第21讲二次函数中的图形的变换问题（含2023黄浦一模）（解析版）

第21讲二次函数中的图形的变换问题二次函数中图形的变换问题在近几年的中考中属于热点、难点问题，中考24题考察。

当题目中出现旋转或平移时，根据题意，找出其中的不动点及定线段，再依据题意，画出图形，分析是否需要分类讨论，进而，再依据题意寻找等量关系，列出关系式，得到最后答案。

当遇到运动问题时，要善于发现题目中的“变”与“不变”的量，简化图形，化繁为简。【技巧点拨】一、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a不变。二、二次函数中的翻折问题当抛物线关于x轴、y轴翻折时，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？

让我们先来观察下翻折变换后函数图像的变化：

通过观察图像，我们发现：当图像关于y轴翻折时，开口方向不变，顶点横坐标变为相反数，顶点纵坐标不变；当图像关于x轴翻折时，开口方向改变，顶点横坐标不变，顶点纵坐标互为相反数。

因此归纳如下表格：三、二次函数中的旋转问题当抛物线绕原点和顶点180°旋转时，开口方向、顶点坐标、解析式又会如何变化呢？

让我们先来观察下旋转变换后函数图像的变化：通过观察图像，我们发现：当图像关于原点旋转180°时，开口方向改变，顶点横、纵坐标变为相反数；当图像关于顶点180°旋转时，开口方向改变，顶点横、纵坐标不变。因此归纳如下表格：【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题5-7分钟。【中考挑战满分模拟练】1．（2023黄浦区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．（1）当y1＝0，y2＝y3时，①求该抛物线的表达式；②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线经过点（1，0），求m的值；（2）若y2＝0，且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的b的值，再求b的取值范围．【分析】（1）①根据y1＝0，y2＝y3，可得对称轴为x＝，求出b的值，再根据抛物线经过点A，求出c，从而得出抛物线解析式；②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把（0，0）代入解析式即可求出m的值；（2）根据题意分对称轴在y轴左侧和右侧两种情况讨论即可．【解答】解：（1）①∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4），且y1＝0，y2＝y3，∴B，C为对称点，对称轴为直线x＝﹣＝＝，∴b＝1，∴y＝﹣x2+x+c，把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+x+c得：﹣1﹣1+c＝0，解得c＝2，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；②∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴把该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+﹣2，∵新抛物线经过点（1，0），∴﹣（1﹣+m）2+＝0，解得m＝0或m＝﹣1；（2）当y2＝0时，抛物线过原点（0，0），且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，当抛物线对称轴在y轴左侧时，且经过原点，即b＜0，此时y3＜0，y4＜0，如图：∴y1＞0，即当x＝﹣1时，y＞0，∴﹣1﹣b＞0，解得b＜﹣1；当抛物线对称轴在y轴右侧时即b＞0，且经过原点，此时，y1＜0，若想y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，必然是y3＞0，y4≤0，如图：∴，解得1＜b≤2，综上所述，b的取值范围为b＜﹣1或1＜b≤2．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．2．（2022•金山区二模）已知：在直角坐标系中直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如果直线AB与抛物线的对称轴相交于点C，求OC的长；（3）P是线段OA上一点，过点P作直线AB的平行线，与y轴相交于点Q，把△OPQ沿直线PQ翻折，点O的对应点是点D，如果点D在抛物线上，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴为直线x＝1，再求出点C的坐标，即可得出结论；（3）设点P的坐标为（t，0），先得出四边形DPOQ为矩形，再得出四边形DPOQ为正方形，最后得出点D的坐标，列出方程求解即可．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴、y轴相交于点A、B，∴A（4，0）、B（0，4），代入抛物线得：，∴b＝1，c＝4，∴抛物线的解析式为：．（2）由＝，可得抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，∴C（1，3），∴．（3）如图，设点P的坐标为（t，0），∵AO＝BO＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PQ∥AB，∴∠OPQ＝∠OQP＝45°，∴∠DPO＝∠DQO＝90°，又∠POQ＝90°，∴四边形DPOQ为矩形，∵OP＝OQ，∴四边形DPOQ为正方形，∴DP＝DQ＝OP＝t，∴四边形DPOQ为正方形，∴D（t，t），∴，解得：，（不合题意，舍去），∴点P是坐标为：（，0）．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确画出图象是解题的关键．3．（2022•青浦区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，可证得△APD∽△CAO，建立方程求解即可得出答案；（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，可证得△APD≌△PEF（AAS），得出：PF＝AD＝，EF＝PD＝，即E（，﹣），再利用待定系数法求得直线AE的解析式为y＝﹣2x+2，再求得Q（，﹣），即可求得抛物线平移的距离．