2024年初中升学考试真题模拟卷浙江省台州市中考数学试卷

第1页（共1页）2023年浙江省台州市中考数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）（2023•台州）下列各数中，最小的是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（4分）（2023•台州）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（）A． B． C． D．3．（4分）（2023•台州）下列无理数中，大小在3与4之间的是（）A．7 B．22 C．13 D．174．（4分）（2023•台州）下列运算正确的是（）A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab25．（4分）（2023•台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．6．（4分）（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（）A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）7．（4分）（2023•台州）以下调查中，适合全面调查的是（）A．了解全国中学生的视力情况 B．检测“神舟十六号”飞船的零部件 C．检测台州的城市空气质量 D．调查某池塘中现有鱼的数量8．（4分）（2023•台州）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）A．2 B．2 C．4+22 D．9．（4分）（2023•台州）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（）A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE10．（4分）（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2023•台州）因式分解：x2﹣3x＝．12．（5分）（2023•台州）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是．13．（5分）（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．14．（5分）（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为．15．（5分）（2023•台州）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有人．16．（5分）（2023•台州）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为；（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）（2023•台州）计算：2218．（8分）（2023•台州）解方程组：x+y=72x−y=219．（8分）（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）20．（8分）（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．（1）求h关于ρ的函数解析式；（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．21．（10分）（2023•台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．22．（12分）（2023•台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．表1：前测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A289931实验班B2510821表2：后测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A14161262实验班B6811183（1）A，B两班的学生人数分别是多少？（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．23．（12分）（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当AQAB=34，（3）如图3，当sin∠BAQ=64，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出24．（14分）（2023•台州）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．

2023年浙江省台州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．（4分）（2023•台州）下列各数中，最小的是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【分析】正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可．【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣2|＝2，1＜2，∴﹣1＞﹣2，则2＞1＞﹣1＞﹣2，那么最小的数为：﹣2，故选：D．【点评】本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．2．（4分）（2023•台州）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（）A． B． C． D．【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可．【解答】解：从正面看该组合体，其主视图是．故选：C．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．3．（4分）（2023•台州）下列无理数中，大小在3与4之间的是（）A．7 B．22 C．13 D．17【分析】一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行无理数的估算进行判断即可．【解答】解：∵4＜7＜8＜9＜13＜16＜17，∴4＜即2＜7＜22＜3＜那么13在3和4之间，故选：C．【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．4．（4分）（2023•台州）下列运算正确的是（）A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2【分析】根据去括号法则，完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方法则将各项计算后进行判断即可．【解答】解：A．2（a﹣1）＝2a﹣2×1＝2a﹣2，则A符合题意；B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，则B不符合题意；C．3a+2a＝（3+2）a＝5a，则C不符合题意；D．（ab）2＝a2b2，则D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．5．（4分）（2023•台州）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【分析】直接解一元一次不等式，再将解集在数轴上表示即可．【解答】解：x+1≥2，解得：x≥1，在数轴上表示，如图所示：．故选：B．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确解不等式是解题关键．6．（4分）（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（）A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．故选：A．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．7．（4分）（2023•台州）以下调查中，适合全面调查的是（）A．了解全国中学生的视力情况 B．检测“神舟十六号”飞船的零部件 C．检测台州的城市空气质量 D．调查某池塘中现有鱼的数量【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．【解答】解：A．了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意；B．检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合普查，故本选项符合题意；C．检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意；D．调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．8．（4分）（2023•台州）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）A．2 B．2 C．4+22 D．【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣AB，以此即可求解．【解答】解：如图，点B为⊙O上一点，点D为正方形上一点，连接BD，OC，OA，AB，由三角形三边关系可得，OB﹣OD＜BD，OB是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最大值，∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为OB﹣AB，由题意可得，AC＝4，OB＝4，∵点O为正方形的中心，∴OA⊥OC，OA＝OC，∴△AOC为等腰直角三角形，∴OA=AC∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为OB﹣AB＝4−22故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键．9．（4分）（2023•台州）如图，锐角三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（）A．若CD＝BE，则∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，则CD＝BE C．