2023-2024学年四川省泸州市泸县高二年级下册开学考试数学（文）模拟试题（含答案）

2023-2024学年四川省泸州市泸县高二下册开学考试数学（文）

模拟试题

一、单选题

1.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,…,

840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481,720］的人数为

A.11B.12C.13D.14

【正确答案】B

【详解】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人.

.,.从编号1〜480的人中，恰好抽取480/20=24人，

接着从编号481-720共240人中抽取240/20=12人

系统抽样

2.抛物线y=4∕的焦点坐标是（）

d

ʌ.（Ql）B.（1,0）C.1。,总∙偿

【正确答案】C

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标.

【详解】将抛物线y=4χ2的化为标准方程为Y=Jy,P=I,开口向上，焦点在y轴的正

半轴上，

所以焦点坐标为（（*）.

故选：C.

3.已知两直线45-y+6=O与/2：-3x+3y—2=0,则4与4间的距离为（）

A.√2B.—C.√3D.当叵

33

【正确答案】B

【分析】把直线4的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.

2

【详解】直线4的方程化为：x-J÷∣=0,显然，“〃2，

所以4与4间的距离为d=」6-字=述

故选：B

4.执行如图所示的程序框图，如果输入。的值为T,则输出S=()

A.2B.-3C.3D.-4

【正确答案】B

【分析】利用程序框图的循环结构依次计算即可

【详解】初始化数值α=T,k=l,S=O,循环结果执行如下：

第一次：S=O-I=-I,a=l,k=2；

第二次：S=-1+2=1,a=-↑,k=3；

第三次：S=I—3=—2,a=∖,k=4；

第四次：5=-2+4=2,a=—1,k=5∙,

第五次：S=2-5=-3,a=∖,k=6；

结束循环，输出S=-3.

故选:B.

5.用2,3,4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个

三位数大于342”()

A.是互斥但不对立事件B.不是互斥事件

C.是对立事件D.是不可能事件

【正确答案】B

【分析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.

【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：

{234,243,324,342,423,432},其中偶数有{234,324,342,432},大于342的有{423,432}.

所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.

故选：B.

6.已知相，”是两条不同的直线，α,/?是两个不同的平面，则下列结论正确的是()

A.若加//〃,〃〃&,则加//ɑB.若"〃/a,a///?,则ɑ///

C.若mlIa,m1β,则a_L/?D.若a上βjnHa,n/1β,则机_L〃

【正确答案】C

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一核对四个选项得

答案.

【详解】解：对于A：若m∕∕","∕∕α,则加〃。或机Ua,故A错误；

对于B：若nι"a,mUβ,则ɑ//夕或α与夕相交，故B错误；

对于C：若m3a,m∖β,根据面面垂直的判定定理可得C尸，故C正确；

对于D：若C△相〃α,〃〃夕则，"与”平行、相交、或异面，故D错误；

故选：C

7.“机>6”是“方程χ2+y2-wιv+4y+机+7=0是圆的方程”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】若方程Y+)，-wιr+4y+机+7=0表示圆，则(-〃?)。+4?-4(〃?+7)>0,

即那一4机-12>0,解得机>6或WC-2,

故“帆>6”是“方程*2+12-〃ɑ+4),+机+7=0是圆的方程”的充分不必要条件，

故选：A

8.命题P：若”>8，且而>0,则Inf>0,命题9：在ABC中，若A>B,则sinA>sinB.

b

下列命题中为真命题的是()

A.(ι0)^(7B.PZqC.pAjq)D.(f)∕∖(-∙q)

【正确答案】A

【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性判断命题〃的真假，根据大角对大边及正弦

定理可判断命题4的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.

【详解】解：若α>b,且而>0,则0<:，

h

当a>6>。时，->1,所以ln@>0,

bb

当O>α>b时，所以In@<0,

bb

综上命题P为假命题，则力为真命题，

在..ABC中，若力>B,则α>b,

由正弦定理得SinA>sinB,

所以命题4为真命题，F为假命题，

所以(-lP)人4为真命题，PΛ4,p^(―«7),(-1P)人(-«7)为假命题.

故选：A.

9.在矩形ABCD中，AB=I,BC=0,PA_L平面ABCD,PA=X,则PC与平面ABCO所

成角是.

A.30oB.45oC.60oD.90°

【正确答案】A

【分析】建立空间直角坐标系,求出平面ABCD的法向量以及直线PC方向向量，利用空间向

量夹角余弦公式可求出PC与平面ABC。所成角.

