方向导数与梯度

关于方向导数与梯度一、方向导数的定义

讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．第2页,共34页，2024年2月25日，星期天当沿着趋于时，是否存在？第3页,共34页，2024年2月25日，星期天记为方向导数的几何意义第4页,共34页，2024年2月25日，星期天过直线作平行于z

轴的平面与曲面z=f(x,y)所交的曲线记为C

表示C的割线向量即即割线转化为切线第5页,共34页，2024年2月25日，星期天上式极限存在就意味着当点趋于点曲线C在点P0

有唯一的切线它关于方向的斜率就是方向导数LCM0TP0PMl第6页,共34页，2024年2月25日，星期天证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到第7页,共34页，2024年2月25日，星期天故有方向导数第8页,共34页，2024年2月25日，星期天解第9页,共34页，2024年2月25日，星期天解由方向导数的计算公式知故第10页,共34页，2024年2月25日，星期天推广可得三元函数方向导数的定义第11页,共34页，2024年2月25日，星期天解令故方向余弦为第12页,共34页，2024年2月25日，星期天故第13页,共34页，2024年2月25日，星期天二、梯度的概念第14页,共34页，2024年2月25日，星期天第15页,共34页，2024年2月25日，星期天在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图梯度为等高线上的法向量等高线第16页,共34页，2024年2月25日，星期天等高线的画法第17页,共34页，2024年2月25日，星期天例如,第18页,共34页，2024年2月25日，星期天等高线图举例这是利用数学软件Mathematica绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图第19页,共34页，2024年2月25日，星期天梯度与等高线的关系：第20页,共34页，2024年2月25日，星期天此时f(x,y)沿该法线方向的方向导数为

故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。第21页,共34页，2024年2月25日，星期天梯度的概念可以推广到三元函数

类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.第22页,共34页，2024年2月25日，星期天第23页,共34页，2024年2月25日，星期天解由梯度计算公式得故第24页,共34页，2024年2月25日，星期天例5求函数沿曲线在点处的内法线方向的方向导数解一用方向导数计算公式即要求出从x

轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角在两边对x

求导第25页,共34页，2024年2月25日，星期天解得（切线斜率）故法线斜率为内法线方向的方向余弦为而由得第26页,共34页，2024年2月25日，星期天解二用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向从等高线的角度来看，f(x,y)在点P

的梯度第27页,共34页，2024年2月25日，星期天方向与过点P

的等高线f(x,y)=C在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线等高线为f(x,y)=C即椭圆大于椭圆因此在点处的内法线恰好是梯度方向第28页,共34页，2024年2月25日，星期天故方向导数存在偏导数存在•可微第29页,共34页，2024年2月25日，星期天三、小结1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）3、方向导数与梯度的关系思考题第30页,共34页，2024年2月25日，星期天思考题解答第31页,共34页，2024年2月25日，星