1.5 全等三角形的判定（原卷版）

1.5全等三角形的判定1.掌握用SSS,SAS，ASA和AAS证明两个三角形全等的方法,并会用HL证明两个直角三角形全等.2.能根据所给条件灵活地选择三角形全等的判定方法,并能综合运用全等三角形的性质证明线段和角相等的问题3.通过画、量、观察、比较和猜想等过程,探索、归纳、证明两个三角形全等的条件,提高运用知识的能力知识点一三角形全等的基本事实:边边边边边边三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”提示：三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定.这也是三角形具有稳定性的原因2.书写格式在中，∴即学即练（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．（1）求证：△ABC≌△EDF．（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．知识点二三角形全等的基本事实:边角边1.基本事实两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”2.书写格式在中，∴注意：(1)应用此判定方法时,可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边和它们的夹角”,即“SAS”,不要错误地认为有两边、角就能判定两个三角形全等.特别注意“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件(2)在书写时也要按照“边一角一边”的顺序排列条件即学即练1（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，AB=AC，添加下列条件，不能使△ABE≌△ACD的是（A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC即学即练2（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，把两根钢条AA'，BBA．SSS B．SAS C．AAS D．ASA知识点三三角形全等的基本事实:角边角1基本事实两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角或“ASA”2.书写格式在中，∴即学即练1（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（

）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去知识点四三角形全等的推论:角角边1基本事实两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”2.书写格式在中，∴注意：(1)有两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等,一定要注意“对应”关系(2)有三个角对应相等的两个三角形不一定全等即学即练（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）已知，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥

(1)证：△ABC≌(2)若∠ACB=40°，∠D=80°，求∠B的度数．知识点五判定两个三角形全等常用的思路方法已知对应相等的元素可选择的判定方法需寻找的条件锐角三角形或钝角三角形两边(SS)SSS或SAS第三边对应相等或两边的夹角对应相等一边及其邻角(SA)SAS或ASA或AAS已知角的另一邻边对应相等或已知边的另一邻角对应相等或已知边的对角对应相等一边及其对角(SA)AAS另一角对应相等两角(AA)ASA或AAS两角的夹边对应相等或相等一角的对边对应相等即学即练（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ΔABC≅ΔADC

A．CB=CD B．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DAC D．∠B=∠D=90°知识点六常见全等三角形的基本图形平移型全等翻折型全等旋转型全等知识点七角的平分线的性质角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等书写格式提示:(1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段;(2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段.即学即练（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO:S

A．1:1:1 B．1:2:3 C．2:3:4 D．3:4:5知识点八角的平分线的判定角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线2.书写格式如图所示,即学即练（2020秋·浙江台州·八年级校考期中）如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（

）A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确知识点九线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质及判定性质判定图示内容线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上书写格式应用证明线段相等确定点在线段的垂直平分线上即学即练1（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，分别交AC，AB于点D，E．已知△BCE的周长为9，BC=4，则AB的长为．即学即练2（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D是△ABC边AC的中点，过点D作AC的垂线交BC于点E，已知AC=6，△ABC的周长为14，则△ABE的周长是（

）A．6 B．14 C．8 D．20题型一用SSS证明三角形全等例1（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC=DB，要使得△ABC≅△DCB，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是．举一反三1（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，AF=DC，EF=BC，AB=ED，证明△ABC≌△DEF．举一反三2（2022秋·浙江·八年级期中）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是求证：AD⊥BC（填空）．证明：在三角形△ABD和∵BD=已知∴≌（）．∴∠ADB＝（全等三角形的对应角相等）．∴∠ADB＝∴（垂直的意义）．题型二全等的性质和SSS综合例2（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF，说出∠B=∠C的理由．

解：∵CE=BF（

），∴CE+EF=BF+FE，即CF=BE．在△ABE和△DCF中，AB=__________(∴△ABE≌△DCF（

），∴∠B=∠C（

）举一反三1（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求证：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度数．举一反三2（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图所示，已知AB=DC，AE=DF，EC=BF，且B，F，E，C在同一条直线上(1)求证：AB(2)若BC=10，EF=7，求BE的长度题型三用SAS直接证明三角形全等例3（2022秋·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）如图把两根钢条AA',B

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS举一反三1（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）为了测出池塘两端A，B的距离，小红在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D分别都在一条直线上，小红认为只要量出D，C的距离，就能知道AB，小红是根据△OAB≌△OCD来判断AB=DC的，那么判定这两个三角形全等用到的基本事实或定理是（A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS举一反三2（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，已知AB=AC，AD=AE，则∠B=∠C，请说明理由（填空）解：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC∴△ABE≌△ACD（

）∴∠B=∠C（

）题型四用SAS间接证明三角形全等例4（2022秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，BE=CF，∠B=∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．举一反三1（2022秋·浙江·八年级期中）已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求证：AB=DE．举一反三2（2019秋·浙江杭州·八年级期末）如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，则△ABC≌△ADE，请将下列说理过程补充完整．解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=______+______．即∠BAC=______．在△ABC和△ADE中，AB=______∴△ABC≌△ADE题型五全等的性质和SAS综合例5（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD至点E使得AD=DE，连接CE．(1)求证：△ABD≌△ECD；(2)求证：AB∥CE．举一反三1（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3=（

）A．60° B．55° C．50° D．无法计算举一反三2（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市青春中学校考期中）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连CF．

(1)求证：CF∥(2)若∠ABC=50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．题型六用ASA(AAS)证明三角形全等例6（2022秋·浙江嘉兴·八年级平湖市林埭中学校联考期中）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，