建立如图所示的空间直角坐标系，

则p(o,o,ι),c(ι,√5,o),.∙.PC=(1,√2,-1),

易知平面ABCo的一个法向量为“(0,0,1),

.∙.cos<PC,")=IPC[I=ɪ

'/IPCM~2,

・•.PC与平面ABCD所成的角为30,故选A.

求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角,

利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利

用空间向量夹角余弦公式求解即可.

io.已知直线/:y=χ+m与曲线X=√4二y有两个公共点，则实数的取值范围是()

A.[-2,2√2)B.(-2√2,-2]C.[2,2√2)D.(-2√2,2]

【正确答案】B

【分析】画出图像,当直线I过点AB时,求出，*值;当直线/与曲线X=√4≡7相切时•求出m，

即可得出机的取值范围.

【详解】画出如下图像：

曲线X=J4-N有两个公共点;

直线/与曲线相切时,m=-2√2,

因此当-2及＜%≤-2时，直线/与

曲线X=斤了有两个公共点.

故选B

本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思

想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档

题.

11.已知三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上，且尸平面43C,AB=2,AC=I,

NAcB=90。，若该棱锥的体积为亚，则此球的表面积为（）

3

A.16万B.204C.3πD.54

【正确答案】B

作出三棱锥，找出球心的位置，进而求出球的半径，根据球的表面积公式即可求解.

【详解】作出三棱锥P—ABC,如图：

因为PAJ•平面43C,则PALBC,

又因为NACB=90。，所以BC_LAC,由ACCPA=A,

所以BC/平面PAC,所以BCLPC,

所以PeB为直角三角形，

又,∕¾β为直角三角形，

所以三棱锥P-AeC的外接球球心在尸8的中点上，

111ɔ/o

V=-s.∙PA=-×-×1×√3∙PA=^,解得∕¾=4,

pP-AxBrCic3ΛΓ323

所以PB="?+??=2亚,

故三棱锥P-ABC的外接球半径r=√5,

所以外接球表面积为=4√rx5=20τr.

故选：B

12.设40,6),点B为双曲线C：W-1=1(a>0,0>0)的左顶点，线段AB交双曲线一条渐近

a~b~

3

线于C点，且满足COSNOCBug,则该双曲线的离心率为()

A.乎B.GC.ID.√5

【正确答案】D

先求出点C的坐标，再根据余弦定理即可求出.

【详解】解：A(0,⅛),8(-a,0),

•••直线AB的方程为y=-x+b,

a

抛物线的一条渐近线方程为y=--χ,

a

b

y=­x

由,a,解得χ=-g尸：

y=-x+b

∙∙ic,cμ^T+⅛=f,18CI=∙∣,

由余弦定理可得"=j+^-2×jx→∣,

整理可得5/=C?,

即e=£=ʌ/ʒ,

a

故选：D.

本题考查了双曲线的简单性质，以及余弦定理和离心率公式，属于中档题.

二、填空题

13.已知圆C∣:X2+∕+2X+3J+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y+2=0,则圆Cl与圆C2的

位置关系是.

【正确答案】相交

【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距

离公式求出两圆心的距离，与半径和与差的关系比较即可知两圆位置关系.

【详解】C∕W+y2+2χ+3y+l=O化为(X+1)2+(>+1)=',

C2：/+y2+4x+3y+2=0化为(χ+2)2+[y+∣]=*

则两圆圆心分别为：c(-ι,-1),G(-2,-1),半径分别为：Rqr=卓,

圆心距为d=l,叵口>\>叵

2222

所以两圆相交.

故相交.

14.命题”*0∈[2,4],片-如⅛+加+3>O”是真命题，则机的取值范围是.

【正确答案】S7)

【分析】依题意可得去”[2,4],%-如。+〃?+3>0是真命题，参变分离得到W7<9?在

⅞-ι

⑵41上有解，再利用构造函数利用函数的单调性计算可得.

【详解】3⅞∈[2,4∣,片-码,+机+3>0等价于初<近2在[2,4]上有解.

⅞->

设/(X)=正坦，t=x-le[l,3],则gQ)="+"+3=/+3+2在[1,2]上单调递减,在(2,3]

x-Itt

上单调递增，

19

又g(D=7,g(3)=j,所以g(f)≤7,即加<7.

