上海市宝山区长江第二中学高二数学文联考试题含解析

上海市宝山区长江第二中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数，都有，则的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.已知是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则的一个充分条件是()A.， B.，C.，， D.，，参考答案：C【分析】由题意，分别分析每个答案，容易得出当，，得出，再得出，得出答案.【详解】对于答案A：，，得出与是相交的或是垂直的，故A错；答案B：，，得出与是相交的、平行的都可以，故B错；答案C：，，得出，再得出，故C正确；答案D:，，，得出与是相交的或是垂直的，故D错故选C【点睛】本题主要考查了线面位置关系的知识点，熟悉平行以及垂直的判定定理和性质定理是我们解题的关键所在，属于较为基础题.3.已知，，，，，由此可猜想（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略4.若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知点，则线段AB的中点的坐标为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别

是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．8π B．6π C．11π D．5π参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【分析】把棱锥扩展为正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半径就是三棱锥的外接球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为，∴球的表面积为=6π．故选：B．7.等腰三角形ABC底边两端点坐标分别为B(4，2)、C(－2，0)，则顶点A的轨迹方程是(

)A．

B．C．

D．参考答案：C8.过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B,交其准线于点C.若则此抛物线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B如图，分别过点A,B作准线的垂线，分别交准线于点E,D，设，则由已知得，由定义得，故，在直角三角形中，，从而得，求得，因此抛物线方程为，故选B.

9.用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.若，且函数在处有极值，则的最大值等于(

)

A.2

B.3

C.6 D.9参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于三次函数的导数，的导数，若方程有实数解为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题：函数的对称中心为

.参考答案：12.某市有、、三所学校共有高二学生人，且、、三所学校的高二学生人数成等差数列，在进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二学生中抽取容量为的样本进行成绩分析，则应从校学生中抽取________人.参考答案：分层抽样所抽取样本的数量与总体数量成比例，既然、、三所学校的高二学生人数成等差数列，那么分别所抽取的样本的容量也成等差数列，由等差中项易得应从校学生中抽取人.13.能说明命题“在△ABC中，若，则这个三角形一定是等腰三角形”为假命题的一组A、B的值为_____.参考答案：答案不唯一满足（）即可.【分析】由可得：或，所以当时，显然也满足条件，但三角形不是等腰三角形，从而得到原命题为假命题。【详解】因为，所以，所以或，所三角形为等腰三角形或直角三角形，所以当时，原命题显然为假命题。【点睛】本题以三角形知识为背景，考查解三角形与简易逻辑的交会，考查逻辑推理能力。14.用反证法证明命题“如果，那么”时，应假设__________.参考答案：【分析】由反证法的定义得应假设：【详解】由反证法的定义得应假设：故答案为：【点睛】本题主要考查反证法的证明过程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，用数学归纳法证明时，有______．参考答案：【分析】根据题意可知，假设，代入可得到，当时，，两式相减，化简即可求解出结果。【详解】由题可知，，，所以．故答案为。【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明不等式过程中的归纳递推步骤。16.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，有下列命题：①极坐标为的点所对应的复数是；②与曲线无公共点；③圆的圆心到直线的距离是；④与曲线（为参数）相交于点,则点的直角坐标是.其中真命题的序号是

．参考答案：①②17.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．（Ⅰ）求证：AB1⊥CC1；（Ⅱ）若AB1=，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，证明CC1⊥OA，CC1⊥OB1，得到CC1⊥平面OAB1，即可证明CC1⊥AB1．（Ⅱ）以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，求出C，B1，A，求出平面CAB1的法向量，平面A1AB1的法向量，通过向量的数量积求解二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA=OB1=，又AB1=，所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C（0，﹣1，0），B1（，0，0），A（0，0，），…设平面CAB1的法向量为=（x1，y1，z1），因为=（，0，﹣），=（0，﹣1，﹣），所以取=（1，﹣，1）．…设平面A1AB1的法向量为=（x2，y2，z2），因为=（，0，﹣），=（0，2，0），所以取=（1，0，1）．…则cos＜＞===，因为二面角C﹣AB1﹣A1为钝角，所以二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值为﹣．…19.如图,是圆内两弦和的交点,是延长线上一点,与圆相切于点,且.求证:(1)∽；(2)∥参考答案：解：（1）因为FG与圆O相切于点G，

（5’）（2）由（1）知，又因为

（10’）20.本题满分10分）已知数列是等差数列，且（1）求数列的通项公式

（2）令，求数列前n项和参考答案：21.（12分）某工科院校对A，B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：

专业A专业B总计女生12416男生384684总计5050100能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工科院校中“性别”与