贵州省2024届高三下学期4月高考适应性考试数学试题(含答案)

年高三年级适应性考试数学2024.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点是角终边上一点，则（）A． B．C． D．2．若集合，其中且，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．3．直线，的倾斜角分别为，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（）A． B．C． D．5．已知过点的动直线交抛物线于，两点（，不重合），为坐标原点，则（）A．一定是锐角 B．一定是直角C．一定是钝角 D．是锐角、直角或钝角都有可能6．2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕。某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A．18 B．36C．54 D．727．下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（）A． B．C． D．8．设方程的两根为，则（）A．， B．C． D．二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（）A．若事件和事件互斥，B．数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11C．若随机变量，，则D．已知关于的回归方程为，则样本点的残差的绝对值为2.210．已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则（）A． B．4是函数的一个周期C． D．在区间上至少有1012个零点11．如图，正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点在四边形内（包含边界）运动，为的中点，则（）A．当为的中点时，异面直线与所成角为B．当平面时，点的轨迹长度为C．当时，点到的距离可能为D．存在一个体积为的圆柱体可整体放入正四棱锥内第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，则，则实数______．13．设，分别为双曲线的左、右焦点，过与该双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为______．14．如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数满足，且，则的最大值为______．四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。15．（本题满分13分）已知在中，，（1）求；（2）若点是边上一点，，的面积为，求的最小值．16．（本小题满分15分）如图，正三棱柱中，，．设点为上的一点，过，作平面的垂面，（1）画出平面与正三棱柱表面的交线（保留作图痕迹，不需证明）；（2）若到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值．17．（本小题满分15分）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，直线的倾斜角为锐角．若点到直线与的距离为，求直线与直线的斜率之和．18．（本小题满分17分）已知函数．（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）已知，，（其中且成等比数列）是曲线上三个不同的点，判断直线与曲线在点处的切线能否平行？请说明理由．19．（本小题满分17分）甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为．甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第轮猜错，则他第轮也猜错的概率为．在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响．（1）若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；（2）若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度．试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数的信息熵．（3）如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止．设停止游戏时“星队”进行了轮游戏，求证：．2024年高三年级适应性考试参考答案与评分建议2024.4一、选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案CABABBDC二、多项选择题（每小题6分，共18分）题号91011答案BDABDACD三、填空题（每小题5分，共15分）12．2 13． 14．四、解答题（共5小题，共77分）15．解：（1）因为，所以，即，因为，所以，所以，．（2）因为，所以，因为的面积为，所以，所以上式当且仅当即，时取得“”号，所以的最小值是．16．（1）（2）如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则点的坐标为．设平面的法向量为，则，又因为，，所以，，令，则，所以又因为，所以到平面的距离，解得因为，与平面所成角等于与平面所成角，所以．17．解：（1）由题意知，得，由，得，化简得，所以，又因为椭圆过点，所以，所以，解得．所以，，即的方程为．（2）设直线的方程为，，由点到直线与的距离为，得，解得．联立，整理得．设，，则，，所以直线与直线的斜率的和为．18．解：（1）令，由题设知方程有两个实数根因为，所以0单调递减极小值单调递增当及时，，且，当时，且时．所以当时，与有两个不同的交点，即有两个不同的零点．（2）因为且成等比数列，设公比为，则，，直线的斜率，函数在点处的切线斜率，假设直线与函数在点处的切线平行，则，整理成，令，，则，所以在单调递增，所以，所以在时无实数解，所以直线与函数在点处的切线