广西壮族自治区玉林市水鸣中学高二数学文联考试题含解析

广西壮族自治区玉林市水鸣中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（） A．35 B． C． D．53参考答案：D【考点】计数原理的应用． 【专题】排列组合． 【分析】每个冠军的情况都有5种，共计3个冠军，故分3步完成，根据分步计数原理，运算求得结果． 【解答】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是53， 故选：D． 【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题． 2.圆和圆的位置关系是

相离

相交

外切

内切参考答案：B3.已知两数列{}，{}的各项均为正数，且数列{}为等差数列，数列{}为等比

数列，若a1=b1，a19=b19，则a10与b10的大小关系为

(A)al0≤b10

(B)a10≥b10

(c)a10=b10

(D)a10与b10大小不确定参考答案：B4.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(

)A.10

B.11

C.12

D.15参考答案：B略5.(2x－)9的展开式中，常数项为()A．－672

B．672

C．－288

D．288参考答案：B试题分析：Tr＋1＝(2x)9－r(－)r＝(－1)r29－r·x9－r－，令9－r－＝0，得r＝6.∴常数项为23＝8＝672.考点：二项式定理6.如图，已知一个八面体各棱长均为1，四边形ABCD为正方形，则下列命题中不正确的是（）A．不平行的两条棱所在直线所成的角为60°或90°B．四边形AECF为正方形C．点A到平面BCE的距离为D．该八面体的顶点在同一个球面上参考答案：C【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】由已知求出图中任意两棱所成角的大小判断A、B正确；再由等积法求出点A到平面BCE的距离说明C错误；由ABCD为正方形，AECF为正方形，且两正方形边长相等，中心都为AC的中点说明D正确．【解答】解：∵八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，∴在四棱锥E﹣ABCD中，相邻两条侧棱所成的角为60°，∵AE=CE=1，AC=，满足AE2+CE2=AC2，∴AE⊥CE，同理AF⊥CF，则四边形AECF是正方形．再由异面直线所成角概念可知，图中每一条棱与和其异面的棱所成角为60°．故A、B正确；设点A到平面BCE的距离h，由VE﹣ABCD=2VA﹣BCE，得×1×1×=2××，解得h=，∴点A到平面BCE的距离为，故C错误；由ABCD为正方形，AECF为正方形，且两正方形边长相等，中心都为AC的中点，∴该八面体的顶点在以AC中点为球心，以为半径的球面上，故D正确．∴不正确的命题是C．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查立体几何中线线关系以及线面关系，利用了等积法求点到平面的距离，是中档题．7.函数的导函数为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用导数运算公式，求得所求导函数【详解】由于，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题.8.10．已知函数,若,则实数的取值范围是（

）A.(－1,0)∪(0,1)

B.(－∞,－1)∪(1,+∞)

C.(－1,0)∪(1,+∞)

D.(－∞,－1)∪(0,1)参考答案：A9.已知点和圆一束光线从点经轴反射到圆周上的最短路程是

参考答案：D10.在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：48101212356由表中数据求得关于的回归方程为，则(4,1)，(m,2)，(8,3)这三个样本点中落在回归直线下方的有(

)个A．1

B．2

C.3

D．0参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与AD所成角的余弦值是________.参考答案：12.函数的的最小值是

.参考答案：13.设若是与的等比中项，则的最小值为_______．参考答案：414.某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有___________种.参考答案：6略15.在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为

（写最简分数）参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比【解答】解：设AC=x，则BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面积S=x（12﹣x）＜32，则x＞8或x＜4即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P==故答案为：16.已知且

为偶函数，则

参考答案：-617.直线的斜率为

.参考答案：2将直线方程整理为斜截式即：，据此可得直线的斜率为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a为实数，函数．（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；（2）求在区间[0,2]上的最大值．参考答案：、解：∵

∴

……1分（1）∵

∴

……2分

∴

……3分

∴

……4分

∴

……5分

∴切点为，切线的斜率

……6分

∴曲线在点处的切线方程是，即

……7分

综上述：，切线方程为

……8分（2）∵由（1）知∴易知函数在区间[0,2]上为增函数

……10分∴函数在区间[0,2]上的最大值

……12分略19.（12分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；

(1)求

(2)求

(3)

(4)求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值.参考答案：如图，建立空间直角坐标系O—xyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）∴|

|=.（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.略20.在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边对x求导，得（﹣sin2x）?2=4cosx（﹣sinx），化简后得等式sin2x=2cosxsinx．（1）利用上述方法，试由等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），①证明：n[（1+x）n﹣1﹣1]=kxk﹣1；②求C101+2C102+3C103+…+10C1010．（2）对于正整数n≥3，求（﹣1）kk（k+1）Cnk．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）①对二项式定理的展开式两边对x求导数，移项得到恒等式；②对①，令x=1，n=10，由恒等式计算即可得到所求值；（2）对①中的x赋值﹣1，整理得到恒等式（﹣1）kk=0；对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简可得（﹣1）kk2=0，相加即可得到所求（﹣1）kk（k+1）Cnk．【解答】解：（1）①证明：等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），两边对x求导，可得n（1+x）n﹣1=Cn1+2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，即有n[（1+x）n﹣1﹣1]=2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1=kxk﹣1；②由①令x=1可得，n（2n﹣1﹣1）=k，可得，C101+2C102+3C103+…+10C1010=10+10（29﹣1）=5120；（2）在①式中，令x=﹣1，可得n[（1﹣1）n﹣1﹣1]=k（﹣1）k﹣1，整理得（﹣1）k﹣1k=0，所以（﹣1）kk=0；由n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3，两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+3?2Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+3?2Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2即k（k﹣1）（﹣1）k﹣2=0，亦即（k2﹣k）（﹣1）k=0，又（﹣1）kk=0，两式相加可得，（﹣1）kk2=0，综上可得，（﹣1）kk（k+1）Cnk=（﹣1）kk2+（﹣1）kk=0．21.在程序语言中，下列符号分别表示什么运算

*；＼；∧；SQR（）；ABS（）？参考答案：乘、除、乘方、求平方根、绝对值22.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==