河南省郑州市高三下学期二模试题数学

2024年高中毕业年级第二次质量预测数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知全集，集合A满足，则A． B． C． D．2．数据6.0，7．4，8.0，8.4，8.6，8.7，8.9，9.1的第75百分位数为A．8.5 B．8.6 C．8.7 D．8.83．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则A．或36 B． C．36 D．184．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是A．2018 B．2020 C．2022 D．20245．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数（），则下列说法正确的是A．的一个周期为 B．的最大值为C．的图象关于点对称 D．在区间上有2个零点6．在某次测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5，0.6和，0.7，且三人的测试结果相互独立，测试结束后，在甲、乙，丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下，乙达到优秀等级的概率为A． B． C． D．7．在平面直角坐标系xOy中，设，，动点P满足，则的最大值为A． B． C． D．8．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足，且，则双曲线C的渐近线方程为A． B． C． D．二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，复数对应的点为A，复数对应的点为B，下列说法正确的是A． B．C．向量对应的复数是1 D．10．如图，在矩形中，，，点C，D，E与点，，分别是线段AB与的四等分点．若把矩形卷成以为母线的圆柱的侧面，使线段与重合，则以下说法正确的是A．直线与异面 B．AE∥平面C．直线与平面垂直 D．点到平面的距离为11．已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则A． B．为偶函数C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．抛物线的准线方程为，则实数a的值为．13．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则边，点D在线段AB上，且的最大值为．14．已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为．四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”．有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立．（Ⅰ）求前3局比赛甲都取胜的概率；（Ⅱ）用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望．16．（15分）已知函数（）．（Ⅰ）若是函数的极值点，求a的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．17．（15分）如图，在多面体DABCE中△ABC是等边三角形，，．（Ⅰ）求证：BC⊥AE；（Ⅱ）若二面角A—BC—E为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值．18．（17分）已知椭圆E：（）过点，且焦距为．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过点作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N．①证明：直线MN必过定点﹔②若弦AB，CD的斜率均存在，求△MNS面积的最大值．19．（17分）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个．（Ⅰ）写出所有4的1增数列；（Ⅱ）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；（Ⅲ）若存在100的k增数列，求k的最大值．

郑州市2024高三第二次质量预测数学（参考答案）一、单选题题号12345678答案BDCBDCCA二、多选题题号91011答案ADABDACD三、填写题12．13．，14．15．解：（1）前3局比赛甲都不下场说明前3局甲都获胜，故前3局甲都不下场的概率为．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3．其中，表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则；表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢；或第1局乙赢，且第2局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，则；表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，则；所以X的分布列为X0123P故X的数学期望为．16．解：（1）函教定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以．此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点．所以．（2）当时，，则函数的单调增区间为；当时，，因为，，则，令得；令得；函数的单调减区间为，单调增区间为．综上可知：当时，函数在上单调递增，无递减区间；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．17．证明：取BC中点O，连接AO，EO．∵△ABC是等边三角形，O为BC中点，∴AO⊥BC，又，∴EO⊥BC，∵，∴BC⊥平面AEO，又平面AEO，BC⊥AE．（2）连接DO，则DO⊥BC，由，得，，又，∴，∴DO⊥AO，又，∴DO⊥平面ABC．如图，以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，，∴，，设平面ACD的法向量为，则，即，取，则．∵∠AOE是二面角A—BC—E的平面角，∴，又，∴，，则，∴直线DE与平面ACD所成角的正弦值为．18．解：（1）依题意有，，解得，所以椭圆的方程为．（2）设：（），，，则：（），联立，故，，，故，由代替m，得，当，即时，：，过点．当，即时，，：（，），令，，∴直线MN恒过点．当，经验证直线MN过点．综上，直线MN恒过点．（3），令，，∵在上单调递减，∴，当且仅当，，时取等号．故△MNS面积的最大值为．19．解：（1）由题意得，则或，故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3．（2）当时，因为存在m的6增数列，所以数列的各项中必有不同的项，所以且．若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以．若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2，符合m的6增数列．所以，当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7．（3）若数列中的每一项都相等，则，若，所以数列中存在大于1的项，若首项，将拆分成个1后k变大，所以此时k不是最大值，所以．当，3，…，n时，若，交换，的顺序后k变为，所以此时k不是最大值，所以．若，所以，所以将改为，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大