刚体的静力学概念及静力分析-力矩与平面力偶系（建筑力学）

力对点之矩、合力矩定理力矩与平面力偶系【学习目标】1.掌握力矩的概念与计算；2.理解力偶的概念及其性质；3.掌握平面力偶系的平衡条件及其应用；4.熟练掌握合力矩定理及其应用。4.1力对点之矩、合力矩定理一、力对点之矩物体在力的作用下将产生运动效应。运动可分解为移动和转动。由经验可知，力使物体移动的效应取决于力的大小和方向。那么，力使物体转动的效应与哪些因素有关呢？4.1力对点之矩、合力矩定理如图4-1所示，用扳手拧紧螺母时，在扳手上作用一力F，使扳手和螺母一起绕螺丝中心O转动，就是力F使扳手产生转动效应。由经验知，加在扳手上的力F离螺母中心O愈远，拧紧螺母就愈省力；力F离螺母中心愈近，就愈费力。若施力方向与图示力F的方向相反，扳手将按相反的方向转动，就会使螺母松动。此外，如图4-2所示，用钉锤拔钉子，以及用撬杠撬动笨重物体，等等，都有类似的情形。4.1力对点之矩、合力矩定理这些例子说明，力F使物体绕任一点O转动的效应，如图4-3所示，决定于：（1）力F的大小以及力F相对于点O的转向；（2）点O到力F的作用线的垂直距离d

。4.1力对点之矩、合力矩定理在平面问题中，我们把乘积Fd加上适当的正负号，作为力F使物体绕点O转动效应的度量，并称为力F对点O的矩，简称力矩，用Mo(F)或MO表示，即

MO(F)=Fd

（4-1）点O称为矩心，力作用线到矩心的垂直距离d称为力臂。正负号通常用来区别力使物体矩心转动的方向，并规定：若力使物体绕矩心作逆时针方向转动，力矩取正号，如图4-3a所示;反之，取负号，如图4-3b所示。4.1力对点之矩、合力矩定理由此在平面问题中可得结论如下：力对点之矩是一代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负可按下法确定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。力矩的概念可以推广到普遍的情形。在具体应用时，对于矩心的选择无任何限制，作用于物体上的力可以对平面内任一点取矩。4.1力对点之矩、合力矩定理综上所述，得出如下力矩性质：（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之而异。（2）力F对任一点的矩，不因为F的作用点沿其作用线移动而改变，因为力和力臂的大小均未改变。（3）力的大小等于零或力的作用线通过矩心，即公式（3-1）中的F=0或者d=0,则力矩等于零。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。在国际单位制中，力矩的单位是牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。4.1力对点之矩、合力矩定理二、合力矩定理我们知道，平面汇交力系对物体的作用效果可以用它的合力FR来代替。那么，力系中各分力对平面内某点的矩与它们的合力FR对该点的矩有什么关系呢？现在来研究这一问题。

4.1力对点之矩、合力矩定理设在物体上A点作用有同一平面内的两个汇交力F1和F2，它们的合力为FR（图4-4）。在力的平面内任选一点O为矩心，并垂直于OA作y轴。令Fy1、Fy2和FRy分别表示力F1、F2、FR在y轴上的投影，由图4-4可以看出：Fy1=Ob1

；

Fy2=－Ob2

；FRy=Ob4.1力对点之矩、合力矩定理各力对O点的矩分别是Mo(F1)=Ob1·OA=

Fy1·OAMo(F2)=－Ob2·OA=Fy2·OAMo(FR)=Ob·OA=FRy·OA

将上面三式设为（a）式4.1力对点之矩、合力矩定理根据合力投影定理有

FRy

=Fy1+Fy2上式的两边同乘以OA得

FRy·OA=Fy1·OA+Fy2·OA

（b）将上面式（a）代入式（b）得

Mo（FR）=Mo（F1）+Mo（F2）

上式表明：汇交于一点的两个力对平面内某点力矩的代数和等于其合力对该点的矩。4.1力对点之矩、合力矩定理如果作用在平面内A点有几个汇交力，可以多次应用上述结论而得到平面汇交力系的合力矩定理，即：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。即：Mo(FR)=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)

(4-2)合力矩定理还适用于有合力的其它力系。4.1力对点之矩、合力矩定理例4-1

力F作用在平板上的A点，已知F=100kN，板的尺寸如图3-5所示。试计算力F对O点之矩。4.1力对点之矩、合力矩定理

解：由于力臂

OD不易计算，因此直接求力F对O点之矩比较麻烦。为计算方便，将力F分解为相互垂直的两分力Fx、Fy，分别计算它们对O点之矩，再应用合力矩定理，就可得到F对O点之矩。4.1力对点之矩、合力矩定理先将力F进行分解如图，求其分力