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（2）设P（t，﹣t2+4t﹣3），如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，连接AC、AP，则∠ADP＝∠AOC＝90°，AD＝t﹣1，PD＝﹣（﹣t2+4t﹣3）＝t2﹣4t+3，又OA＝1，OC＝3，∵∠PAB＝∠ACO，∴△APD∽△CAO，∴＝，即＝，∴3t2﹣13t+10＝0，解得：t1＝1（舍去），t2＝，当t＝时，﹣t2+4t﹣3＝﹣（）2+4×﹣3＝﹣∴P（，﹣）；（3）如图2，连接AQ、PQ，过点P作PE⊥PA交AQ于点E，过点E作EF⊥PQ于点F，由（2）知：P（，﹣），∠PAC＝90°，∴PD＝，AD＝﹣1＝，∠ADP＝90°，∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，∴D、P、Q在同一条直线上，∴∠APD+∠EPF＝90°，∵∠PFE＝90°＝∠ADP，∴∠PEF+∠EPF＝90°，∴∠APD＝∠PEF，∵AQ平分∠PAC，∴∠PAE＝∠PAC＝×90°＝45°，又PE⊥PA，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP＝PE，∴△APD≌△PEF（AAS），∴PF＝AD＝，EF＝PD＝，∴E（，﹣），设直线AE的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AE的解析式为y＝﹣2x+2，当x＝时，y＝﹣2x+2＝﹣2×+2＝﹣，∴Q（，﹣），∵﹣﹣（﹣）＝，∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣3向下平移了个单位．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．4．（2022•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，顶点为C．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果∠BDC＝∠OAB，求平移的距离；（3）设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移三个单位，如果点M的对应点Q落在△OAB内，求m的取值范围．【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）求出定点C的坐标，过点B作BH⊥CD于H，由题意得，平移后所得新抛物线的顶点D在抛物线的对称轴上，CD的长即平移的距离，根据∠BDC＝∠OAB，利用正切函数求出DH，可得D（，5），可求出CD的长，即可求解；（3）由抛物线的对称轴可得点B关于对称轴对称的点M′的坐标为（3，2），则将抛物线向左平移三个单位，点M′的对应点和点B重合，点A的对应点为（1，0），即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（4，0），B（0，2），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴C（，），对称轴为x＝，过点B作BH⊥CD于H，由题意得，平移后所得新抛物线的顶点D在抛物线的对称轴上，CD的长即平移的距离，∵∠BDC＝∠OAB，∴tan∠BDC＝tan∠OAB，∴，∴DH＝2BH，∵BH⊥CD，对称轴为x＝，∴BH＝，∴DH＝3，∵B（0，2），∴H（，2），∴D（，5），∵C（，），∴CD＝5﹣＝，∴平移的距离为；（3）如图，∵B（0，2），对称轴为x＝，∴点B关于对称轴对称的点M′的坐标为（3，2），∴将抛物线向左平移三个单位，点M′的对应点和点B重合，∵将抛物线向左平移三个单位，点A（4，0）的对应点为（1，0），∴3＜m＜4时，点M的对应点Q落在△OAB内，∴m的取值范围为3＜m＜4．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求顶点式，抛物线的平移，锐角三角函数等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．5．（2022•静安区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是（2，4），点B在x轴上，OB＝AB（如图所示），二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．（1）求点B与点D的坐标；（2）求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；（3）二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．【分析】（1）设B（m，0），由OB＝AB，可求B（5，0），设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入可求函数的解析式，从而求D点坐标；（2）求出直线AB解析式为y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，求得E（，）；（3）由A点的变化可知A点向右平移个单位，则D（，）向右平移个单位后点的横坐标为3，再由平移后的D点在线段AB上，从而求出平移后D点坐标为（3，），可得平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．【解答】解：（1）设B（m，0），∵A坐标是（2，4），OB＝AB，∴m2＝（m﹣2）2+（0﹣4）2，解得m＝5，∴B（5，0），设二次函数解析式为y＝ax（x﹣5），将（2，4）代入得：﹣6a＝4，解得a＝﹣，∴y＝﹣x（x﹣5）＝﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，）；（2）由（1）知二次函数图象的对称轴是直线x＝，设直线AB解析式为y＝kx+b，将A（2，4），B（5，0）代入得：，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+，令x＝得y＝﹣×+＝，∴E（，）；（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝，∴A点向右平移个单位，∴D（，）也向右平移个单位后点的横坐标为3，∵平移后的D点在线段AB上，∴平移后D点坐标为（3，），∴平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象的平移的性质是解题的关键．6．（2022•宝山区二模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（1，0）、B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左平移m个单位（m＞2），平移后点A、B、C的对应点分别记作A1、B1、C1，过点C1作C1D⊥x轴，垂足为点D，点E在y轴负半轴上，使得以O、E、B1为顶点的三角形与△A1C1D相似，①求点E的坐标；（用含m的代数式表示）②如果平移后的抛物线上存在点F，使得四边形A1FEB1为平行四边形，求m的值．【分析】（1）将点A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，即可求解；（2）①分别求出A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），D（﹣m，0），设E（0，y），由题意可知要使三角形相似，只需∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，当∠OB1E＝∠DC1A1，tan∠OB1E＝tan∠DC1A1＝，＝则，求出E（0，1﹣m）；当∠OB1E＝∠C1A1D，则＝2，求出E（0，4﹣2m）；②设F（x，y），当E（0，1﹣m）时，由题意可知四边形A1E为平行四边形的对角线，可得，再由y＝﹣（x﹣+m）2+，求出m＝2（舍）或m＝；同理当E（0，4﹣2m）时，求得m＝5．