故(-8,7)

15.某公司的班车在8：00准时发车，小田与小方均在7：40至8：00之间到达发车点乘坐

班车，且到达发车点的时刻是随机的，则小田比小方至少早5分钟到达发车点的概率为

【正确答案】ɪ9

【分析】设小田到达发车点的时间为X,小方到达发车点的时间为y,ay)所构成的区域为

Ω={(x,y)∣40≤x≤60,40≤y≤60),小田比小方至少早5分钟到达发车点为事件

A={(x,y)∖y-x≥5},作出示意图，利用面积型的几何概型的概率计算公式计算即可.

【详解】设小田到达发车点的时间为X,小方到达发车点的时间为》(χ,y)所构成的区域为

C={(x,y)∣40≤x≤60,40≤y≤60},对应的面积S=2()x20=400,则小田比小方至

少早5分钟到达发车点为事件A={(χ,y)∣y-χ25},作出示意图，则符合题意的区域为

./BC及其内部区域，联立〃,解得C(55,60),联立)yin,解得8(40,45),

[γ=60[y=40

1?25

则SAZ)C=IXl5x15=言，由几何概型的概率计算公式，知小田比小方至少早5分钟到

225

达发车点的概率为^Γ=9.

400-32

本题考查面积型的儿何概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.

16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点尸作斜率大于0的直线/交抛物线于A,B两点(A在B

的上方)，且/与准线交于点G若CB=3BF,则器

【正确答案】2

分别过A,B作准线的垂线，垂足分别为A,B1,由阴=第可求.

I∕>CIIoCIIACI

【详解】分别过4B作准线的垂线，垂足分别为4，B1,

y

幽IBFlIAAl

设I8尸I=X,IA尸∣=y,则

∣BC∣~∣BC∣^∣AC∣

-----y------=-Ie-I-A--尸--I-=-y--C/

y+x+3x3'**IBF∖x

故2.

三、解答题

17.已知P：√-7x+10<0.q：x2-4≡+3m2<0,其中m>().

(1)若机=4且。人4为真，求X的取值范围；

(2)若F是土的充分不必要条件，求实数〃?的取值范围.

【正确答案】(1)4<x<5:(2)∣≤∕n<2

【分析】(1)由PAg为真，可知PM都为真，进而求出命题PM,可得到答案；

(2)先求出命题PM,由F是Y的充分不必要条件，可得P是4的充分不必要条件，进

而可列出不等式，求出实数机的取值范围.

【详解】由χ2-7χ+10<0,解得2<x<5,所以P：2<x<5,

Xx2-4mx+3m2<0,且m>0,解得"z<x<3m,所以4.m<x<3"?

(1)当机=4时，q：4<x<12,

因为P八g为真，所以。国都为真，所以4<x<5.

(2)因为F是i的充分不必要条件，所以。是。的充分不必要条件，

in<2

因为P：2<x<5,q：m<x<3m,所以∙3m25,解得gv,∕l≤2.

m>Q

本题考查一元二次不等式的解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要

条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.

18.从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数

据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.

分组频数

[2,4)2

[4,6)10

[6,8)16

[8,10)8

[10,12]4

合计40

（1）求频率分布直方图中4,6的值；

（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；

（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量

为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均

用水量不低于8吨的概率.

4

【正确答案】（1）“：二”：；（2）0.7；（3）

【详解】试题分析：（1）利用频率分布直方图中小矩形的高的实际意义进行求解；（2）利用频

率来估计概率；（3）先利用分层抽样得到各层抽得的人数，列举出所有基本事件和满足要求

的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.

试题解析：（1）因为样本中家庭月均用水量在［4,6）上的频率为关=0.25,

40

在［6,8）上的频率为裳=0.4,

40

▼…0.25八…0.4CC

所以α=-----=0.125,b1=—=0.2

22

（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个，

所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是W=0.7.

40

利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于

6吨的概率约为0.7

（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量

为7的样本，

则在俗,8）上应抽取7χ粤=4人，记为A,B,C,O,

28

Q

在［8,10）上应抽取7x2=2人，记为E,F,

28

4

在［10,⑵上应抽取7x三=1人，记为G

28

设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件，

则所有基本事件有：{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F］,

{B,G},{C,D},{C,E］,{C,F）,{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.

事件包含的基本事件有：{A,E},{A,F},{A,G},

{B,E},{B,F},{B,G},{C,E］,{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{Z>,G},12种.

所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为（12=y4

1.频率分布直方图；2.分层抽样；3.古典概型.

19.从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第i个家庭的月收入占（单位：千元）与

10IO10

月储蓄H（单位：千元）的数据资料，计算得Z升=80,∑χ=20,ZXa=I84,

/=1I=I/=I

IO

=720.

