2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 平面向量的概念及其线性运算（精练：基础+重难点）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第22练平面向量的概念及其线性运算（精练）

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.设。是正方形ABC。的中心，则（）

A.向量AO，BO,OC，0£）是相等的向量

B.向量,0，BO>OC，是平行的向量

C.向量AO，BO，OC>。方是模不全相等的向量

D.AO=OC，BO=OD

【答案】D

【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.

【详解】

对于A项，AO>80不共线，故A项错误；

对于B项，显然0402不平行，且0,42三点不共线，故B项错误；

对于C项，根据正方形的性质，可知A。，B0,OC,。。的长度相等，故C项错误;

对于D项，根据正方形的性质，A0,0C方向相同，20,02方向相同.

又A。，BO,OC,的长度相等，所以AO=OC,BO=OD,故D项正确.

故选：D.

2.设如图，在平行四边形ABC。中，下列结论正确的是（）

D________________C

A.AB=CDB.AB+DA=BD

C.AD+BC=0D.AB-AD=DB

【答案】D

【分析】由相等向量的定义即可得A2=-CD，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误,

D正确.

【详解】根据相等向量的概念可得A8=£）C=-8,即A错误；

由向量的三角形法则可得+==即B错误；

易知AO=BC，所以可得AO+gC=2AO,即C错误;

由向量的减法法则可得AB-AD=08，所以D正确；

故选：D

3.化简以下各式:①A2+2C+C4；®AB+AC-BD+CD-,®OA-OD+AD;®NQ+QP+MN-MP,结果为零

向量的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据平面向量的加法运算即可求解.

【详解】对于①，A8+8C+C4=Ad+C4=0,故①正确；

对于②，AB+AC-BD+CD=AB+AD+DB=AB+AB=2AB,^®^^;

对于③，OA-OD+AD=OD-OD=G，故③正确；

对于④,NQ+QP+MN-MP=NP+PM+MN=NM+MN=0,

故结果为零向量的个数是3.

故选:C.

4.如图所示，D、E、厂分别是J1BC的边AB、BC、C4的中点，则4尸_03=（）

【答案】D

【分析】利用平面向量的减法法则结合相等向量的定义可求得结果.

【详解】因为。、E、尸分别是ABC的边A3、BC、C4的中点，贝!JDb〃BC且。歹=；BC,

所以，DF=BE=EC,DB=AD，

因此，AF-DB=AF-AD=DF=BE=ECD.

5.在平行四边形A3CD中，|A8+A£>|=|AB-AD|,则必有（）

A.AD=0B.AO=0或AB=0

C.ABCD为矩形D.ABC。为正方形

【答案】C

【分析】根据零向量的概念分析判断A、B；根据向量线性运算可得|AC|=|DB|,即平行四边形ABCD的对角线相

等,则可判断选项C、D.

IUUIII|IULDI|LlUU1ULIUi

【详解】因为在ABCD中，显然,。卜0,卜8卜。，则故A、B错误;

ULIUUUIULILI1UUL1UUUIUL1UU

因为AB+ADuACAB—ADuDB,贝!J|AC|=|DB|,

即平行四边形A3CD的对角线长相等，故A3CD为矩形，故C正确；

lUUttli|UUU|

因为没有确定,4，,目是否相等，故无法确定ABC。是否为正方形，故D错误.

1i1

D.b-a-c

【答案】C

【分析】根据向量的加减法求解即可.

【详解】依题意，^BD=AD-AB^AC+CD-AB=b+c-a，

故选：C.

7.如图，在AOAB中，P为线段A8上的一点，且R4=4PA.若。尸=MM+yOB,则（

【答案】A

【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.

【详解】因为BA=4PA，所以有。4一。2=4（。4一0尸）,

31

整理可得OP=—OA+—

44

故选：A.

8.已知。是ABC的边5C上的点，且3C=33O,则向量AO=（）.

A.AB—ACB.—AB--AC

21

C.—AB+—ACD.AB+AC

【答案】C

【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案.

【详解】由题意作图如下：

1-1。1

AD=AB+BD^AB+-BC^AB+-（AC-AB]=-AB+-AC.

故选：C.

