2024年佛山市顺德区高三数学3月模拟联考试题卷及答案解释

年佛山市顺德区高三数学3月模拟联考试题卷考试范围：联考考纲；考试时间：120分钟2024.03第I卷（选择题）一、单选题（4*15＝60，注意：均只提供四个选择项，与联考不一样）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D． E．均不是2．已知，，，则（

）A． B． C． D． E．均不是3．已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（

）A． B． C． D． E．均不是4．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（

）A． B． C． D． E．均不是5．以下不满足的角是（

）A． B． C． D． E．均不是6．已知，为双曲线（，）的两个焦点，为双曲线上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3 E．均不是7．设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（

）A． B． C． D． E．均不是8．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（

）A．50 B．60 C．70 D．80 E．均不是9．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D． E．均不是10．已知，则被10除所得的余数为（

）A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是11．在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是12．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D． E．均不是13．已知圆：（）与双曲线：（，），若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D． E．均不是14．如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（

）A．B．C．D．E．均不是15．已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图象关于直线对称；④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4 E．0第II卷（非选择题）二、解答题16．已知函数．(1)当时，求函数在上的取值范围；(2)当时，求函数在上的最大值.17．设数列满足，．(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；(2)求数列，求的前项和．18．已知双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，过点作直线（不与轴重合）与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线为垂足．(1)求双曲线的标准方程；(2)是否存在实数，使得直线过定点，若存在，求的值及定点的坐标；若不存在，说明理由.19．一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；(2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.20．已知关于的不等式的解集为.(1)求，的值；(2)求不等式组所表示的平面区域的面积.1．D【分析】求二次函数值域可得集合，解指数不等式可得集合，再求交集即可.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以.所以.故选：D.2．D【分析】运用对数运算公式计算即可.【详解】由题意知，，，，因为，，所以由换底公式可得，，又因为（），所以，所以由换底公式可得.故选：D.3．C【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果.【详解】由已知条件可知，，，令，，，如图所示，曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称，设曲线分别与曲线，交于点，，则点，关于直线对称，而点关于直线对称的点为，即为点，则，即.故选：C.4．A【分析】结合图象变换求得解析式，再结合偶函数性质求解即可.【详解】由题意知，（）又因为为偶函数，所以关于轴对称.所以，，解得，，又，所以当时，取得最小值为.故选：A.5．D【分析】利用诱导公式及反三角函数的定义即可求解.【详解】对于A项，，故A项正确；对于B项，令，则，所以，故B项正确；对于C项，，故C项正确；对于D项，，故D项不成立.故选：D.6．A【分析】设出点，，坐标，运用数量积坐标公式可得，结合可得，进而可求得离心率.【详解】如图，设，，，则（当且仅当在顶点时取等号），所以，即，所以.故选：A.7．C【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可.【详解】由等差数列的等和性可得，.故选：C.8．C【分析】运用等比数列求和公式计算可得解析式，结合极限思想即可求解.【详解】由题意知，这个小球在这次运动中第次反弹着地后所经过的总路程为，假设这个小球能无限次反弹，所以这个小球在这次运动中所经过的总路程为.故选：C.9．C【分析】在上取点，使，连接、，过点作于点，结合题意可得平面，平面，故点到直线距离的最小值为，计算出即可得.【详解】在上取点，使，连接、，过点作于点，由，故，又平面，平面，故平面，由平面，平面，故，故，又，，、平面，故平面，故到平面的距离为，又在线段上，故点到直线距离的最小值为，由，故，则，故.故选：C.10．C【分析】由题意可得，将其展开式写出后可得，即可得解.【详解】，由，故被10除所得的余数为.故选：C.11．B【分析】由题意，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率.【详解】在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是.故选：B.12．B【分析】得到圆的圆心与半径后，借助切线性质可得，即可得，即可得.【详解】圆可化为，即圆心为，半径为，故圆心到点的距离为，则，由，故，故.故选：B.13．B【分析】由圆的切线的性质可得，即双曲线与圆有交点，即，即可计算离心率的范围.【详解】由，故，则，即双曲线与圆有交点，即，即，即，即双曲线的离心率的取值范围是.故选：B.14．A【分析】求出点在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.【详解】当点在上时，，当点在上时，，当点在上时，，其中A选项符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正确.故选：A.15．B【分析】根据降幂公式和辅助角公式化简三角函数式，结合正弦函数的图像与性质即可判断.【详解】，对于①，因为，则的最小正周期，故①错误；对于②，由函数解析式可知，满足时单调递减，解得，当时，单调递减区间为，故②正确；对于③，由函数解析式可知，对称轴满足，解得，所以当时，对称轴为，故③正确；对于④，函数的图象向左平移个单位可得，故④错误.故正确结论的个数是个.故选：B.16．(1)(2)【分析】（1）对函数配方后，可得其对称轴，从而可求得其单调区间，进而可求出的取值范围，（2）对函数配方后，可得其对称轴，然后分和两种情况求出函数的最大值【详解】（1）当时，，对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增，，，，，函数在区间上的取值范围是；（2）当时，，对称轴为直线，当时，函数在上的最大值；当时，函数在上的最大值；函数在上的最大值.17．(1)，，，猜想，证明见解析(2)【分析】（1）利用递推关系式可求得，由此可猜想得到通项公式；利用数学归纳法可证得通项公式成立；（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.【详解】（1）由，得：；；；由此可猜想，证明如下：当时，，即成立；假设当时，成立，那么当时，，即成立；综上所述：当时，.（2）由（1）得：，，，两式作差得：，.18．(1)(2)存在实数，使得直线过定点【分析】（1）焦点到渐近线的距离为，在根据渐近线方程求出；（2）计算出的直线方程，再令即可求出定点坐标.【详解】（1）焦点到渐近线的距离不妨求直线的距离，渐近线方程，得所以双曲线方程为；（2）假设存在实数，使得直线过定点,设直线，则．联立，消得则．直线，令得:又当即时，为定值所以存在实数，使得直线过定点.19．(1)图象见解析，(2)【分析】（1）根据对应的点在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可；（2）根据，进而求得，，再利用复数的乘法求解.【详解】（1）因为对