Fx=F·cos60=100×0.5=50kN

Fy=F·sin60=100×0.866=86.6kN分力Fx

至O点的力臂是2m；分力Fy至O点的力臂是2.5m。

4.1力对点之矩、合力矩定理因此力F对O点之矩

Mo（F）=Mo（Fx）+Mo（Fy）=50×2+86.6×2.5=316kN·m4.1力对点之矩、合力矩定理例4-2汇交力系如图4-6所示，已知F1=40N，F2=30N，F3=50N，杆长OA=0.5m。试计算力系的合力对O点的矩。4.1力对点之矩、合力矩定理解：本例求合力对O点的矩，可不必求此汇交力系的合力，可先求出各力对O点的矩，再根据合力矩定理即可求得到合力对O点的矩。4.1力对点之矩、合力矩定理Mo（F1）=F1d1=40×0.5×cos30=17.3N·mMo（F2）=－F2

d2=－30×0.5×sin30=－7.5N·mMo(F3)=F3

d3=50×0.5×sin75=24.2N·mMo(F4)=F4d4=0根据合力矩定理，有M(FR)=∑Mo(F)=（17.3－7.5+24.2）N·m=34N·m4.2力偶4.2力偶一、力偶与力偶矩在生产和生活实践中，经常见到某些物体同时受到大小相等、方向相反但不共线的两个平行力所组成力系的作用。例如，用两个手指拧动水龙头，汽车司机转动转向盘（图4-7a），钳工用丝锥攻螺纹（图4-7b）等。在力学中，把这样两个大小相等、方向相反的平行力F和F/

组成的力系叫力偶。以符号（F、F/）表示，两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面，两力作用线间的垂直距离称为力偶臂。4.2力偶实践经验得知，力偶对物体的作用效果，不仅取决于组成力偶的力的大小，而且取决于两平行力间的垂直距离d，d称为力偶臂（图4-8），因此，力偶的作用效应可用力和力偶臂两者的乘积Fd来度量。这个乘积叫力偶矩。计作M（F、F/），简写为M。4.2力偶由于力偶在平面内的转向不同，作用效果也不同。因此，力偶对物体的作用效果，由以下两个因素决定：（1）力偶矩的大小F·d；（2）力偶在作用平面内的转向。4.2力偶一般规定：使物体作逆时针转动的力偶矩为正；使物体作顺时针转动的力偶矩为负。所以，力偶矩是代数量。可写为

M=±Fd

（4-3）力偶矩的单位与力矩相同，在国际单位制中是牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。4.2力偶二、力偶的基本性质力偶不同于力，它有一些特殊的性质，下面分别加以说明。1.如图4-9所示，在力偶作用平面内任取一直角坐标系Oxy,将力偶向某一坐标轴（如x轴）投影。由于力偶中的力F与F/的大小相等、方向相反、作用线平行，如力F的投影ab为正，则力F/的投影a/b/必定为负，且ab=a/b/，因而这两个力在同一轴上的投影的代数和为零。由此可知：力偶在任一轴上的投影恒等于零。4.2力偶由此，得到力偶的性质1：力偶对刚体只产生转动效应，没有移动效应，力偶既不能用一个力来代替，也不能与一个力平衡，即力偶不能与一个力等效。4.2力偶在图4-9中，力偶（F、F/）的力偶矩M=F

d,如在力偶作用面内任取一点A为矩心，显然，力偶使刚体绕点A转动的效应就等于组成力偶的两个力对点A的转动效应之和，也就是说，力偶对点A之矩应等于两个力F与F/分别对点A之矩的代数和。设点A到力F/的垂直距离为l，则力F与F/分别对点A之矩的代数和为