9.如图，在。1BC中，点D在8C的延长线上，怛&=3|。。，如果AO=xAB+yAC,那么（）

【答案】B

【分析】用向量的线性运算把向量AD分解成AD=xAB+jAC形式即可得答案.

3

【详解】VAD=AB+BD,BD=-BC,

:.AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB\=--AB+-AC

22、7229

故选：B.

10.在△。48中，P为线段A3上的一点，OP=xOA+yOB,且3P=2尸A，则（）

2112

A.=TB.^=-,y=—

3333

133j_

C.x=-,y=-D.x=-,y=

4444

【答案】A

【分析】根据向量的线性运算即可求解.

22

【详解】OP=OB+BP=OB+-BA=OB+-OA-OB\=-OA+-OB,

33>33

所以x=j2,y=11

故选:A

二、多选题

11.下列关于向量的命题正确的是（）

对任一非零向量a,6是一个单位向量

A.

B.对任意向量a,6，k一4上时一同恒成立

C.右a=b且c=b，则”=。

39

D.在一。中，。为边A3上一点，且AC:CB=3:2,则

【答案】ABC

【分析】根据向量的相关概念与线性运算逐项分析判断.

a=和=1，可得

【详解】对于A：由于〃是非零向量，则0同是一个单位向量，故A正确;

对于B：根据向量减法的运算法则可得:

rr

卜-口+恸（反向）或|a-Z?|=|«|-|^||(

当a,方共线时,0=a,6a，b同向）,

rrr

故卜-4上MT,；

当a,6不共线时，由三角形法则可得心-:|rr

rrrr

综上所述:H川-WMH,故B正确;

对于C：根据向量相等的定义可得a=c，故C正确;

uunuuruumuur3uimuur3U一Lmu一ur2u一r3U一lffl

对于D：S®ftnT#OC=OA+AC=OA+-AB=OA+-(OB-OA]=-OA+-OB,故D错误;

55

故选：ABC.

12.下列说法错误的为（

A.共线的两个单位向量相等

B.若a〃b，b//c>则a〃c

C.若AB〃CQ，则一定有直线AB〃CD

D.若向量AB，C£>共线，则点A,B,C,£）不一定在同一直线上

【答案】ABC

【分析】根据共线向量、单位向量的相关概念与性质判断各项的正误.

【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；

选项B：b=o,不一定有。〃e,故B错误；

选项C：直线A3与8可能重合，故C错误；

选项D：若向量AB,CO共线，则AB与8可能平行，此时A,B,C,D四点不共线，故D正确.

故选：ABC.

13.已知M为AABC的重心，。为边BC的中点，贝。（）

A.MB+MC=2MDB.MA+MB+MC=0

C.BM=-BA+-BDD.AB+AC=2(MB+MC^

33

【答案】ABC

【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.

【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得MB+MC=2MD,故A正确；

由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以M4=-2"D，

又MB+MC=2MD,所以AM+Affi+MC=O,故B正确；

BM=BA+-AD=BA+-（BD-BA^=-BA+-BD,故C正确；

AB+AC=2AD,MB+MC=2MD,又AD=3MD，所以A2+AC=3（M3+MC）,故D错误.

14.下列说法中正确的是（）

A.若同=0,则”=0

B.若。与b共线，贝!J。=6或。

C.若q,e2为单位向量，则

a

D.时是与非零向量a共线的单位向量

【答案】AD

【分析】根据向量相等与共线，逐一判断即可.

【详解】依题意，

对于A：若,|=。，则a=0，故A正确；

对于B：若a与b共线，贝！Ja=彳仇（力70）,故B错误；

对于C：若为单位向量，则同="|,方向不一定相同，故C错误；

a

对于D：时是与非零向量。共线的单位向量，故D正确.

故选：AD.

15.（多选）平面上点尸与不共线的三点A、B、C满足关系：PA+PB+PC=AB,则下列结论错误的是（）

A.尸在CA上，且。尸=2尸A

B.P在A8上，AP=2PB

C.P在上，且BP=2PC

D.尸点为,ABC的重心

【答案】BCD

【分析】利用向量的线性运算化简，即可得到结论.