【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，∴，解得，∴y＝﹣x2+3x﹣2；（2）①y＝﹣x2+3x﹣2＝﹣（x﹣）2+，平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），平移后A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），∵C1D⊥x轴，∴D（﹣m，0），∴OB1＝m﹣2，C1D＝2，A1D＝1，设E（0，y），∴OE＝﹣y，∵∠B1OE＝90°，∠C1DA1＝90°，∴∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，当∠OB1E＝∠DC1A1，∴tan∠OB1E＝＝，tan∠DC1A1＝＝，∴＝，∴y＝1﹣m，∴E（0，1﹣m）；当∠OB1E＝∠C1A1D，∴＝2，∴y＝4﹣2m，∴E（0，4﹣2m）；综上所述：E点坐标为（0，1﹣m）或（0，4﹣2m）；②设F（x，y），当E（0，1﹣m）时，∵四边形A1FEB1为平行四边形，∴四边形A1E为平行四边形的对角线，∴，∴x＝﹣1，∵平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，∴y＝（﹣+m）2+，∴1﹣m＝﹣（﹣+m）2+，解得m＝2（舍）或m＝，当m＝时，y＝﹣，F（﹣1，﹣），∴m＝；当E（0，4﹣2m）时，∵四边形A1FEB1为平行四边形，∴四边形A1E为平行四边形的对角线，∴，∴x＝﹣1，∵平移先后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+，∴y＝（﹣+m）2+，∴4﹣2m＝﹣（﹣+m）2+，∴m＝5或m＝2（舍）；综上所述：m＝或m＝5．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，抛物线平移的性质，平行四边形的性质是解题的关键．7．（2022普陀区一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．（1）求m、n的值和抛物线的表达式；（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题．（2）过点D作DH⊥y轴于点H，由直角三角形的性质得出tan∠ACO＝tan∠CDH，则，可列出方程求出CH的长，则可得出答案；（3）设P（t，），得出N（t﹣3，），由点N在直线AB上可得出t的值，则可得出答案．【解答】解：（1）将A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），将B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如图2，若平移后的三角形为△PMN，则MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，设P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵点N在直线y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标．8.yx2bxc（0和（4Px轴相Q.BCBQ=CP解：（1）根据题意………（2分）解得：，。∴抛物线的表达式是…………………（2分）（2），∴顶点P的坐标是（2，5）.对称轴是直线x=2，点Q的坐标为（2，0）.…………（1分）∴，，；……………………（1分）∴，∴∠COM=90°，…………………（2分）（3）根据题意，BC∥PQ.如果点C在点B的上方,PC∥BQ时，四边形BCPQ是平行四边形，∴BQ=CP，BC=PQ=5，即抛物线向上平移5个单位，平移后的抛物线解析式是.…………（2分）如果点C在点B的下方，四边形BCQP是等腰梯形时BQ=CP，作BE⊥PQ，CF⊥PQ，垂足分别为E、F.根据题意可得，PE=QF=1，PQ=5，BC=EF=3，即抛物线向下平移3个单位，平移后的抛物线解析式是……………（2分）.综上所述，平移后的抛物线解析式是或.9.（2020闵行一模24）.如图，在平面直角坐标系中，直线与牰交于点，与轴交于点．点C为拋物线的顶点．（1）用含的代数式表示顶点的坐标：（2）当顶点在内部，且时，求抛物线的表达式：（3）如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移个单位后，平移后的抛物线的顶点仍在内，求的取值范围．【小问1详解】解：拋物线，∴顶点C的坐标为；【小问2详解】解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，∴A（5，0），B（0，5），∵顶点C在内部，且，∴，∴a=2，∴拋物线的表达式为；【小问3详解】解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，∵平移后的抛物线的顶点仍在内，∴，解得：1＜a＜3，即的取值范围为1＜a＜3．10.（2022奉贤一模24）（本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)小题每小题满分4分)如图11,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y(1)求该抛物线的表达式的顶点D的坐标;(2)将抛物线沿y轴上下平移,平移后所得新拋物线顶点为M,点C的对应点为E.①如果点M落在线段BC上,求∠DBE的度数②设直线ME与x轴正半轴交于点P,与线段BC交于点Q,当PE=2PQ时,图图11【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）；（2）①设直线x＝1交x轴于G，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，∴将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E（0，1），∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，由C（0，3），D（1，4）可知，直线CD与x轴夹角为45°，∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，∴4BH＝3，∴BH＝∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），∴平移后抛物线为y＝﹣（x﹣1）2﹣．11．（2021•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．