F（d+l）－Fl=Fd=M所得结果仍然是原力偶矩M。

4.2力偶可见，不论点矩心A选在何处，所得结果都不会改变，由此得到力偶的性质2：力偶对其所在平面内任一点之矩恒等于力偶矩，与矩心的位置无关。这表明力偶对刚体的转动效应只决定于力偶矩（包括大小和转向），而与矩心的位置无关。4.2力偶上述两性质告诉我们：力偶对刚体只产生转动效应，而转动效应又只决定于力偶矩，与矩心位置无关。由此可得如下结论：在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩（包括大小和转向）相等，则此两力偶的效应相等。这就是平面力偶的等效条件。4.2力偶根据力偶的等效条件，又可得出如下推论：力偶可在其作用面内任意移动，而不会改变它对刚体的效应。如图4-7a所示，转方向盘上，力偶（F、F/）不论作用在什么位置，转向盘的转动效应完全一样。力偶移动后，虽然它在作用面内的位置改变了，但力偶矩的大小和转向却没有改变，所以对刚体的效应也没有改变。所以，只要保持力偶矩的大小与转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对刚体的效应。4.2力偶如图4-7b所示，工人利用丝锥攻螺纹时，施加在手柄上的力不论是作用在A、B处组成力偶（F1、F1/）还是作用在A/、B/处组成力偶（F2、F2/），只要两力偶的力偶矩相等（即F1d1=F2d2），且转向相同，对手柄的转动效应就完全一样。尽管工人施加在手柄上的力的位置不同（即力偶臂由d1改变为d2），但只要同时改变力的大小（即力由F1、F1/改变为F2、F2/），使力偶矩保持不变，那么，力偶对手柄的转动效应就不会改变。4.2力偶从以上两个推论可知，在研究与力偶有关的问题时，不必考虑力偶在平面内的作用位置，也不必考虑力偶中力的大小和力偶臂的长度，只需考虑力偶矩的大小和转向。所以常用带箭头的弧线表示力偶，箭头方向表示力偶的转向，弧线旁的字母M或者数字表示力偶矩的大小，如图4-10所示。4.3平面力偶系4.3平面力偶系一、平面力偶系的合成由作用在同一平面内的若干力偶所组成的力系，称为平面力偶系。由于力偶没有合力，其作用效应完全决定于力偶矩，所以平面力偶系合成的结果必然是一个力偶，并且其合力偶矩应等于各分力偶矩的代数和。4.3平面力偶系设有在同一平面内的三个力偶（F1、F1/）、（F2、F2/）、和（F3、F3/），力偶臂分别为d1、d2和d3（图4-11a），则各力偶矩分别为

M1=F1

d1

M2=F2d2

M3=－F3d34.3平面力偶系在力偶作用面内取任意线段AB=d，在保持力偶矩不改变的条件下将各力偶的臂都化为d，于是各力偶的力的大小应改变为4.3平面力偶系然后移转各力偶，使它们的臂都与AB重合，则原平面力偶系变换为作用在点A及B的两个共线力系（图4-11b）。再将这两个共线力系分别合成，则可得如图4-11c所示的两个力FR及FR/，其大小为FR=FP1+FP2

－FP3FR

/=FP1

/+FP2/

－FP3/4.3平面力偶系可见，力FR与FR/大小相等、方向相反、且不在同一直线上，它们构成一力偶（FR，FR/

），这就是三个已知力偶的合力偶，其力偶矩为

M=FR

d=（FP1+FP2

－FP3）d=F1d1+F2d2–F3d3所以

M=M1+M2+M34.3平面力偶系若作用在同一平面内有n个力偶，则上式可推广为

M=M1+M2+…+Mn=∑M

（4-4）由此可知，平面力偶系的合成结果还是一个力偶，该合力偶的合力偶矩等于力偶系中各分力偶的分力偶矩的代数和。4.3平面力偶系二、平面力偶系的平衡条件

既然平面力偶系可合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，力偶系中各力偶对物体的转动效应的总和为零，这时，物体处于平衡状态；反之，若物体在平面力偶系的作用下转动效应为零，即物体平衡，则该力偶系的力偶矩必定为零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各分力偶的分力偶矩的代数和等于零。用计算式表示为∑M=0（4-5）上式称为平面力偶系的平衡方程。利用平面力偶系的平衡方程，可以求解其中一个（力偶的）未知量。4.3平面力偶系例4-3

图4-12a所示的梁AB受一力偶的作用，力偶矩M=10kN·m，梁长l=4m，α=30梁自重不计。求支座的反力。

4.3平面力偶系解：取梁AB为研究对象，梁在力偶和A、B两处的支座反力作用下平衡。因为力偶只能用力偶来平衡，所以，A、B支座处的两个反力必定要组成一个力偶。B支座是可动铰支座，其支座反力FRB必垂直于支承面，所以，A支座的反力FRA一定与FRB等值、反向、平行，FRA与FRB构成一个力偶。图4-12b为梁AB的受力图。4.3平面力偶系由力偶系的平衡方程（3-5）式得∑M=0－M+FRB·l·cosα=0FRB=M／（l·cosα）=10／（4×0.866）=2.9kN且有FRA=FRB=2.9kN反力的实际指向与假设指向相同，如图4-12b所示。4.3平面力偶系例4-4

不计重量的水平杆AB，受到固定铰支座A和连杆DC的约束，如图4-13a所示。在杆AB的B端有一力偶作用，力偶矩的大小为M=100N·m。求固定铰支座A的反力FRA和连杆DC的反力FRDC。4.3平面力偶系解：以杆AB为研究对象。由于力偶必须由力偶来平衡，支座A与连杆DC的两个反力必定组成一个力偶来与力偶（F、F/）平衡。连杆DC的反力FRDC沿杆DC的轴线，固定铰支座A的反力FRA的作用线必定与FRDC平行、反向，即FRA=-FRDC，假设它们的指向如图4-13b所示；它们的作用线之间的垂直距离为

AE=ACsin30=0.5×0.5=0.25m4.3平面力