数学高二-湖北省鄂州市2020-2021学年高二下学期期末数学试题（解析版）

高考高中资料无水印无广告word版不加密群186228141高考数学高中数学探究群562298495；新高考资料全科总群732599440鄂州市2020—2021学年度下学期期末质量监测高二数学★祝考试顺利★注意事项：1．满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.3．选择题在每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；主观题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内.答在试题卷上无效.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性解不等式，求得集合，根据并集的运算即可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以，所以.故选：D.2.设，其中，是实数，则A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【详解】由，得,其中，是实数，则.3.命题“，x3＋3x≥1”的否定是（）．A，x3＋3x＜1 B.，x3＋3x≥1C.，x3＋3x＜1 D.x3＋3x≤1【答案】A【解析】【分析】将“任意”改为“存在”，只否定结论.【详解】“，x3＋3x≥1”的否定是“，x3＋3x＜1”.故选：A.4.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知与同向，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值.【详解】因为，则，由已知可得，等式两边平方可得，则，故与同向，所以，.故选：A5.若随机变量服从正态分布，，则实数等于（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性计算．【详解】由题意，解得．故选：B．6.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.66 B.48 C.36 D.30【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意，四名学生有两名分在一个班有种，再分到三个不同的班有种，而甲、乙两名学生被分到同一个班的有种，所以满足条件的种数是．故选D．考点：分类计数原理7.如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆弧C1C，A1A(均不含端点)上，且C1，P，Q，C在球O上，则（）A.当点Q在弧A1A的三等分点处，球O的表面积为B.当点P在弧C1C的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C.球O的表面积的取值范围为(4π，8π)D.当点P在弧C1C的中点处，三棱锥C1—PQC的体积为定值【答案】D【解析】【分析】取中点，中点，中点，根据球的性质，容易知道球心O在线段EF上，设出OE的长度和∠FGQ，算出FQ的长度，利用OC1=OQ，即可判断A,B；作出过C1，P,Q三点的截面即可判断C；利用即可求出体积，进而判断D.【详解】如图1，取中点，中点，中点，由题意，球心在线段上，设，在中，由余项定理，设，则，∴，设外接球半径为R，∵，∴，∴，∴，∴球的表面积，C错误；当点Q在的三等分点处，，则，，∴∴球的表面积，A错误；对B，如图2，取中点，当在上时，连接AF，在平面ADD1A1上过点Q作AF的平行线，与线段，AD分别交于M,N，延长C1P与BC交于R，连接RN交AB于S，此时截面为，B错误；对D,当点P位于的中点处，三棱锥的体积为定值，D正确.故选：D.【点睛】本题涉及知识点较多，题目运算量大比较复杂，多面体外接球的球心的确定，一定要取多面体的特殊面，先确定其外心，然后过外心作截面的垂线，设出球心（垂线上）的位置，进而根据勾股定理求出外接球半径；如果棱锥的体积不好求得，我们可以用等底等高的棱锥进行转化.8.已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（）A.7 B.8 C.9 D.11【答案】C【解析】【分析】等价于，令，，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数.对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果.【详解】解：由题干条件可知：等价于，令，，则，，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.令，，则，当时，此题无解，所以，则，当，当，所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.若成立，只需，即，即，两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，令，本题即求的最大的正整数.恒成立，则在上单调递减，，，，所以的最大正整数为9.故选：C.【点睛】本题考查构造函数法解决恒成立问题.方法点睛：双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为，若，则复合恒成立的情况.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.是等差数列，公差为d，前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；又，所以，故C不正确；又因为等差数列是单调递减数列，且，所以，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式，及，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.10.随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（）A.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加B.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加C.2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D.2012年到2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为146.2%【答案】BD【解析】【分析】根据图中条形统计图和折线图的实际意义分析逐个判定即可.【详解】由2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图可知：对于A，2013年至2015年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加，而2015年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年减少，故A错误；对于B，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故B正确；对于C，2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2018年比2013年增长人数多，故C错误；对于D，2012年至2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为，故D正确．故选：BD．【点睛】本题考查统计图表的应用，考查学生的数据分析能力，属于基础题.11.