【分析】（1）由y＝3x+3与x、y轴分别交于点A、B，可求出A、B坐标，B向右移动5个单位即得C坐标；（2）将A坐标代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根据对称轴公式可得答案；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，用a表示顶点纵坐标列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：设OC解析式为y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式为y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴顶点坐标为（2，﹣9a），抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．【点评】本题考查点的平移、二次函数图象等知识，表示顶点坐标列不等式是解题的关键．12．（2016•杨浦区三模）已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上．（1）求a的值及点B的坐标；（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．【分析】（1）把点A（2，﹣2）代入y＝ax2，得到a，再把点B代入抛物线解析式即可解决问题．（2）求出直线AB解析式，再分别求出过点A垂直于AB的直线的解析式，过点B垂直于直线AB的解析式即可解决问题．（3）先求出点A′坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（2，﹣2）代入y＝ax2，得到a＝﹣，∴抛物线为y＝﹣x2，∴x＝﹣4时，y＝﹣8，∴点B坐标（﹣4，﹣8），∴a＝﹣，点B坐标（﹣4，﹣8）．（2）设直线AB为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AB为y＝x﹣4，∴过点B垂直AB的直线为y＝﹣x﹣12，与y轴交于点P（0，﹣12），过点A垂直AB的直线为y＝﹣x，与y轴交于点P′（0，0），∴点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形时．点P坐标为（0，0），或（0，﹣12）．解法二：利用直线与坐标轴的夹角为特殊角45°构建等腰直角三角形来求解坐标即可．（3）如图四边形ABB′A′是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F．∵直线AB解析式为y＝﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，∵AB＝AA′＝＝6，∴AE＝A′E＝6，∴点A′坐标为（8，﹣8），∴点A到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，∴抛物线y＝﹣x2的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，﹣6），∴此时抛物线为y＝﹣（x﹣6）2﹣6．【点评】本题考查二次函数图象上点的特征、一次函数等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，知道两条直线垂直k的乘积为﹣1，属于中考常考题型．13.【2021年静安区二模24】（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线与y轴相交于点B，顶点为点C．求此抛物线表达式与顶点C的坐标；求∠ABC的正弦值；将此抛物线向上平移，所得新抛物线顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．（第（第24题图）AOxy24．解：（1）∵抛物线经过点A（5，0），∴． （1分）∴． （1分）∴抛物线表达式为，顶点C的坐标为（）． （2分）（2）设抛物线的对称轴与x轴、AB分别相交于点E、F，点E（3，0）．∵点B（0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB=45°，∴EF=AE=2，CF=6． （1分）∴． （2分）过点A作AH⊥BC，垂足为H，∵BC=，∴． （1分）∴．∴． （1分）（3）∵，∴Rt△AEC∽Rt△AHB，∴∠ACE=∠A∵△DCA与△ABC相似，∴或． （1分）∴或．∴CD=或CD=6． （1分）∵抛物线和y轴的交点向上平移的距离与顶点平移的距离相同，∴平移后的抛物线的表达式为或． （1分）14.【2021年长宁二模24】如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣163x+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向左平移m（m＞0）个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE＝∠PEC时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）m＝4；（3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4），即可求解；（3）求出直线PA的表达式，得到点E的坐标为（0，−t＋4），由∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，进而求解．【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得故抛物线的表达式为；（2）令x=0，y=4∴C（0，4）当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C（0，4）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝2，则平移后抛物线再过点C时，m＝4；（3）设点P的坐标为（t，)，设直线PA的表达式为y＝kx+b，代入A、P坐标得，解得，∴直线PA的表达式为y＝（）x，令x=0，y=故点E的坐标为（0，﹣t+4），而点C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，则点P在CE的中垂线上，由中点公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），解得t＝1（舍去）或，故点P的坐标为．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．15.【2021年奉贤二模】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）经过点A、C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线先向右平移m个单位，再向上平移1个单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C′处，求m的值；（3）设点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，联结AC，如果点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，求点F的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐标为（4，）或（4，﹣1.5）．