(1)求证：ΔABF≅(2)若∠AOE=80°，求∠OEF的度数．举一反三1（2001春·浙江杭州·七年级校考期末）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（

）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去举一反三2（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠1=∠2，∠题型七全等的性质和ASA(AAS)综合例7（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．举一反三1（2023春·浙江·八年级开学考试）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)若AE=13，AF=7，试求DE的长．举一反三2（2020·浙江金华·九年级期末）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，连接AC,BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）．A．4 B．3 C．2 D．1题型八添加条件使三角形全等例8（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD举一反三1（2023秋·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（

）A．∠ABC=∠DCB B．AB=DCC．AC=DB D．∠A=∠D举一反三2（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（

）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD题型九灵活选用判定方法证全等例9（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ΔABC，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（

A．AB,BC,CA B．AB,BC,∠B C．AB,AC,∠B D．∠A,∠B,BC举一反三1（2022秋·浙江舟山·八年级统考期末）根据下列已知条件，能画出唯一的ΔABC的是（

A．∠C=90°，AB=6 B．AB=4，BC=3，∠A=30°C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．AB=3，BC=4，CA=8举一反三2（2020春·浙江杭州·八年级期中）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙题型十倍长中线模型例10（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）AD是△ABC的中线，AB=5,AC=7，则AD的取值可能是（

）A．3 B．6 C．8 D．12举一反三1（2022秋·青海西宁·八年级统考期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．ASA(2)AD的取值范围是（

）．A．6<AD<8

B．12<AD<16

C．1<AD<7

D．2<AD<14(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．举一反三2（2019秋·浙江台州·八年级统考期末）已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为边AB的中点，AE⊥CD分别交CD，BC于点F，E（1）如图1，①若AB=AC，请直接写出∠EAC-∠BCD=______；②连接DE，若AE=2DE，求证：∠DEB=∠AEC；（2）如图2，连接FB，若FB=AC，试探究线段CF和DF之间的数量关系，并说明理由．题型十一旋转模型(全等三角形)例11（2023春·江西抚州·八年级统考期末）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.举一反三1（2022春·广东广州·八年级广州大学附属中学校考期末）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．(2)如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由．(3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F．且AE⊥AD，DF=403-1米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路举一反三2（2022秋·陕西延安·八年级统考期末）【问题提出】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.【问题探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立题型十二垂线模型（全等三角形）例12（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）举一反三1（2021春·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，连接AE，过E作AE的垂线交∠BCD的外角平分线于F．(1)求证：AE=(2)如图若E在BC的延长线上，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立说明理由．举一反三2（2022秋·河南商丘·八年级统考期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则AGCG=题型十三证一条线段等于两条线段和(差)例13（2022秋·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分线，且交于点P．(1)直接写出∠DPE=___________°；

(2)求证：PD=PE；(3)探究AB、举一反三1（2020秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）已知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点(1)如图，若△ABC为锐角三角形，∠ABC=45°．求证：①△BDF≌△ADC，②(2)如图，当∠ABC为135°时，写出FG，DC，AD之间的等量关系，说明相应理由．举一反三2（2020秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论①AE=12AB+AD；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④SA．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型十四全等三角形综合问题例14（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，下面给出四个论断：①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到的命题中，真命题有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个举一反三1（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠CMB．其中正确的个数为（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③举一反三2（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）【初步探索】

(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】(3)如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．题型十五角平分线的性质定理例15（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°∠B=30°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点P，连结AP并延长，交BC于点D．有下列说法：①线段AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=∠BAC；③点D到AB边的距离与DC的长相等；④△DAC与△ABC的面积之比是1:4．其中结论正确的是（A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④举一反三1（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，AD是∠BAC的角平分线，E是AB的中点，△ABC的面积为21，AC=6，AB=8，则△BED的面积为（

）A．214 B．5 C．6 D．举一反三2（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图∠B=∠C=90°，E为BC上一点，AE平分∠BAD，DE平分∠CDA．(1)求∠AED的度数；(2)求证：E是BC的中点．题型十六角平分线的判定定理例16（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．连接DC、BE交于F点．(1)求证：△DAC≌△BAE；(2)直线DC、BE是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF平分∠DFE．举一反三1（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC，∠BAC=70°，∠ABC=46°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为．举一反三2（2021秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：△ABD≌△ACF；（2）若BD平分∠ABC，求证：CE=12BD（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．

题型十七角平分线性质的实际应用例17（2022秋·浙江·八年级期中）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点举一反三1（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（）A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm举一反三2（2020秋·浙江绍兴·八年级校考阶段练习）如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30、40、15，点P是三条角平分线的交点，将△ABC分成三个三角形，则SΔAPB︰SΔBPC︰SΔCPA

题型十八线段垂直平分线的性质例18（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4，△ABD的周长为14，则△ABC的周长为．举一反三1（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为（

）

A．13 B．18 C．10.5 D．21举一反三2（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AC=7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是13cm，则BC的长为（

A．5cm B．6cm C．7cm题型十九线段垂直平分线的判定例19（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形ABCD），测量得：AD＝CD＝50cm，AB＝BC＝78cm，AC＝60cm，举一反三1（2021秋·浙江杭州·八年级校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AD=AC，点E为BC上一点，连接AE，2∠BAE=∠CAD，连接DE．若BE=a，CE=b，则DE=（用含a、b的代数式表示）．举一反三2（2020秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中成立的有(填写正确的序号)．①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．题型二十线段垂直平分线的实际应用例20（2022秋·浙江温州·八年级统考期末）如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D．连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4举一反三1（2022秋·浙江·八年级阶段练习）如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB内部修建一座物资