北京二十一世纪实验学校高二数学文下学期摸底试题含解析

北京二十一世纪实验学校高二数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③P命题的否命题和P命题的逆命题同真同假④若|C|＞0则C＞0其中正确结论的个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4参考答案：B考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．分析：令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；P命题的否命题和P命题的逆命题是等价命题，同真同假，可判断③；若|C|＞0则C＞0或C＜0，可判断④．解答：解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；P命题的否命题和P命题的逆命题是等价命题，同真同假，正确；④若|C|＞0则C＞0或C＜0，不正确．故选：B．点评：本题考查函数的单调性的运用，考查逆命题，考查四种命题，属于基础题和易错题．2.已知函数F的导函数为f′（x），且f′（x）＞f（x）对任意的x∈R恒成立，则下列不等式均成立的是（）A．f（1）＜ef（0），f（2）＜e2f（0） B．f（1）＞ef（0），f（2）＜e2f（0）C．f（1）＜ef（0），f（2）＞e2f（0） D．f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=，求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=＞0，故g（x）在R递增，故g（1）＞g（0），g（2）＞g（0），即f（1）＞ef（0），f（2）＞e2f（0），故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）=是解题的关键，本题是一道中档题．3.能成立，则实数的取值范围是

参考答案：C4.给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=3x+4sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（）A．在直线y=﹣3x上 B．在直线y=3x上C．在直线y=﹣4x上 D．在直线y=4x上参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．【解答】解：f'（x）=3+4cosx+sinx，f''（x）=﹣4sinx+cosx=0，4sinx0﹣cosx0=0，所以f（x0）=3x0，故M（x0，f（x0））在直线y=3x上．故选：B．【点评】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题．5.在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为A. B. C. D.参考答案：A【分析】求出圆C的圆心坐标为（2，0），由圆C经过点得到圆C过极点，由此能求出圆C的极坐标方程．【详解】在中，令，得，所以圆C的圆心坐标为（2，0）.因为圆C经过点，所以圆C的半径，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为.故选：A【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．6.如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=ex﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为==e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是．故选D．7.已知坐标平面内三点，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，则直线l的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题意画出图形，分别求出直线PM，PN的斜率，进一步求得倾斜角得答案．【详解】如图，由，得，．所在直线的倾斜角为，PN所在直线的倾斜角为，则直线l的倾斜角的取值范围为．故选：A．【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.某校高一、高二年级各有7个班参加歌咏比赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是

()．A．高一的中位数大，高二的平均数大B．高一的平均数大，高二的中位数大C．高一的中位数、平均数都大D．高二的中位数、平均数都大

参考答案：A

高一的中位数为93，平均数为91；高二的中位数为89，平均数为92.4.9.椭圆上一点P到一个焦点的距离为6,则P到另一个焦点的距离为(

)A、10

B、6

C、5

D、4参考答案：D10.如图给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是()A．n＝n＋2，i>15?

B．n＝n＋2，i＝15?C．n＝n＋1，i＝15?

D．n＝n＋1，i>15?参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆的圆心的极坐标是________．参考答案：【分析】根据圆周在极点处极坐标方程可直接判断.【详解】因为，故此圆的圆心坐标是【点睛】此题考查了极坐标下圆周在极点的圆的方程的性质，属于基础题.12.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽

米.

参考答案：略13.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：这次考试的中位数为

（结果保留一位小数）．参考答案：73．3考点：频率分布表与直方图试题解析：这次考试的中位数位于内，设中位数为x，所以故答案为：73．314.、已知回归直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．参考答案：略15.已知空间直角坐标系中点，，则

．参考答案：

16.有下列四个命题：①“若，则或”是假命题；②“”的否定是“”③“”是“”的充分不必要条件；④“全等三角形相似”的否命题是“全等三角形不相似”，其中正确命题的序号是

.(写出你认为正确的所有命题序号)参考答案：②17.某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的距离为___________海里.（用根式表示）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某商品要了解年广告费x（单位：万元）对年利润y（单位：万元）的影响，对近4年的年广告费和年利润数据作了初步整理，得到下面的表格：广告费x2345年利润y26394954（Ⅰ）用广告费作解释变量，年利润作预报变量，建立y关于x的回归直线方程；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果预报广告费用为6万元时的年利润.附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.参考答案：解：（Ⅰ），，由表中数据与附中公式，得，.所以回归方程为.（Ⅱ）回归方程为，所以万元.

19.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(Ⅰ)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为，求的概率．参考答案：解：（Ⅰ）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：共6个.……3分从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有：有两个.因此所求事件的概率为.…………………6分（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为，其一切可能的结果有：共16个.……9分满足条件的事件为共3个，所以满足条件的事件的概率，故满足条件的事件的概率为.………………12分略20.已知椭圆的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若在直线上任取一点P，从点P向的外接圆引一条切线，切点为Q.问是否存在点M，恒有？请说明理由.参考答案：(1)(2)，或【分析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.（2）先求出的外接圆的方程，设点为点为，则由可得对任意的恒成立，故可得关于的方程，从而求得的坐标.【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以.

①又椭圆过点，所以代入得.

②又.

③由①②③，解得.所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）得，，的坐标分别是.因为的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，即的外接圆的圆心一定在轴上，所以可设的外接圆的圆心为，半径为，圆心的坐标为，则由及两点间的距离公式，得，解得.所以圆心的坐标为，半径，所以的外接圆的方程为，即.设点点为，因为，所以，化简，得，所以，消去，得，解得或.当时，；当时，.所以存在点，或满足条件.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆的位置关系，一般通过圆心到直线的距离与半径的关系来判断.解析几何中的几何关系的恒成立问题，应该通过等价转化变为代数式的恒成立问题.21.(本题满分13分)已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4．（1）求的解析式，并写出的单调递减区间；（2）设，求函数的值域．参考答案：22.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（Ⅰ）证明：为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与C1交于P,Q两点，求证：是定值，并求出该定值.参考答案：（I）（）；（II）【分析】（I）根据几何关系，即可证明为