【分析】（1）求出A坐标，将A、C坐标代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐标代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方两种情况画出图形，构造相似三角形利用对应边成比例可得答案．【详解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵点A在x轴正半轴上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴将A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；（2）设直线AB的解析式是y＝mx＋n，将A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直线AB的解析式是y＝﹣x＋2，∵抛物线y＝x2﹣2x向右平移m个单位，再向上平移1个单位，则其上的点C也向右平移m个单位，再向上平移1个单位，而C（1，﹣），∴C′（1＋m，﹣），∵C′（1＋m，﹣）在直线AB上，∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x对称轴为x＝2，B（0，2），点B关于原抛物线对称轴的对称点为B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直线AB′为x＝4，点F在直线AB′上，∠ACF＝∠BAO，分两种情况：①F在A上方，如图：过A作AG⊥CF于G，过G作GH//x轴交直线x＝4于H，过C作CM⊥x轴交直线GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝GH，MG＝2AH，设G（m，n），则MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（28，0.9），又C，∴直线GC解析式为：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在A下方，延长AC交y轴于D，过C作CF//x轴交直线x＝4于F，∵A（4，0），C（1，﹣1.5），∴直线AC解析式为y＝x﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（0，2），∴B，D关于x轴对称，∴∠BAO＝∠DAO，若∠ACF＝∠BAO，则∠ACF＝∠DAO，∴CF//x轴，∴F综上所述，∠ACF＝∠DAO，F坐标为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16.【2021年浦东新区二模24】（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP∥x轴，求∠MCP的正弦值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据图象上点的坐标特征求得B（4，0），然后分两种情况讨论求得即可；（3）设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n），即可求得P（2，n），代入y＝x﹣2求得n＝﹣1，即可求得平移后的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．求得顶点坐标，然后解直角三角形即可求得结论．【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0），得0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴抛物线的表达式是y＝x2﹣2x．∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴它的顶点C的坐标是（1，﹣1）．（2）∵直线与x轴交于点B，∴点B的坐标是（4，0）．①将抛物线y＝x2﹣2x向右平移2个单位，使得点A与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣3）2﹣1．②将抛物线y＝x2﹣2x向右平移4个单位，使得点O与点B重合，此时平移后的抛物线表达式是y＝（x﹣5）2﹣1．（3）如图，设向下平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x+n，得点D（0，n）．∵DP∥x轴，∴点D、P关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴P（2，n）．∵点P在直线BC上，∴．∴平移后的抛物线表达式是：y＝x2﹣2x﹣1．∴新抛物线的顶点M的坐标是（1，﹣2）．∴MC∥OB，∴∠MCP＝∠OBC．在Rt△OBC中，，由题意得：OC＝2，，∴．即∠MCP的正弦值是．17．（2023·河北秦皇岛·统考一模）定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题：(1)写出函数的“旋转函数”；(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；(3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．【答案】(1)；(2)1；(3)见解析．【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的、、的值，从而得出函数解析式；（2）根据定义得出和的二元一次方程组，从而得出答案；（3）首先求出、、三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．【详解】（1）根据题意得，解得故解析式为：．（2）根据题意得∴∴．（3）根据题意得，，∴，，又且经过点，，的二次函数为∵∴两个函数互为“旋转函数”．【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．18．（2022春·吉林松原·九年级校考阶段练习）给定一个函数，如果函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做给定函数的不动点．(1)求一次函数的不动点坐标；(2)如图1，二次函数的两个不动点分别为P、Q（点P在点Q的左侧），将点P绕点Q逆时针旋转得到点R，求点R的坐标；(3)如图2，二次函数的两个不动点的坐标分别为，．①求a，b的值；②若C为一次函数的不动点，以线段为边向下作正方形，当D，E两点中只有一个点在二次函数的图象上时，直接写出m的值．【答案】(1)；(2)；(3)①；②或或【分析】（1）根据不动点的定义，令，得到，解方程即可；（2）先根据不动点的定义求出点P和点Q的坐标，再根据旋转得出轴，，作，求出即可；（3）①利用待定系数法求解；②先根据不动点的定义求出，再分C点在A点上方和C点在A点下方两种情况，求出点E和点D