【详解】由+=贝!=^PA+PC=AP,得CP=2PA，

则有CP//PA,所以P在CA上，A选项正确，BCD选项错误.

故选：BCD

三、填空题

16.给出以下5个条件：

®a=b;②卜卜忖；③0与6的方向相反；④忖=。或忖=0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a〃b成立的是

（填序号）.

【答案】①③④

【分析】根据向量共线的定义即可结合选项求解.

【详解】相等向量一定是共线向量，①能使a//b成立；

方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a//b成立；

M=0或恸=0可知.或方为零向量，零向量与任一向量平行，④能使“//成立

W=W，以及"与方都是单位向量只能得到a与万的模长相等，无法确定两个向量的方向，故得不到a/功，

故答案为：①③④

17.己知°,方为非零不共线向量，向量4a-Zb与-+B共线，则左=.

【答案】±2

【分析】依题意a,方可以作为平面内的一组基，则4a-妨=4（-ka+b）,根据平面向量基本定理得到方程组，解

得即可.

【详解】因为僮，b为非零不共线向量，所以a,b可以作为平面内的一组基底，

又向量4a-筋与一ka+b共线，所以4a-幼=川一版+b）,gp4a-kb=-kAa+Ab，

[4=-kA

所以,一解得左=±2.

故答案为：±2

.......一一一一.2-

e

18.设q,々是两个不共线的向量，关于向量a，b有①〃=2G,b=-2^；©a=ex-e2,b=-2e1+2%;③a=~~2；

b=G-历@a=ei+e2；b=2ex—2e2.其中〃，Z?共线的有.（填序号）

【答案】①②③

【分析】根据向量共线的条件对各选项逐一判断即可.

【详解】①〃=-b,共线；

②共线；

③°=48,共线；

④〃和。无法表示成a=助，所以不共线.

故答案为：①②③

31

19.在一ABC中，BE=2EC，S.AE=-AB+-AC,则几=________.

44

【答案】|

【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.

313311

【详解】AE=-AB+-AC:.-AE——AB=-AC——AE

44944449

3111

即一5E二—EC,:.BE=-EC,4=—.

4433

故答案为：J.

20.设a,b是两个不共线的向量，若向量妨+26与8』+归的方向相反，则上=.

【答案】-4

【分析】根据向量共线定理可得存在实数2使姐+26=彳（8d+财）=8而+左心，

从而得到关于左，4的方程组，进而可求出几

【详解】由题意可知履+26与M+归共线，

所以存在实数X使履+26=X(8。+kb^=8Aa+kAb,

[k.=8A2=一A——

因为a,万不共线，所以.-，解得2或2,

〔2=以[=4「4

因为向量@+2b与端+4।的方向相反，即L=_12.

k=-4

故答案为：-4.

21.在二ABC中，G是ABC的重心，AB=a,AC=b,则4G=.

1rr

【答案】—(a+b)

【分析】根据三角形重心的性质和向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.

【详解】如图所示，取BC的中点。，连接3。，可得A£>=；(A3+AC),

?

因为G是ABC的重心，根据三角形重心的性质，可得|AG|=JA£>|,

22111

由向量的运算法贝!I,aS^AG=-AD=-x-(AB+AC)=-(AB+AC)=-(a+b).

故答案为：—(a+b')

22.已知a与b是两个不共线的向量，AB=Aa+2b,AC=a+a-l)b,若A3,C三点共线，则实数彳=

【答案】2或T

【分析】根据向量共线运算求解.

【详解】因为。与6是两个不共线的向量,

若4B,C三点共线，贝!)AB=%AC，即必+2S=上田+("1)力卜疡+左(2一1)力,

A—k

可得2=k(f'解得2=左=2或人左=4

故答案为：2或T.

X

23.如图，在一中，尸为线段A3上的一点，OP=xa4+yOB,且BP=2PA，则]=

B

【答案】2

【分析】根据图形，利用平面向量的运算法则即可.

【详解】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由BP=2P4,

^OP-OB=2(OA-OP^,BPOP=|(9A+|OB,所以x=：,y=1.

X

所以一=2.

y

故答案为：2.

