辽宁省辽阳市2023年高三《数学》上学期期末试卷与参考答案

辽宁省辽阳市2023年高三《数学》上学期期末试题与参考答案一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据复数的乘法运算求解.详解】，故选:D.2.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【分析】确定集合，即可求得其补集，可得答案.【详解】由题意,需满足，故可得，则，故选：A3.函数的最小值是（）A. B.4 C. D.3【答案】C【分析】利用导数讨论单调性并求最值.【详解】由题意可得，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是．故选:C.4.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据弦化切和二倍角的余弦公式求解.【详解】由，得．由，得，即，所以．则“”是“”充分不必要条件．故选：B．5.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】分别取棱的中点F，H，可得是异面直线与所成的角或补角，在中，由余弦定理即可求解.【详解】如图，分别取棱的中点F，H，连接，设，则．因为E，F分别是棱的中点，所以，则是异面直线与所成的角或补角．因为H，E分别是棱的中点，所以.因为平面，所以平面.因为平面,所以，则．在中，由余弦定理可得．故选:D.6.《中国居民膳食指南（2022）》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%．为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重（单位：千克），根据测量数据，按分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是（）A.55 B.57.25 C.58.75 D.60【答案】C【分析】确定第75百分位数在内，直接根据百分位数的概念计算得到答案.【详解】因为，所以该地中学生体重的第75百分位数在内，设第75百分位数为m，则，解得．故选：C7.已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由题意，利用点差法，整理方程，根据斜率公式和中点坐标公式，可得答案.【详解】设，则从而，故．由题意可得，则，从而，故椭圆C的离心率．故选：A.8.已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】利用三角恒等变换化简得到，由，得到，由函数零点个数列出不等式组，求出的取值范围.【详解】因为，所以，因为，所以，因为在上恰有3个零点，所以，解得．故选：B．二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BCD【分析】根据平面向量平行与垂直的坐标表示公式，可得答案.【详解】由，得，即，解得或，则A错误，B正确；由，得，解得，则C，D正确．故选：BCD.10.如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（）A.当时，B.C.平面D.二面角为定值【答案】BD【分析】由数量积定义计算数量积判断A，根据线面垂直的判定定理与性质定理证明后判断B，利用线面间的位置关系判断C，根据二面角的定义判断D．【详解】由正方体的性质可知，则，解得，故A错误；连接．由与底面垂直，在平面内得，又，且，所以平面，而平面，所以，即，则B正确；因为平面平面，所以不可能平行于平面，则C错误；因为平面与平面是同一平面，平面与平面是同一平面，所以二面角就是二面角．易知二面角是定值，所以二面角为定值，则D正确．故选：BD．11已知函数，则（）A.的定义域是B.在上单调递增C.的图象关于点中心对称D.不等式的解集是【答案】AC【分析】求出使函数式有意义的的范围判断A，分类讨论确定函数单调性判断B，结合奇函数的性质判断C，解不等式后判断D．【详解】由题意可知，得，则的定义域是，则A正确；当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，则B错误；因为是奇函数，则C正确；，即，当时，解得，当时，解得或，则D错误．故选：AC．12.已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若直线OA，OB的斜率之积为，则直线过定点B.若直线OA，OB的斜率之积为，则面积的最大值是C.若，则的最大值是D.若，则当取得最大值时，【答案】AC【分析】设直线：，，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，然后由斜率之积求得值，得定点坐标判断A，由选项A的推导得的面积，由面积的表达式得最小值，判断B，在中，由余弦定理得，代入后应用基本不等式得最值，判断C，由选项C的推导得可设直线：然后求得判断D．【详解】设直线：，，，联立整理得，则，.因为直线OA，OB的斜率之积为-2，所以.因为，，所以，所以，解得，即直线过定点，故A正确.由A选项可知，当且仅当时，等号成立，则面积的最小值是，故B错误.在中，由余弦定理可得.因为，所以，则.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确.由C选项可知直线的斜率不存在，设直线：，则直线与轴的交点为，从而，.因为，所以，所以，即，整理得，解得或.当时，；当时，.综上，或，则D错误.故选：AC．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数的值域是，则_________．【答案】【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案.【详解】，故，解得．故答案为：14.已知直线与圆交于两点，则__________；若P是圆C上的一点，则面积的最大值是__________．【答案】①.②.【分析】（1）先求圆心到直线的距离，然后结合垂径定理算出弦长即可；（2）结合上一空，三角形底边长一定，求出圆上一点到直线的距离的最大值，即可得到三角形面积的最大值．【详解】由题意可知圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，故；因为是圆上的一点，所以点到直线距离的最大值为，所以面积的最大值是．故答案为：；．15.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明共购买了5个盲盒，则他恰能在第5次集齐3种玩偶的概率为__________.