湖南省湘潭市姜畲镇第二中学高二数学文期末试题含解析

湖南省湘潭市姜畲镇第二中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线l与圆x2+y2=1相切，并且在两坐标轴上的截距之和等于，则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于（）A． B． C．1或3 D．或参考答案：A【考点】圆的切线方程；直线的截距式方程．【分析】设出直线l与坐标轴的交点，表示出三边关系（勾股定理，面积相等，截距之和为），化简为三角形面积，即可．【解答】解：设直线分交x轴于A（a，0），y轴B（0，b），则|a|＞1，|b|＞1．∵截距之和等于，∴直线l的斜率大于0．∴ab＜0．令|AB|=c则c2=a2+b2…①∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心（0，0）到直线AB的距离d=r=1．由面积可知c?1=|a?b|…②∵a+b=，∴（a+b）2=3…③由①②③可得（ab）2+2ab﹣3=0．ab=﹣3或ab=1．又∵ab＜0，∴ab=﹣3于是直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．故选：A．2.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.两条异面直线所成角为，则

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略4.y=cos（x∈R）的最小正周期是（）A． B．2π C．3π D．6π参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用三角函数的周期公式求函数的最小正周期即可．【解答】解：y=cos（x∈R）∴函数f（x）的最小正周期T=；故选D．5.若，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C． D．2参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点O（0，0）时，直线y=的截距最小，此时z最小，此时z=0．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．6.在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为（）A．ρcosθ=2 B．ρsinθ=2 C．ρ=4sin（θ+） D．ρ=4sin（θ﹣）参考答案：A【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】本选择题利用直接法求解，把极坐标转化为直角坐标．即利用ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，极坐标方程转化为直角坐标方程后进行判断即可．【解答】解：ρ=4sinθ的普通方程为：x2+（y﹣2）2=4，选项A的ρcosθ=2的普通方程为x=2．圆x2+（y﹣2）2=4与直线x=2显然相切．故选A．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，考查转化思想，计算能力，是基础题．7.已知x＞0，y＞0，x+y+=2，则x+y的最小值是（）A． B．1 C． D．参考答案：C【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用基本不等式，结合条件，即可得出结论．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y+=2，∴由基本不等式可得x+y+=2≤x+y+，∴x+y≥．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是解题的关键．8.已知向量a=(-3，2，5)，b=(1，x，-1)，且a·b=2，则x的值为（

）A．4

B．5

C．6

D．7[来源:

]参考答案：A略9.已知，，，三角形的面积为（

）

A．

B.

C.

D.

参考答案：B略10.双曲线y=(k>0)的离心率用e=f(k)来表示，则f(k)（

）（A）在(0，+∞)上是增函数

（B）在(0，+∞)上是减函数（C）在(0，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数

（D）是常数参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的递增区间是

；参考答案：略12.函数f（x）=x﹣sinx的导数为．参考答案：1﹣cosx【考点】导数的运算．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：y′=1﹣cosx．故答案为：1﹣cosx．13.展开式中的系数为________。

参考答案：-6

略14.设斜线和平面所成的角为θ，那么斜线和平面内过斜足的所有直线的夹角中，最大的角为

；最小的角为

。参考答案：,15.已知数列中，，，则=

.参考答案：16.已知集合，则=

参考答案：略17.若△ABC的三条中线AD．BE、CF相交于点M，则＝参考答案：解析：设AB的中点为D，由平行四边形法则得所以＝0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设p:实数x满足,其中,命题实数满足.(Ⅰ)若且为真，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.参考答案：解析:由得，又,所以,

当时，1<,即为真时实数的取值范围是1<.

由,得,即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.(Ⅱ)是的充分不必要条件，即,且,

设A=,B=,则,又A==,B==}，则0<,且所以实数的取值范围是.19.（13分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（,0）的距离减去它到y轴距离的差都是.⑴求曲线C的方程；⑵是曲线C上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．参考答案：⑴设是曲线上任意一点，那么点满足：

化简得.……5分⑵设，不妨设．直线的方程:，化简得．又圆心到的距离为1，，故，易知，上式化简得，同理有．

所以，，则．因是抛物线上的点，有，则，．所以．.……11分当时，上式取等号，此时．因此的最小值为8．………………13分

20.等比数列满足，，数列满足（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）数列满足，为数列的前项和．求证：；（Ⅲ）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅲ）假设否存在正整数，使得成等比数列，则，

…………10分可得，

…………11分由分子为正，解得，

…………12分由，得，此时，

…………13分当且仅当，时，成等比数列。

…………14分

略21.（22分，理科做文科不做）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（1）求四棱锥P－ABCD的体积V；高&考%资(源#网wxc（2）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；（3）求证CE∥平面PAB．参考答案：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．∴SABCD＝．……………2分则V＝．………………4分（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC．…7分∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E为PD中点，F为PC中点，∴EF∥CD．则EF⊥PC．

………8分∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……9分（Ⅲ）证法一：取AD中点M，连EM、CM，则EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．

………11分在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．

………13分∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PA