四、解答题

24.已知点0(0,0),4(2,1),8(4,3)及02=。4+9及

⑴若点尸在第一象限，求f的取值范围；

⑵四边形。能否成为平行四边形？若能，求出相应的"直；若不能，请说明理由.

【答案】⑴(T，+\l

⑵不能，理由见解析

【分析】(1)由平面向量的坐标运算，求出OP,利用点P在第一象限，列不等式求得r的取值范围；

(2)利用四边形是平行四边形时，只需要O尸=A8,列方程求出r的值，即可判断四边形。RP能否为平行

四边形.

【详解】(1)OP=OA+tOB=(2,1)+?(4,3)=(4f+2,3t+1),

⑷+2>01(1>

由题意得，解得：即f的取值范围为-于+8.

I3tI1>Vy31JJ

(2)若四边形OABP是平行四边形，只需要0P=A8,即0P=0A+/08=A2,

由(1)知，OP=(4/+2,3f+l),而AB=(2,2),

f4r+2=2

。,方程组无解，故四边形0Azm不能成为平行四边形.

(3,+1=2

25.已知向量〃，b不共线，AP=a-tbfBP=-a+2bfBQ=3a-2b.

⑴若£=-2,AP=xBP+yBQ,求x,y的值；

⑵若A,P,。三点共线，求实数/的值.

53

【答案】⑴x=

⑵t=l

【分析】（i）根据平面向量的基本定理列方程组来求得x，y的值.

（2）根据A尸,。三点共线列方程来求得r的值.

【详解】⑴当7=-2时，AP^a+b，

而xBP+yBQ=x^-a+2Z?)+y(3a-2Z?j=(-x+3y)Q+(2x—2y)Z?,

-x+3y=153

所以2x-2,=r解得x=L=z

(2)AP=a—tb9PQ=BQ—BP=3a—2b—^—a+2bj=4a—4b,

由于"Q三点共线，所以»解得心

26.如图所示，在J1BC中，D为BC边上一点,且BO=2OC，过。的直线所与直线A3相交于E点，与直线AC

相交于尸点（E,尸两点不重合）.

⑴用AS,AC表示A。;

⑵若AE=XA3，AF=/JAC,求24+〃的最小值.

12

（1）AD=-AB+-AC

⑵乌

3

【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；

（2）根据（1）的结论，转化用AE，AF表示AD，根据。、E、尸三点共线找出等量关系，再利用基本不等式

计算可得；

【详解】(1)因为BQ=2OC，所以AO-AB=2AC-2AO,

12

化简得AO=§A3+]AC；

,12

(2)因为AE=4A3,AF=JLLAC,AD=—AB+—AC,

所以+由图可知力＞0,

323〃

又因为£＞、E、尸三点共线，所以3+二=1,

4a4X、4c〃4A_8

所以2/1+〃=(24+//)•=—I-----1-----N—F2

3343〃3'343〃3

当小能即〃=2好时，22+〃取最小值|.

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.下列命题：①若忖=忖，则0=6;

②若a=b>b=c，贝!Jq=c;

③a=b的充要条件是|=忖且;

④若allb，bile>则allc;

⑤若A、B、C、。是不共线的四点，则AB=OC是四边形ABC。为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数

是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、必要条件

的定义可判断③⑤；取6=0可判断④.

【详解】对于①，因为忖=忖，但°、》的方向不确定，则.、〃不一定相等，①错；

对于②，若a=b,b=c9则〃=c，②对；

对于③，,卜忖且a///?oQ=b或a=-Z?,

所以，所以，“M=W且7/”是“a=b”的必要不充分条件，③错；

对于④，取6=0,贝!la、2不一定共线，④错；

对于⑤，若A、B、C、。是不共线的四点，

当A8=OC时，则AB//CD且|AB|=|DC],此时，四边形ABCD为平行四边形，

当四边形ABCD为平行四边形时，由相等向量的定义可知AB=OC,

所以，若A、B、C、。是不共线的四点，则48=DC是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.

故选：A.

2.在等腰梯形ABC。中，AB=2DC,瓦方分别为AD,3。的中点，G为跖的中点，则AG等于（）

33311313

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

84822448

【答案】B

【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.

