109陕西省西安交大附中2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2023-2024学年陕西省西安交大附中九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）1.下面四个数中比小的数是（）A.1 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了有理数的大小比较．熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．由题意知，，然后判断作答即可．【详解】解：由题意知，，∴比小，故选：D．2.校微是一所学校的外在形象标志，象征性诠释了学校的特有的历史、理念和追求，是学校文化的一个重要组成部分．下列四幅图案是四所学校校微的主体标识，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案．【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、能找到这样一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3.甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解，解题的关键是正确理解方差的意义．【详解】∵，，，，∴，∴成绩最稳定的同学是丙，故选：．4.港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，于年月日上午时通车运营，桥隧全长米，将用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式（n为整数）即可求解【详解】∵，∴用科学记数法表示为：故选：C【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解决问题的关键5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：在中，由得：，由得：，则不等式组的解集为．故选：A．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6.要使分式有意义，则的取值应满足（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，x-2≠0，解得x≠2．故选：A．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于0，分式无意义，分母等于0．7.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算．根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，合并同类项法则，逐一计算后，判断即可．掌握相关运算法则，是解题的关键．【详解】解：A、，选项错误；B、，选项错误；C、，选项正确；D、，选项错误；故选C．8.如图，直线、交于点平分，若，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是邻补角的概念、角平分线的定义．根据邻补角的概念求出，根据角平分线的定义求出，再根据邻补角的概念计算，得到答案．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，故选：D．9.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据增长率问题进行求解．【详解】解：由题意可列方程为；故选C．10.一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A.cm B.cm C.3cm D.cm【答案】A【解析】【详解】试题分析：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：r=cm．故选A．考点：弧长计算．11.杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（）A.在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大；B.未挂重物时，之间的距离l为；C.当之间的距离l为时，重物质量m为；D.在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加．【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的图象．数形结合，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，进而可判断A的正误；未挂重物时，之间的距离l为，进而可判断B的正误；当之间的距离l为时，重物质量m为，进而可判断C的正误；在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，进而可判断D的正误．【详解】解：由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，A正确，故不符合要求；未挂重物时，之间的距离l为，B正确，故不符合要求；当之间的距离l为时，重物质量m为，C错误，故符合要求；在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，D正确，故不符合要求；故选：C．12.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点D，且，，反比例函数的图像经过点E，若，，则k的值是（）A.6 B. C.12 D.18【答案】D【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，k的计算，求得点E的坐标是解题的关键．【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形矩形，，，∴，∴，∴四边形是菱形；连接，交于F，如图所示：∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，∵，，∴，点E到原点的距离为，∴点E坐标为：．∵反比例函数的图像经过点E，∴，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）13.计算：____．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的相关知识．【详解】解：，故答案为：．14.分解因式：x2－9＝______．【答案】(x＋3)(x－3)【解析】【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），故答案为：（x+3）（x-3）.15.如图，已知，若，，则__．【答案】【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得到，再代入计算即可．【详解】，，即，∴，故答案是：．【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是运用其定理得到．16.已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则第三边c的取值范围是__________．【答案】5＜c＜13【解析】【详解】试题分析：根据题意可得：a－9=0，b－4=0，则a=9，b=4，∴5＜c＜13.考点：非负数的性质、三角形三边关系.17.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，该船航行的距离为km（即AB的长）．【答案】【解析】【详解】试题分析：过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，则AB=AD=km．解：如图，过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=OA=2km.在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB−∠AOB=75°−30°=45°∴BD=AD=2km，∴AB=AD=km.