【答案】【分析】根据给定条件，求出买5个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可计算作答.【详解】由题意可知前4次恰好收集了其中的2种玩偶，第5次收集到第3种玩偶，则所求概率.故答案为：16.若正数a，b满足，则最小值是__________．【答案】4【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，则，因为，所以，则，故，当且仅当时，等号成立．故答案为:4.四、解答题本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设正项等比数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式；（2）记的前n项积为，求使得取得最大值的n的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及求和公式，建立方程组，求得首项与公比，可得答案；（2）由（1）可知数列的单调性，根据数列中项与1大小关系，可得答案.【小问1详解】设数列的公比为q，由题意可得，解得，则．【小问2详解】由（1）可知数列是递减数列，因为，所以使得取得最大值的．18.在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求A；（2）若__________，求的最大值．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）选①，的最大值是8；选②，的最大值是【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理求出，结合求出；（2）选①，由余弦定理，结合基本不等式求出；选②，得到，两边平方后得到，由基本不等式求出最值.【小问1详解】因为，所以，所以，则．因为，所以．【小问2详解】选①,由余弦定理可得，即，则．因为，所以．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是8．选②,因为D是边的中点，所以，所以，因为，且，所以，即．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，解得，即的最大值是．19.如图，在三棱柱中，平面，，是等边三角形，D，E，F分别是棱，AC，BC的中点.（1）证明：平面.（2）求平面ADE与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解两平面夹角的余弦值.【详解】（1）证明：连接BD.因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，则.因为平面，平面，所以平面.因为平面ABD，且，所以平面平面.因为平面ABD，所以平面.（2）解：取的中点，连接，，易证，，OE两两垂直，则以O为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，，从而，，，.设平面ADE的法向量为，则令，得，设平面的法向量为，则令，得.设平面与平面的夹角为，则.20.宠物猫作为伴侣动物出现在越来越多的家庭中，但这也导致了流浪猫群体的出现．流浪猫生存环境恶劣，常常出现健康问题，其中猫瘟就是一种对猫的生命威胁极大的传染性疾病．某流浪猫救助组织，同时救助了4只精神状态不好的流浪猫，而精神状态不好的流浪猫感染猫瘟病毒的概率为．为检查这4只猫是否已感染该病毒，要对这4只猫的排泄物进行病毒检测，为节约检测成本，宠物医院建议分组检测．检测方案如下：每2只为一组，样本混合后检测，若混合样本呈现阴性，则提供样本的猫均未感染该病毒，若混合样本呈现阳性，则样本中至少有1只猫感染该病毒，就需对该组每只猫分别单独检测一次．（1）若按宠物医院提供的检测方案，记检测总次数为X，写出X的分布列，并分析是否应该接受这个建议．（2）为预防猫瘟，市场研发相应疫苗，该疫苗连续“接种2针”或“接种3针”才能起到保护作用，某宠物医院随机对接种该疫苗的100只猫作了数据跟踪，得到如下数据：这100只猫中共有12只抗体未达标，其中只接种2针疫苗未达标的有8只，占只接种2针疫苗总数的．抗体达标数量抗体未达标数量接种2针疫苗接种3针疫苗完成上面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该疫苗“接种3针”是否比“接种2针”有更好的保护作用（注：抗体达标才能具有保护作用）．附：．0.050.0100.0053.846.637.88【答案】（1）分布列见解析，接受这个建议（2）列表联见解析，该疫苗“接种3针”比“接种2针”有更好的保护作用．【分析】（1）确定X可取的值为2，4，6，求出概率后得分布列，由期望公式计算出期望后可得结论；（2）由已知填充列联表，计算出，比较临界值即得．【小问1详解】X可取的值为2，4，6，，，，分布列为：246，因为，所以出于节约检测成本的考虑，应该接受这个建议．【小问2详解】列联表如下：抗体达标数量抗体未达标数量接种2针疫苗328接种3针疫苗564零假设为：“接种3针”与“接种2针”独立，即保护作用没有差异．因为，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，又，所以根据频率稳定于概率的原理，我们认为该疫苗“接种3针”比“接种2针”有更好的保护作用．21.已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，，理由见解析【分析】（1）首先得，再将点坐标代入双曲线方程，联立方程求解，即可求双曲线方程；（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得点坐标，再考虑斜率不存在的情况即可【小问1详解】由题意得，，所以，所以，，所以双曲线C的标准方程为；【小问2详解】假设存在，设，，由题意知，直线斜率不为0，设直线，联立，消去，得，则，，且，，因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，则，即，则，整理得，故，即，因为，所以，此时；当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得也能让点F到直线PA，PB的距离相等；综上所述，故存在满足题意22.已知函数，且曲线在处的切线为.（1）求m，n的值和的单调区间；（2）若，证明：.【答案】（1）；在与上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析【分析】（1）由导数得几何意