重庆市黔江中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

重庆市黔江中学校高2025届高二下3月月考数学学科试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.1.求的值为（）A.12 B.18 C.24 D.30【答案】B【解析】【分析】利用排列数的计算方法即可得解.【详解】.故选：B.2.已知函数，则函数的导函数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数的求导法则即可得解.【详解】因为，，所以由复合函数的求导法则，得.故选：D.3.高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【解析】分析】利用分步乘法计数原理即可得解.【详解】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，故共有种选择方法.故选：D.4.设函数在处存在导数为2，则（）A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用导数的定义即可得解.【详解】由依题意，知，则.故选：C.5.若函数，则函数的单调递减区间为（）A.， B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域即可得解.【详解】因为，定义域为，所以，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.6.有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙、丙3个人，每人至少分得一张，且4张电影票全部分完，则不同分配方法的种数为（）A.24 B.36 C.64 D.72【答案】B【解析】【分析】利用不平均分组分配问题的解法即可得解.【详解】依题意，4张电影票分成三组，有种分法，再分配给甲、乙、丙3个人，有种分法，所以不同分配方法的种数为.故选：B.7.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用的图象分析的正负情况，从而分类讨论即可得解.【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减，所以当或时，；当时，；而等价于①，或②，由①得或，则，由②得，则，综上，.故选：B.8.定义域为的函数的导函数记作，满足，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数，利用导数判断单调性，由单调性求解不等式即可.【详解】令，则，所以函数在上单调递增，又，由可得，即，所以.故选：A二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，下列说法正确的是（）A. B.C. D.数列，，，为等比数列【答案】ABC【解析】【分析】根据等比数列的性质得到，即可得到关于和方程组，结合条件解得和，从而得到，再逐一分析各个选项，即可求解.【详解】对于B，因为数列为等比数列，则，由，解得或，则或，又为整数，所以，故B正确；对于A，此时，则，故A正确；对于CD，又，所以，则，，，因为，所以不是等比数列，故C正确，D错误；故选：ABC.10.已知函数在区间上单调递减，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据题意得到在上恒成立，分类讨论的取值范围，结合参数分离法，构造函数即可得解.【详解】因为，所以，因为在区间上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；当时，则在上恒成立，令，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，故，即，综上，，经检验，CD正确，AB错误．故选：CD．11.已知函数，其中，则（）．A.不等式对恒成立B.若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则k的取值范围是C.方程恰有3个实根D.若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为【答案】AD【解析】【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项．【详解】对于选项A，，当或时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以在出取得极小值，，在处取得极大值，，而时，恒有成立，所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确；对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，由A选项分析，函数的大致图象如下，由图知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误；对于C选项，由，得，解得，令，和，而，由图象知，和分别有两解：综上，方程共有4个根，C错误；对于D选项，直线过原点，且，，记，，易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．故选：AD【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数图象，然后数形结合求解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.过原点与曲线相切的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切线的方程.【详解】设切点坐标为，切线方程为，由，则，则，则，即，即，解得，所以，所以原点与曲线相切的切线方程为．故答案为：【点睛】本题主要考查了过点出的切线方程的求解，其中解答中熟记到导数点几何意义，以及过点处的切线方程的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.13.在如图所示的三棱锥中，现有红、黄、蓝、绿4种不同的颜色供选择，要求相邻两个顶点不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有______．【答案】【解析】【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.【详解】依题意，先涂点，有种颜色可供选择；再涂点，有种颜色可供选择；接着涂点，有种颜色可供选择；最后涂点，只有种颜色可供选择；综上，利用分步乘法计数原理，不同涂色方法共有.故答案为：.14.已知函数在上可导，且，则______．【答案】【解析】【分析】利用换元法求得解析式，再求导即可得解.【详解】因为，令，则，则，所以，则，所以．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出说明、证明过程或必要的演算步骤.15.7名同学排队照相.（1）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？（2）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用捆绑法即可得解；（2）利用插空法即可得解.【小问1详解】依题意，将甲、乙、丙看作一个整体，其内部有种排法，再将这个整体与其他4人全排列，有种排法，所以一共有种不同的排法.【小问2详解】依题意，先对4名男生进行全排列，有种排法，再将3名女生插到4名男生所形成的5个空中，有种排法，所以一共有种不同的排法.16.已知函数（1）若函数在处取得极值，求的值；（2）若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用极值点的意义得到，从而求得，再进行验证即可得解；（2）分类讨论的取值范围，利用导数得到的性质，从而得到且，解之即可得解.【小问1详解】因为，则，因为函数在处取得极值，所以，解得，当时，可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.【小问2详解】由，其中，当时，可得，单调递增，此时函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为，又，且当时，，所以要使得函数有两个零点，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.17.已知数列的通项公式为，等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和分别为，，求满足的所有数对.【答案】（1）（2）满足条件所有数对为【解析】【分析】（1）根据的通项公式求出，从而得到，求出公比，从而得解；（2）利用等差数列和等比数列前项和公式得到的关系式，变形后得到，结合为整数求出相应的值，从而得解.【小问1详解】由，所以，故，所以等比数列的公比为，故，所以，即等比数列{}的通项公式为；【小问2详解】因为，易知是等差数列，所以，由（1）可知，由，所以，即，故，因为为正整数，，所以，此时，故满足条件所有数对为.18.已知函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）求函数单调区间和极值；（3）当时，求函数在上的最大值.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；（2）利用导数与函数单调性、极值的关系，分类讨论的取值范围即可得解；（3）根据的取值范围，结合（2）中结论得到的单调性，从而得到其最值.【小问1详解】因为，当时，，则，所以，，所以函数在点处的切线方程为，即.【小问2详解】因为，则，令得或，当时，，令，得或；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，；当时，，在上单调递增，没有极值；当时，，令，得或；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，；综上：当时，单调递增区间为，单调递减区间为，，；当时，的单调递增区间为，没有极值；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，，；【小问3详解】因为，所以，，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以.【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：（1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：；（2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．19.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用.设实系数一元三次方程：—①，在复数集C内的根为，，，可以得到，方程①可变为：，展开得：—②，比较①②可以得到一元三次方程根与系数关系：（1）若一元三次方程：的3个根为，，，求的值；（2）若函数，且，，求的取值范围；（3）若一元四次方程有4个根为，，，，仿造上述过程，写出一元四次方程的根与系数的关系.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意得到，，再