2022-2023学年江苏省无锡市宜兴桃溪中学高二数学文期末试题含解析

2022-2023学年江苏省无锡市宜兴桃溪中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以下结论正确的是A．一个程序的算法步骤是可逆的

B．一个算法是可以无止境地运算下去的C．完成一件事情的算法有且只有一种

D．设计算法要本着简单方便的原则参考答案：B略2.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A. B. C. D.参考答案：C略3.已知动点的坐标满足方程，则的轨迹方程是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略4.下列语句是命题的有(

)A.

B.与一条直线相交的两直线平行吗?C.

D.好难的题目！参考答案：C5.设等差数列的前项和为，、是方程的两个根，．

．

．

．参考答案：．、是方程的两个根，＋＝1，；故选．6.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.某校高二年级有10个班，若每个班有50名同学，均随机编号1，2，…50，为了了解他们对体育运动的兴趣，要求每班第15号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A．抽签法 B．系统抽样 C．随机数表法 D．有放问抽法参考答案：B【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．故选：B．【点评】本题考查系统抽样，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．8.已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是

A．2

B．1

C．

D．参考答案：C9.下列命题，正确的是（

）A.若z∈C，则z2≥0

B.若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋iC.若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数

D.若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限参考答案：D略10.已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角坐标平面xOy内，一条光线从点（2，4）射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点（3，2），则反射光线的方程为．参考答案：x﹣26y+1=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆．【分析】设点P点（2，4）关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′（a，b），则，解得a，b．再利用点斜式即可得出．【解答】解：设点P点（2，4）关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′（a，b），则，解得a=﹣3，b=﹣1．∴反射光线的斜率为：=，∴反射光线的方程y﹣2=（x﹣3），化为x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．【点评】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．参考答案：0.813.如图，已知椭圆的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，则该椭圆的离心率是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】先作出椭圆的右焦点F′，根据条件得出AB⊥BF′．再求出A、B、F′的坐标，由两个向量的数量积的性质得出a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e．【解答】解：设椭圆的右焦点为F′，由题意得A（﹣a，0）、B（0，b），F′（c，0），∵∠BAO+∠BFO=90°，且∠BFO=∠BF′O，∴∠BAO+∠BF′O=90°，∴?=0，∴（a，b）?（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，∴e﹣1+e2=0，解得

e=，故答案为：．14.三棱锥的三视图如下（尺寸的长度单位为）．则这个三棱锥的体积为

_________;参考答案：15.已知＞0，＞0，不等式+恒成立，则实数a的最大值为

。参考答案：116.已知︱a︱=3,︱b︱=4,且（a+kb）⊥(a-kb),则k=

参考答案：3/4

17.已知点，是函数的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论成立，运用类比的思想方法可知，若点，是函数的图像上任意不同的两点，则类似地有_________成立.参考答案：分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知．详解：由题意知，点A、B是函数y=ax（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有成立；而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论．故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）求棱长为的正四面体外接球的表面积和体积。参考答案：解：设正四面体的高为,外接球球心为半径为(如图)因为正四面体的棱长为，所以，-----------------------------2分在⊿中，，--------------5分在⊿中,因为,即,------------------------8分解得，-------------------------------------------------------------------------------10分所以球的表面积球的体积为------------------------------------------------------------12分19.已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为，点O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设不与坐标轴平行的直线l1：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，与x轴交于点P，设线段AB中点为M．

（i）证明：直线OM的斜率与直线l1的斜率之积为定值；

（ii）如图，当m=﹣k时，过点M作垂直于l1的直线l2，交x轴于点Q，求的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由已知得b=1，e=，由此能求出椭圆E的标准方程．（Ⅱ）（i）将直线y=kx+m代入，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韦达定理、斜率公式能证明直线OM的斜率与直线l1的斜率之积为定值．（ii）当m=﹣k时，直线l1：y=k（x﹣1），P（1，0），从而M（，），直线l2方程为y﹣=﹣，从而|PQ|=，由此利用弦长公式能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为，点O为坐标原点，∴b=1，e=，∴，解得a2=4，∴椭圆E的标准方程为+y2=1．证明：（Ⅱ）（i）将直线y=kx+m代入，整理，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴，，∴M（﹣，），∴=?k=﹣．解：（ii）当m=﹣k时，由（i）知直线l1：y=k（x﹣1），∴P（1，0），∴，，∴M（，），∴直线l2方程为y﹣=﹣，令y=0，得x=，∴Q（，0），∴|PQ|=|1﹣|=，又|AB|=|x2﹣x1|==，∴==4=4，∵k≠0，∴1＜3﹣＜3，∴的取值范围是（4，4）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之积为定值的证明，考查两线段比值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．20.已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）求证：；（3）已知a，b∈(－1，1)，且，，求，的值.参考答案：

(2)，∴

(3)

∵∴f(a)+f(b)=1，∴∵，∴，解得：.

略21.椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点且OA⊥OB，是否存在以原点O为圆心的定圆与直线l相切？若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意，且a=2，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AB：y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式，能求出定圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，∵椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为，∴由题意，且a=2，解得c=，b=1．∴所求椭圆方程为=1．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，则设直线AB：y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，且，…由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）==0，代入得5m2=4k2+4，…原点到直线AB的距离d==，…当AB的斜率不存在时，|x1|=|y1|，得=1，|x1|=，依然成立∴点O到直线AB的距离为定值．…∴定圆方程为x2+y2=．…22.在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的