在中，三边长分别为，，，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据不等式的性质，由三角形的性质，可判断A正确；利用基本不等式，可判断BC正确；由特殊值法，可判断D错.【详解】A选项，因为，，为三角形三边，所以，则，即，故A正确；B选项，根据三角形的性质可得，，则，当且仅当时，等号成立；因此，故B错；C选项，，当且仅当，即时，等号成立，此时不满足三角形性质，故，即C正确；D选项，若，则能构成三角形，且满足，但此时，即D错；故选：ABC.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：.则下列命题中正确的是（）A.，则B.C.D.若，使得同时成立，则正整数n的最大值是5【答案】CD【解析】【分析】根据“高斯函数”的定义逐个分析可得答案.【详解】对于A，当时，满足，但是，故A错误；对于B，设，，，，则，则，因为，所以，所以，所以，故B错误；对于C，设，，则，，，，，所以，当时，，，得，所以，当时，，，得，所以，综上所述：.故C正确；对于D，当时，得，得，当时，得，得，得，当时，得，得，得，当时，得，得，得，此不等式组无解，综上所述：符合题意的正整数n的最大值是5，故D正确.故选：CD【点睛】关键点点睛：理解并运用“高斯函数”的定义解题是解题关键.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）【答案】10【解析】【详解】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.14.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15.已知与的图象有且只有两个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】问题转化为有两个不同的实根，再利用参变分离法，把问题转变为，进而令，利用导数讨论的图像，进而利用数形结合可以求解【详解】由题意得，问题转化为①有两个不同的实根，又因为由函数与的图像可知，它们有一个交点，其横坐标满足，且当，即时，方程①无解，不满足题意，所以当时，方程①等价于，令，则，所以由，得，函数的单调递增区间为；由得或，即函数的单调递减区间为和，所以当时，函数取得极小值，又当从左到右无限趋近于时，，当从右到左无限趋近于时，，且当时，，由此可作出函数的大致图像，如图所示，则由图易知，当函数与函数有两个交点，即方程①有两个不同的实数根时，的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转变为，然后，令，最后利用导数讨论其图像，本题的难度比较大，考查学生的转化化归思想和数形结合的运用16.设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________.【答案】①.②.【解析】【分析】延长与的延长线交于点，计算得到轨迹方程，取点，，解得答案.【详解】如图所示：延长与的延长线交于点，则，故轨迹方程为.取点，则，，故，，当共线时等号成立.故答案为：；【点睛】本题考查了轨迹方程，长度最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点证明相似是解题的关键.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C．已知a，b，c成等比数列．（1）求角的取值范围；（2）若，求角的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由a，b，c成等比数列，可得，再利用余弦定理和基本不等式可得，结合余弦函数的性质可求得角的取值范围；（2）由已知可得，而，再由得，所以可得，从而可求出角的值【详解】解：（1）因为a，b，c成等比数列，所以，由余弦定理，得，所以，当且仅当时取等号，又因为B为的内角，所以，（2），又因为，所以由正弦定理有，.因为，所以，得，即，由知，不是最大边，所以.18.已知正项数列的前项和为，且满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可得数列是等差数列，即可求出通项公式；（2）由裂项相消法可求出.【详解】解：(1)由，又有，，两式相减得，因为，所以，又，，解得，满足，因此数列是等差数列，首项为，公差为，所以，(2)所以.19.如图，在多面体中，四边形，，均为正方形，点是的中点，点在上，且与平面所成角的正弦值为.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】【分析】分析：（1）根据条件可证得四边形是平行四边形，故，然后由线面平行的判定定理可得结论成立．（2）由题意易知两两垂直且相等，故建立空间直角坐标系，通过向量的运算来求二面角的大小．详解：（1）因为四边形，均为正方形，所以且，且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面，平面，所以．（2）由题意易知两两垂直且相等，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．

令，则．设，且,则，故，所以点H的坐标为，故．易得为平面的一个法向量．设与平面所成角为，则，解得或（舍去），所以点，所以，设平面的法向量为，由得令，则．设平面的法向量为，同理可得，故，由图形知二面角为锐角，所以二面角的大小为．20.已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.（1）证明：为定值；（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）其上顶点到直线的距离为2，求出，点代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点的直线方程为：，可得，.利用，可得，利用两点之间的距离公式可得；（2）由（1）得直线的方程为，与椭圆方程联立求出，由点到直线距离公式，求出到直线距离，求出四边形面积的关于的表达式，结合关系，由基本不等式求出最大值.【详解】（1）其上顶点到直线的距离为2，，解得.又椭圆过点，，解得.∴椭圆的标准方程为：.点在椭圆上，.设经过点的直线方程为：，可得，.，即.定值.（2）由（1）得直线斜率为，方程为，即，，联立解得，，点到直线的距离为，当且仅当，即时，等号成立，，四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积，利用基本不等式求最值，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算，属于较难题.21.函数.（1）若函数的图象在处的切线过，求的值；（2）在恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，根据题意，得到，推出，设，，对其求导，研究其单调性，求出最小值，即可得出结果；（2）先由题意，将在恒成立，转化为在恒成立，设，，对其求导，分，，三种情况讨论，研究其单调性，得到其大致范围，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，由于在处的切线过，所以，即，化简得，即，设，，则，由得；由得；从而在单调递增，再单调递减；因此，所以有唯一根；(2)由得，因为，所以，因此，在恒成立，即是在恒成立；设，，则，当时，，此时恒成立，所以单增，因此，满足题意；当时，显然恒成立，此时单增，所以，也满足题意；当时，由得，，所以方程必有两不等实根，不妨设为，由根与系数关系，，所以方程在有唯一根，即在有唯一根，所以易得：在单减，单增，则，与题意矛盾，不成立；综上，.【点睛】本题主要考查由函数的切线过某点求参数，以及由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.22.一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为.每个勘