【详解】因为在等腰梯形ABCD中，AB=2DC,瓦尸分别为的中点，G为E尸的中点，

所以可得：AG=AE+EG^-AD+-EF=-AD+-（AB+DC}=-AD+-AB.

,2224、'28

故选：B.

3.已知°,6为两个单位向量，则下列四个命题中正确的是（）

A.°-6=0B.如果a与6平行，那么a与6相等

C.\a-b\=0D.如果a与6平行，那么“=b或，工

【答案】D

【分析】根据单位向量的定义及向量相等，再利用向量的摸公式及向量平行的定义即可求解.

【详解】对于A,因为“，6为两个单位向量，当两个向量方向不相同时，两个向量不相等，所以故A

不正确；

对于B,如果“与6平行，则两个向量方向相同时，此时a与。相等，方向相反时，此时。与6不相等，故B不正

确；

对于C,\a-b\=J（a-b^2a+£=，2-2.cos（a,b）,由于不知道向量a与b的夹角，所以无法求出|a-6|

的值；故C不正确；

对于D,如果°与。平行，则两个向量方向相同或相反，那么°=6或；=工，故D正确.故选：D.

4.下列命题中正确的是（）

A.若。=>，则3a>26B.BC-BA-DC=AD

C.同+忖=卜+6|00与匕的方向相反D.若川由，则存在唯一实数％使得a=劝

【答案】B

【分析】由向量的定义，加减法则运算及共线条件进行判断即可.

【详解】对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；

对于B：根据向量的加法、减法运算法则，水:-朋-"'=4?-叱=47+8=陋.故8正确；

对于C：同+忖=,+可0。与6的方向相同，故C错误；

对于D：根据向量平行的判定定理，若a//b且6=0时，则存在唯一实数入使得a=2b.故D错误.

故选：B.

5.已知尸A=2pB+fPC,若A、B、C三点共线，则为（）

3\AC\

112

A.-B.-C.-D.2

【答案】A

【分析】先求得t的值，再去求网的值

\AC\

221

【详解】由=+若A、B、。三点共线，可得］+/=1,贝!|"耳

贝！|PZ=|pB+gpC,BA=PA-PB=1(PC-PB)=|BC,

AC=PC-PA=-(PC-PB)=-BC,贝!|1^!=1^L=L

3、'3\AC\\AC\2

故选：A

6.已知点。在ABC的内部，分别为边AC,BC的中点，且|。4一0c-2。@=2,则历。+50|=()

A.3B.1C.-D.2

22

【答案】B

【分析】利用向量的加减法的几何表示运算即可.

［详解］由题意得IOA-OC-2OB\=\OA+OC-2(OC+OB)|=|2OD-4OE|

=2\OD-OE-OE|=21ED+EO\=2,

所以|所+前|=1.

故选：B.

7.在，ABC中，2BD=BC，3BE=BA，且CE与A£)交于点P,若CP=xG4+yC3(x,yeR),则x+y=()

2347

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】B

【分析】根据平面向量共线定理得到AP=，CP=〃CE,利用6、C8分别表示出CP，再根据平面向量基本

定理得到方程组，解得4、〃，再代入计算可得.

【详解】依题意A、P、。三点共线，故AP=XAr>,

所以CP=C4+A尸=04+4AD=C4+4(CD-C4)

=CA+A|-CB-CA|=-CB+(l-/l)CA,

')2

C、P、E三点共线，故CP=〃CE,

贝！）C尸=4（CA+AE）=〃1cA+gA5[=4CA+g〃A5

01Q

=JLLCA+-/LL（CB-CA^=—]UCA+—JLICB,

1-fo4

—〃=1—AA,——

所以:，，解得:，

—〃=—〃=—

l32I5

.1

x=一

1?5~3

所以CP=£C4+£CB,又CP=xCA+yCB,所以,所以x+y=±.

55，5

8.已知点。是ABC的AC边上靠近点A的三等分点，点E是线段BQ上一点（不包括端点），若AE=xAB+yAC,

则；的最小值为（）

x3y

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据已知条件可推得》+3y=i,进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.

由题意得：AC=3AD>AE=xAB+yAC=xAB+3yAD.

