2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）分式方程的应用

分式方程的应用22．（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨；（2）购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是50.4万元．【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x＋10）吨，根据“A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；（2）先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．【解答】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x＋10）吨，由题意得：450x解得：x＝90，当x＝90时，x（x＋10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x＋10＝90＋10＝100，答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨；（2）设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，由题意得：90m＋100(30−m)≥28801.5m＋2(30−m)≤55解得：10≤m≤12，w＝1.2m＋2（30－m）＝－0.8m＋60；∵－0.8＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝12时，w最小，此时w＝－0.8×12＋60＝50.4，∴购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是50.4万元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出题目中的相等关系，不等关系列出分式方程，一元一次不等式组及列出一次函数关系式是解决问题的关键．分式方程的应用19．（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每大制作多少个摆件？【答案】200个摆件．【分析】设原计划平均每天制作x个摆件，根据“结果提前5天完成任务”列分式方程，求解即可．【解答】解：设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得3000x解得x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并能根据题意建立方程是解题的关键．分式方程的应用21．（2023•宜昌）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（）A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min【答案】D【分析】设学生的速度为xkm/min，根据一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．列出方程，即可求解．【解答】解：设学生的速度为xkm/min，由题意可得：12x−20解得：x＝0.3，经检验：x＝0.3是原方程的解，且符合题意；∴2x＝0.6（km/min），故选：D．【点评】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．分式方程的应用13．（2023•广东）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度．【答案】乙骑自行车的速度为0.2km/分．【分析】设乙步行的速度为xkm/分，则甲骑自行车的速度为1.2xkm/分，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：设乙步行的速度为xkm/分，则甲骑自行车的速度为1.2xkm/分，根据题意得12x−10解得x=1经检验，x=1答：乙骑自行车的速度为0.2km/分．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．14．（2023•荆州）荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．【答案】（1）A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；（2）①120≤x≤210，且x为整数；②当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．【分析】（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出每台A种电器的进价，再将其代入（a﹣1）中即可求出每台B种电器的进价；（2）①利用“计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍“列不等式组可得结论；②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，分两种情况：当120≤x≤150时，当150＜x≤210时，分别表示w与x的关系式根据增减性可解答．【解答】解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为（a﹣1）元，由题意得：1400a解得：a＝10，经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，a﹣1＝9，答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；（2）①由题意得：600−解得：120≤x≤210，∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，当120≤x≤150时，w＝15×600﹣10x﹣9（600﹣x）＝﹣x+3600，∵﹣1＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝120时，w有最大值是：﹣120+3600＝3480，当150＜x≤210时，w＝15×600﹣[10×150+10×60%（x﹣150）]﹣9（600﹣x）＝3x+3000，∵3＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝210时，w有最大值是：3×210+3000＝3630，∵3630＞3480，∴w的最大值是3630，此时600﹣x＝600﹣210＝390，即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．15．（2023•岳阳）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量．【答案】300kg．【分析】设今年龙虾的平均亩产量为xkg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg，利用养殖面积＝总产量÷平均亩产量，结合去年与今年的养殖面积相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设今年龙虾的平均亩产量为xkg，则去年龙虾的平均亩产量为（x﹣60）kg，根据题意得：6000x解得：x＝300，经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意．答：今年龙虾的平均亩产量为300kg．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．分式方程的应用13．（2023•乐山）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务．问原计划每天种植梨树多少棵？【答案】原计划每天种植梨树500棵．【分析】设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树（1+20%）x棵，根据题意得：6000x解得：x＝500，经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意．答：原计划每天种植梨树500棵．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．分式方程的应用23．（2023•济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的12【答案】（1）A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；（2）购买方案三总费用最少．【分析】（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，根据购买总费用不超过26万元且且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的12，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得15x=20x+0.3，解得x＝0.9，经检验答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，根据题意，得：0.9m+1.2(25−解得：403≤m∵m为整数，∴m＝14，15，16．∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、36个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、35个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、34个B型充电桩．∵A型机床的单价低于B型机床的单价，∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×34＝55.2（万元）．【点评】本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．分式方程的应用18．（2023•黑龙江）2023年5月30日上午9点31分，神州十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空．某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？（3）在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）共有6种购买方案；（3）m＝5．【分析】（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B款文化衫的单价，再将其代入（x+10）中，可求出A款文化衫的单价；（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于14800元且不少于14750元，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出共有6种购买方案；（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，利用总价＝单价×数量，可得出w关于y的函数关系式，由（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同（即w的值与y值无关），利用一次函数的性质，可得出m﹣5＝0，解之即可得出m的值．【解答】解：（1）设B款文化衫每件x元，则A款文化衫每件（x+10）元，根据题意得：500x+10解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x+10＝40+10＝50．答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元；（2）设购买y件A款文化衫，则购买（300﹣y）件B款文化衫，根据题意得：50y+40(300−解得：275≤y≤280，又∵y为正整数，∴y可以为275，276，277，278，279，280，∴共有6种购买方案；（3）设购买300件两款文化衫所需总费用为w元，则w＝50×0.7y+（40﹣m）（300﹣y）＝（m﹣5）y+300（40﹣m），∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，∴w的值与y值无关，∴m﹣5＝0，∴m＝5．答：m的值为5．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于y的函数关系式．分式方程的应用25．（2023•常德）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？【答案】（1）A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．（2）最多可购进A型玩具25个．【分析】（1）设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论；（2）设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，列不等式即可得到结论．【解答】解：（1）设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个．由题意得：1200x解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，∴B型玩具的进价为10×1.5＝15（元/个），答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．（2）设购买A型玩具m个，则购进B型玩具（75﹣m）个．根据题意得，（12﹣10）m+（20﹣15）（75﹣m）≥300，解得：m≤25，答：最多可购进A型玩具25个．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键．分式方程的应用2．（2023•烟台）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有【分析】（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x元，利用数量＝总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入34（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是34x根据题意得：6003解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴34x=答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；（2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》，根据题意得：80﹣m≥12解得：m≤160设购买这两种图书共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m），∴w＝﹣8m+2560，∵﹣8＜0，∴w随m的增大而减小，又∵m≤1603，且∴当m＝53时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣53＝27．答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关