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、题型04确定第三边的取值范围【例题】（2024上·浙江宁波·八年级统考期末）两根木棒的长度分别为，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2024上·浙江台州·八年级统考期末）已知一个三角形两边长分别为2，6，则第三边长可以为（）A．3 B．4 C．7 D．92．（2024上·重庆巴南·八年级统考期末）一木工师傅准备用三根木条做一个三角形形状的模具，现在已有两根长度分别为、的木条，选择下列长度的木条能做成三角形模具的是（

）A． B． C． D．题型05画三角形的高【例题】（2023下·浙江·九年级阶段练习）下面四个图形中，线段是的高的是（

）A．B．C．D．【变式训练】1．（2023下·江苏·七年级阶段练习）在中，画出边上的高，画法正确的是（

）A．B．C．D．2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，．（1）在中，边上的高是；（2）在中，边上的高是．题型06根据三角形的中线求长度【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则．【变式训练】1．（2024上·重庆江津·八年级统考期末）如图，在中，、分别是边上的高和中线，，，则＝．2．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为．题型07根据三角形的中线求面积【例题】（2024上·云南普洱·八年级统考期末）已知：如图所示，在中，点分别为的中点，且，则阴影部分的面积为．【变式训练】1．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）如图，中，点D在边上且，点E为边上中点，和相交于点M，比的面积大2，则的面积为．2．（2023上·河南商丘·八年级统考期中）如图，为的中线，为的中线．(1)若，，求的度数．(2)作的边上的高，若的面积为，，求的面积．题型08重心的概念及有关应用【例题】（2023上·北京海淀·八年级校考期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是．【变式训练】1．（2023上·全国·八年级课堂例题）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的交点．2．（2022上·北京朝阳·八年级校考期中）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图①中，点D、E、F分别是的中点；图②中，分别是的三条高线；图③中，分别是的三条角平分线；图④中，a、b、c分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住O点，能使三角形木板保持平衡的图是．题型09三角形角平分线的定义【例题】（2022上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）下列说法正确的是（）A．三角形的三条中线交于一点B．三角形的角平分线是射线C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形【变式训练】1．（2020上·八年级课时练习）如图，某地有三个车站A，B，C，顺次连接AB，BC，CA，构成三角形，一辆公共汽车从B站前往C站．（1）当汽车行驶到点D时，刚好有，连接AD，AD这条线段是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条，此时____________（填“有”或“没有”）面积相等的三角形；（2）汽车继续向前行驶，当行驶到点E时，发现，那么AE这条线段是中的____________，在中，这样的线段有____________条；（3）汽车继续向前行驶，当行驶到点F时，发现，那么AF是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条．2．（2023下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图：中，点D在上，且，E是的中点，交于点F.(1)写出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线？(2)若，且的面积为3，求出的面积.一、单选题1．（2024上·山东威海·七年级统考期末）下列选项中的三条线段，能围成一个三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2024上·重庆丰都·八年级统考期末）若某三角形的三边长分别为2，8，m，则m的值可以是（

）A．6 B．7 C．10 D．113．（2024上·辽宁大连·八年级统考期末）如图是一个钝角，利用一个直角三角板作边上的高，下列作法正确的是（

）A． B．

C．

D．

4．（2024上·内蒙古包头·八年级统考期末）如图，直线，，，则∠2的度数为（）A．105° B．108° C．117° D．135°5．（2024上·江西南昌·八年级南昌市第三中学校联考期末）如图，在中，D，E，F分别是的中点，，则阴影部分的面积等于（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2024上·河南商丘·八年级统考期末）若一个三角形的两边长分别是2和3，第三边的长为奇数．则第三边的长为．7．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）如图，是外角的平分线，，，则的度数是．8．（2024上·河南郑州·八年级统考期末）如图，点D，E分别在的边上，且，点F在边的延长线上，若，，则．9．（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）在中，，D，E是边上的两点，且，有下列四个推断：①若是的高，则可能是的中线；②若是的中线，则不可能是的高；③若是的角平分线，则可能是的中线；④若是的高，则不可能是的角平分线．上述推断中，所有正确结论的序号是．10．（2024上·河北石家庄·八年级统考阶段练习）如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍），，得到；再分别倍长，，得到，则的面积为；……，按此规律，倍长2022次后得到的面积为．三、解答题11．（2023上·湖南湘西·八年级校考阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图：(1)请画出的高；(2)请画出的中线；(3)求出的面积．12．（2023上·全国·八年级专题练习）在中，，．(1)若是整数，求的长；(2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．13．（2023上·湖南长沙·八年级校考开学考试）如图，是的中线，是的中线．(1)在中作边上的高．(2)若的面积为，，则点到边的距离为多少？14．（2023上·广东肇庆·八年级校考阶段练习）如图，已知中，，．(1)画边上的中线，并求长；(2)画边上的高，若，求的面积．15．（2024上·江西南昌·八年级南昌市第三中学校联考期末）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．(1)若，求的大小．(2)若的面积为40，，求的长．16．（2023上·四川德阳·八年级四川省广汉中学校考阶段练习）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点E．(1)若，，求的度数；(2)请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．17．（2019下·甘肃庆阳·七年级统考期末）如图，为的中线，为的中线．若，则________；