因为8,E,。三点共线，所以x+3y=l,

所以，口+：]（x+3y）=型+2+222隹:+2=4,

当且仅当『=至，即工=[,y=。时取等号.

3yx26

故选：D.

9.设£＞、E、/分别是_ABC的三边BC、CA.AB上的点，且OC=2B£＞，CE=2EA，AF=2FB，则（）

A.人^+台石+仃与^^/反向平行B.AO+8E+C尸与8c同向平行

C.32E+3c户一3c与C4反向平行D.32E+3c户一3c与CA不共线

【答案】A

【分析】将A。、BE、CF用AB和AC表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.

【详解】因为DC=2BD，所以加=}c,

因为CE=2EA,所以AE=；AC,

—2

因为A尸=2尸B，所以Ab

AD=AB+BD=A3+~BC=AB+—(AC—AB)=—AB+—AC,

BE=AE-AB=^AC-AB9

2-

CF=AF-AC=-AB-AC9

2112ill1

所以AD+5E+C尸=-AB+-AC+-AC-AB+-AB-AC=-AB——AC=-CB=——BC,

33333333

所以AO+5石+C厂与5C反向平行，故A正确，B错误；

3BE+3CF-BC=^AC-AB)+3(^AB-AC)-BC

=-2AC-AB-BC=-2AC-AC=-3AC=3CA,

所以33E+3CF-8C与CA同向平行，故CD错误.

故选：A

10.已知ABC所在的平面上的动点p满足AP=k4AC+|A4A3,则直线就一定经过.ABC的()

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【答案】C

【分析】由题意可得4P=|A8||4C|($4C+&A8),平行四边形法则知亲AC+*A8表示的向量在三角形角A

的平分线上，从而即可得答案.

【详解】解：因为AP=|AB|AC+|AC|AB

AP=\AB\\AC\(-^—AC+-^—AB),

\AC\\AB\

..根据平行四边形法则知士AC+gAB表示的向量在三角形角A的平分线上，

IAC||

而向量"与募电+看钻共线，

P点的轨迹过.ABC的内心.

故选：C.

二、多选题

11.下列关于向量的叙述正确的是（）

A.向量AB的相反向量是BA

B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的

C.若A,B,C,。四点在同一条直线上，且=则A2=C£>

D.若向量a与〃满足关系°+6=0,贝！la与b共线

【答案】ABD

【分析】由相反向量、单位向量、共线向量的定义以及性质判断即可.

【详解】解：A向量A8的相反向量是BA，正确：

B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：

C.若A,B,C,D四点在同一条直线上，且AB=CD,则A3=C£>,不正确，因为AB与CO可能方向相反;

D.若向量“与匕满足关系°+》=0,°—6，则a与6共线，正确.

故选：ABD

12.下列有关四边形A8CO的形状判断正确的是（）

A.若AD=BC，则四边形ABC。为平行四边形

B.若=则四边形ABC。为梯形

C.若A8=DC，且|Aq=|A4,则四边形ABCO为菱形

D.若AB=DC，且泥J.胡，则四边形ABCD为正方形

【答案】ABC

【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论.

【详解】AD=BC,则A£>=3C且AD//8C,四边形ABCD是平行四边形，A正确；

AD=^BC,则且ADwBC,四边形ABCD是梯形，B正确；

若A8=DC，四边形ABCD是平行四边形，又网=|叫，即M=AD,则四边形ABCD为菱形，C正确;

若A5=DC，四边形ABCD是平行四边形，AC_LBD,即AC18D,则四边形ABCD为菱形，D错误.

故选：ABC.

13.如图，在边为1的正方形ABCD中，则（）

DR-----------71c

A'B

A.ABCD^iB.ABAC^l

c.|AC+BD|=2D.\AC+DC\=2

【答案】BC

【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质可判断AB选项；利用平面向量的加法、减法法则以及向量的模长

可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.