Z=I

⑴求家庭的月储蓄y对月收入X的线性回归方程§=队+机

（2）判断变量X与ʃ之间是正相关还是负相关；

（3）利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并

预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额.附：线性回归方程系数公式.

^jxiyi-nxy

y=Z>x+"中,≈^i⅛--------<a=y—bx>其中x，y为样本平均值.

/=I

【正确答案】(l)y=0.3x—0.4

(2)正相关

(3)1.7千元

【分析】(1)由题意得到"=10,求得工亍，进而求得A&，写出回归方程；.

⑵由方=0.3>0判断;

(3)将x=7代入回归方程求解.

【详解】(1)由题意知

w=10,还LfV型=8,3=LiS=型=2,

IOG11010占10

^xiyi-nxy

贝IJ5=T-------—=0.3,a=y-bx=-0.4,

^X,2-H(X)2

/=I

所以所求回归方程为y=0.3χ-0.4.

(2)因为〃=0.3>0，

所以变量>-的值随X的值增加而增加，故X与y之间是正相关.

(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3x7—0.4=1.7(千元).

20.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC//AD,ADJ.AB,E,尸分别

是棱AB,PC的中点.

(1)证明：EF〃平面PAD；

⑵若CD=五AB=CBC=20，且四棱锥P-ABCo的体积是6,求三棱锥尸一皿)的体

积.

【正确答案】（1）证明见解析.

（2）2.

【分析】（1）取CQ的中点G,连接EG,FG.运用面面平行的判定和性质可得证；

（2）过点C作垂足为H,连接皮），PE,设点P到平面ABCZ）的距离为/?,根

据棱锥的体积求得〃，再利用三棱锥£-皿>的体积与三棱锥P-A。E的体积相等，三棱锥

F-皿）的体积与三棱锥E-RS的体积相等，可求得答案.

【详解】（1）证明：如图，取C力的中点G,连接EG,FG.

因为尸，G分别是棱PC,CO的中点，所以FG〃/3O,又尸GU平面PAD,PDU平面R4。，

所以尸G〃平面PAD.

因为8C〃4D,且E,G分别是棱AB,S的中点，所以EG〃A。，又EG<Z平面PAO,

A£>U平面尸A£）,所以EG〃平面尸AO.

因为EG,FGu平面EFG,且EGFG=G,所以平面£FG〃平面PAE>.

因为EFU平面EFG,所以EF〃平面PAD.

（2）解：过点C作C”,AD,垂足为〃，连接EO,PE,

则四边形AβC∕/是正方形，¼jf∏CH-AH=AB-2.

因为CQ=√∑4B,所以CO=0C”，则O"=C"=2,

从而直角梯形ABCD的面积S=（2+^2=6.

2

设点尸到平面ABCD的距离为〃，则四棱锥P-MCO的体积V=；S〃=gx6/?=6,解得

h=2>.

因为三棱锥E-B4Q的体积与三棱锥P-45E的体积相等，

所以三棱锥E—A4Q的体积K=∣×∣×4×1×3=2.

因为EFH平面PAO,所以三棱锥F-PAD的体积与三棱锥E-PAD的体积相等，

所以三棱锥尸-A4Q的体积为2.

21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为凡过F且与X轴垂直的直线交该抛物线于A,B两

点，HBI=4.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点尸的直线/交抛物线于P,。两点，若AOPQ的面积为4,求直线/的斜率(其中

。为坐标原点).

【正确答案】(1)√=4x;(2)土正.

3

【分析】(1)根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得2p=4,从而可得结果；(2)设

直线/的方程为y=%(χ-l),尸(3/),。(%,%)，X=曰+1代入V="得丁-整-4=0,

利用弦长公式，结合韦达定理可得的|p0值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式

可得SOQ=1∣PQ∣∙d=岑土1=4,

从而可得结果.

2rl

【详解】(1)由抛物线的定义得A、B到准线的距离都是P,

所以IABI=2p=4,

所以抛物线的方程为y2=4x.

(2)设直线/的方程为y=Mx-l),P(X1，y∣),β(x2,y2).

因为直线I与抛物线有两个交点，

所以⅛≠0,得x=3+l,代入W=4χ,得/一?_4=0,且A=^+16>0恒成立,

Kkk"

4

贝rlIlJy+必=%，γ∕j2=-4,

所以IPQI=6JE-%∣=埠少.

∣-⅛+0∣∖k∖

又点O到直线1的距离d=%^=7⅛j-，

√Λ2+1