即该船航行的距离(即AB的长)为km.18.如图，，点M，N分别是射线上的动点，点P为内一点，且，则的周长的最小值为___________．【答案】5【解析】【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，根据当点M、N在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答．【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．∵点P关于的对称点为C，∴．∵点P关于的对称点为D，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值．故答案为：5．【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方和绝对值，再算除法，最后算加减即可．【详解】原式．20.解分式方程：．【答案】【解析】【分析】本题考查分式方程解法．正确运用解法，先转化成整式方程，再解，切记要检验．先把方程两边乘，去分母得一整式方程解出即可．【详解】经检验是分式方程的解,∴原分式方程的解为．21.如图，在中，．（1）请用尺规作图法，作边的垂直平分线，交边于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）连接，求证：．【答案】（1）见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及尺规作图，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，熟知线段垂直平分线的尺规作图方法和性质是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到，则，再由三角形外角的性质得到，则，由此即可证明．【小问1详解】解：如图，即为所求，【小问2详解】证明：如图所示，连接，垂直平分，，，，，，．22.为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩（个/分钟）绘制成频数分布直方图．（1）若抽取的同学的测试成绩落在这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是______，众数是______；（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有______人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为______度；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．【答案】（1）162；162（2）175；108（3）【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率分布直方图、扇形统计图、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、中位数和众数的定义是解答本题的关键．（1）根据中位数和众数的定义可得答案．（2）先用选择项目的男生人数除以扇形统计图中的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中的百分比可得选择项目的男生人数；用乘以扇形统计图中得百分比即可．（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．【小问1详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，该组数据的中位数是．该组数据中出现次数最多的为162，该组数据的众数为162．故答案为：162；162．【小问2详解】全校的男生人数为（人，选择项目的男生共有（人．扇形统计图中项目所占圆的圆心角为．故答案为：175；108．【小问3详解】画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，甲和乙同学同时被选中的概率为．23.根据以下素材，探索完成任务．如何确定拍照打卡板素材一设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到的距离为1.2米，米，米．素材二因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．问题解决任务一推理最大高度小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．任务二探究等腰三角形面积假设长度为x米，等腰三角形的面积为S．求S关于x的函数表达式．任务三确定拍照打卡板小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值」【答案】任务一：对，理由见解析；任务二：；任务三：长度的最大值为米．【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、一次函数的实际运用、不等式的实际运用；任务一，作于点，证明，根据全等三角形的性质即可解题；任务二，利用三角形面积公式，即可建立S关于x的函数表达式；任务三，利用总费用为三角形所需费用加上矩形所需费用，根据总费用不超过180元，建立不等式求解，即可解题．【详解】任务一：解：他的说法对，理由如下：作于点，，四边形是长方形，，，在与中，，．最高点B到地面的距离就是线段长．任务二：解：该打卡板是轴对称图形，四边形是长方形，且点A到的距离为1.2米，米，，等腰三角形的面积为（平方米），．任务三：解：米，米．长方形的面积为（平方米），甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．又甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形，，解得，长度的最大值为米．24.某街心公园设置灌两喷检为绿色观叶相物进行浇水，喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，喷头上下移动时，抛物线型水流随之竖直上下平移．小明先是固定灌溉喷枪，并量出喷枪的现有高度为，以地面为x轴，喷水口所在竖直方向为y轴建立直角坐标系，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平距离为xm，距地面的高度为ym，y与x的部分对应数值汇总如表．x…1235…y…1.87521.8750.875…（1）直接写出这股水流的路径所在抛物线的解析式，在图1中画出该函数在网格中的图象；（2）如果将灌溉喷枪提高．请求出此时灌溉喷枪最大射程；（3）如图2，在地面上距离喷水杆处有一段斜坡长，坡角为，若要使喷出的水正好落在斜坡以内，那么P处的喷水口的高度的最大值是多少？【答案】（1）这股水流的路径所在抛物线的解析式为；画出函数图象见解析；（2）此时灌溉喷枪最大射程为；（3）P处的喷水口的高度的最大值为．【解析】【分析】（1）由表格中的数据可得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为，故设抛物线的解析式为，再把点代入求解，得到抛物线解析式，根据解析式画出图象即可；（2）先由题意得竖直向上平移后的抛物线为，把代入解析式，求得的值即为最大射程；（3）作轴于点A，利用解直角三角形得到，推出点N的坐标，设现在的抛物线解析式为：，将点N的坐标代入介绍求出值，即可解题．【小问1详解】解：根据题意得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为，与y轴的交点为；因此可设抛物线的解析式为：，把代入，得，解得：，这股水流的路径所在抛物线的解析式为：；画出函数图象如图1所示．【小问2详解】解：根据将灌溉喷枪提高，此时抛物线的解析式为：．令，得：，解得：或（舍去）；此时灌溉喷枪最大射程为．【小问3详解】解：作轴于点A，如图2所示，则，，，（）；，，则点N的坐标为；根据题意，可设现在抛物线解析式为：，因为点N在抛物线上，所以，解得：，因此，P处的喷水口的高度的最大值为：（）．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移规律，二次函数的最值，以及解直角三角形的应用，正确理解