【详解】因为正方形ABCD的边长为1,

对于A选项，ABCD=-AB2=-1>A错；

对于B选项，AB-AC=AB-^AB+AD^=AB2+AB-AD=l,B对；

对于C选项，AC+BD^(AB+AD)+^AD-AB^=2AD,

所以，|AC+8U=|2A4=2,C对；

对于D选项，AC+DC=AB+AD+AB^2AB+AD,

所以，|AC+£>C[=|2AB+AD卜+=八庙+4AB.>1£)+而=，4+0+1=指,D错.

故选：BC.

14.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重

心到垂心的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知ABC的外心为重心为G,

垂心为H,/为8C的中点，且AB=5,AC=3,则下列结论正确的有()

A.。为线段G8的中点B.AGBC=~

C.AO•BC=-4D.Gff=j(OA+OB+OC)

【答案】BD

【分析】根据题意，由条件结合平面向量的数量积运算以及线性运算，对选项逐一判断即可得到结果.

【详解】由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，有OH=3OG,故A选项错误；

22(11)11

由G是三角形ABC的重心可得=+不AC=耳42+34。，

所以AG.BC=g(AB+AC>(AC_AB)=g(|AC|2-1AB|2)=|x(9-25)=-y,

故B项正确；

过三角形ABC的外心O分别作AB,AC的垂线，垂足为D,E,

如图，易知D,E分别是AB,AC的中点，

贝！IAOBC=AO(AC-AB)=AOAC-AOAB

=|AO||AC|cosZOAE-\AO\\AB\cosZOAD

121.211

=\AE\\AC\-\AD\\AB\=-AC——AB=-x9——x25=-8,

2222

故C项错误;

因为G是三角形ABC的重心,所以有GA+G8+GC=0,

^.OA+OB+OC=(OG+GA)+(OG+GB)+(OG+GC)=3OG+GA+GB+GC=3OG,

即OG=^(OA+OB+OC),

2

又GH=2OG,<GH=-{OA+OB+OC),故D项正确.

故选：BD.

三、填空题

15.下列关于向量的命题，序号正确的是.

①零向量平行于任意向量；

②对于非零向量。涉，若力/九则a=±b；

③对于非零向量6,若。=±6,则a//b;

④对于非零向量a,b,若allb，则a与6所在直线一定重合.

【答案】①③

【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.

【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；

对于非零向量若a〃b，则a和6是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，

故a不一定等于±6,故②错误；

对于非零向量6,若°=±。，贝（I〃与b是相等向量或相反向量，故a〃人故③正确；

对于非零向量a,6,若allb，贝必和6是平行向量，也是共线向量，但“与6所在直线不一定重合.

故选：①③

16.已知向量a、b不共线，^.c=xa+b,d=a+（2x-\）b,若c与d共线，则实数尤的值为

【答案】1或

【分析】利用向量共线的充要条件以及一元二次方程求解.

【详解】已知向量〃、Z?不共线，c=xa+b,d=a+（2x-l）b9所以cwO,dwO,

若。与d共线，则存在实数乙使c=td，即XQ+b=（«+（2x-l）Z?J,

x=t1

所以<Joiv即2%2_%一1=0,解得x=l或-不

l=t（2x-l）2

故答案为：1或-;.

17.已知°,方是平面内两个不共线的向量，AB-ma+2b>BC-3a+mb>若A,8,C三点共线，贝!|〃z=.

【答案】土瓜

【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求出AC的坐标，把A,B,C三点共线转化为Aa/bAB，

再根据向量相等可得答案.

【详解】由题意可得AC=A8+BC=（ma+2b^+3a+mb=（3+m）«+（2+m）Z?,

VA,B,C三点共线，：.AC=AAB>

（3+m）a+（2+m）〃=丸[机a+26]=丸根〃+2X0,

=5+m,

故.有.9zm=2+/解叫""，或"

1212

故答案为：土布.

AB

18.已知平面上不共线的四点0,A,B,C,若QA—4O5+3OC=0，贝！J

CA

3

【答案】7

4

【分析】由OA-4O2+3OC=0可得。4-OB=3OB-3OC，即可得答案

【详解】OA-4OB+3OC=0^>OA-OB=3OB-3OCnBA=3CB-

ABz

则4氏C三点共线，且C在BA的反向延长线上，如下图所示，则——=三

CA4

故答案,为：43

4

-------

CB

14

19.点P是线段A