18.1.1 平行四边形的性质 （第1课时） 课件 2023-2024学年人教版八年级数学

）平行四边形（第1课时定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．ABCD平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

性质：∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC．新知ABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD

的四组邻边．

对边邻边有公共顶点的边没有公共顶点的边边

_____________________是▱ABCD

的两组对边．平行四边形的基本元素：AB

和AD，AD

和CD，CD

和BC，BC

和ABAB

和CD，AD

和BCABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD

的四组邻角．对角邻角有公共边的角没有公共边的角角

______________________是▱ABCD

的两组对角．平行四边形的基本元素：∠B和∠A，∠A和∠D，∠D和∠C，∠C和∠B∠B

和∠D，∠A和∠C问题由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？ABCD探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ABCD

AB＝CD，AD＝BC；

65°115°65°115°∠B＝∠D，∠A＝∠C．

探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？

猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．

思考：你能证明这些猜想吗？ABCD思考不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？∴AD∥BC，AB∥CD．

证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．ABCD∴∠B＝∠D．同理可证明∠A＝∠C．

符号语言：

∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．ABCD平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．新知

例1

如图，在▱ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD

的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（1）∵四边形ABCD

是平行四边形，∠B＝40°，∴∠D＝∠B＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A＝∠C＝180°－40°＝140°．ABCD

例1

如图，在▱ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD

的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（2）∵四边形ABCD

是平行四边形，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AB＝CD，∵▱ABCD

的周长为24，∴BC＋AD＋AB＋CD＝24．∴2AB＝2CD＝24－8×2＝8．∴AB＝CD＝4．ABCD总结在平行四边形中，可“知一求三”

在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用平行四边形的性质，可以求出其余三个内角的大小．

例2

如图，在▱ABCD

中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证AE＝CF．ABCDEF

解：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB

＝90°．∴△AED≌△CFB

（AAS）．∴AE＝CF．

DE＝BF吗？相等，理由如下：如图，直线a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，AB和CD相等吗？为什么？问题∵AB∥CD，AC∥BD，∴AB＝CD（平行四边形的性质）．∴四边形ABDC

是平行四边形（平行四边形的定义）．ACBDabcd两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．

∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得AB＝CD．如图，如果直线a∥b，c⊥b，d⊥b，那么AB和CD相等吗？思考

∴c∥d，即AB∥CD．∵c⊥b，d⊥b，∵AC∥BD，ACBDabcd如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．如图，a∥b，A

是a

上的任意一点，AB⊥b，B

是垂足，线段AB

的长就是a，b

之间的距离．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等．BAba新知点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离．两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？思考任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度．G

例3

如图，直线a∥b，点A，E，F

在直线a

上，点B，C，D

在直线b

上，BC＝EF．求证S△ABC＝S△DEF．ADabBCEF证明：如图，作AG⊥b，DH⊥a，垂足分别为点G，H．则S△ABC＝

BC·AG，S△DEF＝

EF·DH．

∵a∥b，AG⊥b，DH⊥a，∴AG＝DH．

又∵BC＝EF，∴S△ABC＝S△DEF

．H⁠(预习教材P43－P44，完成以下练习)

平行四边形的对边⁠

⁠且⁠

⁠，对角⁠

⁠.那平行四边形的对角线又有什么性质呢？如图，猜想：OA⁠

⁠OC，OB⁠

⁠OD.平行四边形的对角线⁠

⁠.几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴⁠

⁠.平行

相等

相等

＝

＝

互相平分OA＝OC，OB＝OD

知识点1

利用平行四边形对角线的性质进行计算【例1】(人教八下P44例2改编)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求AC，BD的长以及▱ABCD的面积.解：在▱ABCD中，AD＝BC＝8，OA＝OC，BO＝DO.∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，∴在Rt△ABC中，

∴在Rt△OCB中，

S▱ABCD＝AC×BC＝48.【变式1】(人教八下P44T1改编)如图，在▱ABCD中.(1)若BC＝10，AC＝8，BD＝14，则△AOD的周长是⁠

⁠，△DBC的周长比△ABC的周长长⁠

⁠.(2)若∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，则OA＝⁠

⁠，▱ABCD的面积是⁠

⁠.21

6

6

60

知识点2

利用平行四边形对角线的性质进行证明【例2】(人教八下P44T2改编)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F.求证：OE＝OF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO(ASA).∴OE＝OF.【变式2】(人教八下P47T2改编)如图，▱ABCD

的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF.求证：BE＝DF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△DOF和△BOE中，

∴△DOF≌△BOE(SAS).∴BE＝DF.课堂总结：平行四边形面积的求解方法方法一：⁠

⁠S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF方法二：⁠

⁠S▱ABCD＝4S△OAB＝4S△OBC＝4S△OCD＝4S△OAD方法三：⁠

⁠S▱ABCD＝2S△BAC＝2S△BEC1.▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论不一定正确的是(

C

)A.AD＝BCB.OA＝OCC.OA＝ODD.∠ABC＝∠ADCC2.(人教八下P49习题T3改编)▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＋BD＝36，AB＝12.则△OCD的周长为⁠

⁠.30

3.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接EF，交AC于点O.求证：OE＝OF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.在△AEO和△CFO中，

∴△AEO≌△CFO(AAS).∴OE＝OF.4.(2023·惠州期中)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.求证：AE＝CF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵DE＝BF，∴OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE.在△AOE