若BD＝CE，则∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，则BD＝CE【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，而BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，可得△DCB≌△EBC（ASA），故CD＝BE，判断选项B是真命题；BD＝CE，判断选项D是真命题；根据BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，得△DCB≌△EBC（SAS），有∠DCB＝∠EBC，判断选项C是真命题；不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，可判断选项A是假命题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，∴△DCB≌△EBC（ASA），∴CD＝BE，故选项B是真命题，不符合题意；BD＝CE，故选项D是真命题，不符合题意；∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，∴△DCB≌△EBC（SAS），∴∠DCB＝∠EBC，故选项C是真命题，不符合题意；不能证明CD＝BE时，∠DCB＝∠EBC，故选项A是假命题，符合题意；故选：A．【点评】本题考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．10．（4分）（2023•台州）抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴kx＝ax2﹣a，∴ax2﹣kx﹣a＝0，∴x1∴ka当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．故选：D．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）（2023•台州）因式分解：x2﹣3x＝x（x﹣3）．【分析】提取公因式x即可．【解答】解：原式＝x•x﹣x•3＝x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）．【点评】本题考查提公因式法因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．12．（5分）（2023•台州）一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是25【分析】利用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．【解答】解：∵一个口袋里有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球，∴摸到红球的概率是25故答案为：25【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（5分）（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为140°．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．14．（5分）（2023•台州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为25【分析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A，在△ABE和△FCB中，∠A=∠CFB∠AEB=∠FBC∴△ABE≌△FCB（AAS），∴FC＝AB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，在Rt△FCB中，由勾股定理得BF=B故答案为：25【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的对边平行且相等，四个角都是直角．15．（5分）（2023•台州）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有3人．【分析】可设第一组有x人，则第二组有（x+6）人，根据两组平均每人植树的棵数相等，列出方程计算即可求解．【解答】解：设第一组有x人，则第二组有（x+6）人，依题意有：12x解得x＝3，经检验，x＝3是原方程的解．故第一组有3人．故答案为：3．【点评】本题考查了应用类问题，关键是根据两组平均每人植树的棵数相等找到等量关系．16．（5分）（2023•台州）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为5a+5b＝7c；（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为a2+b2＝c2．【分析】（1）由△ADE和△CBF是等边三角形，可得△CDH和△ABG是等边三角形，DE∥BG，CF∥AG，即知EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，根据四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，有2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），故5a+5b＝7c；（2）由S四边形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，可得S△ABG＝S△BCF+S△ADE，即34c2=34a2+34b2，从而可得a2+b【解答】解：（1）∵△ADE和△CBF是等边三角形，∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，∴△CDH和△ABG是等边三角形，DE∥BG，CF∥AG，∴四边形EHFG是平行四边形，AB＝AG＝BG＝c，CH＝DH＝CD＝AD+BC﹣AB＝a+b﹣c，∴EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，∵四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，∴2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），整理得：5a+5b＝7c，故答案为：5a+5b＝7c；（2）∵S四边形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，∴S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH＝S△CDH，∴S△ABG＝S△BCF+S△ADE，∵△ABG，△ADE和△CBF是等边三角形，∴34c2=34a2+∴c2＝a2+b2，故答案为：a2+b2＝c2．【点评】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是用含a，b，c的代数式表示相关线段的长度．三、解答题（本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）（2023•台州）计算：22【分析】根据有理数的乘方，绝对值的性质，算术平方根进行计算即可．【解答】解：22+|﹣3|−＝4+3−＝4+3﹣5＝7﹣5＝2．【点评】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．18．（8分）（2023•台州）解方程组：x+y=72x−y=2【分析】利用加减消元法求解即可．【解答】解：x+y=7①2x−y=2②①+②得3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入①，得3+y＝7，解得y＝4，∴方程组的解是x=3y=4【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．19．（8分）（2023•台州）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图象高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC＝90°，黑板上投影图象的高度AB＝120cm，CB与AB的夹角∠B＝33.7°，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝120cm，∠BAC＝90°，∠B＝33.7°，∴tanB=AC∴AC＝AB•tan33.7°≈120×0.67＝80.4≈80（cm），∴AC的长约为80cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．20．（8分）（2023•台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．（1）求h关于ρ的函数解析式；（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．【分析】（1）设h关于ρ的函数解析式为ℎ=kρ，把ρ＝1，（2）把h＝25代入ℎ=20ρ，求得【解答】解：（1）设h关于ρ的函数解析式为ℎ=k把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，∴h关于ρ的函数解析式为ℎ=20（2）把h＝25代入ℎ=20ρ，得解得：ρ＝0.8，答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3．【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．21．（10分）（2023•台州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C，BD为对角线．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；（2）已知AD＞AB，请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，顶点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不要求写作法）．【分析】（1）证明AB∥CD，可得结论；（2）桌线段BD的垂直平分线交AD与点F交BC与点E即可．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∠A＝∠C，∴180°﹣（∠ADB+∠A）＝180°﹣（∠CBD+∠C），即∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：如图，四边形BEDF就是所求作的菱形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（12分）（2023•台州）为了改进几何教学，张老师选择A，B两班进行教学实验研究，在实验班B实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法．在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．表1：前测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A289931实验班B2510821表2：后测数据测试分数x0＜x≤55＜x≤1010＜x≤1515＜x≤2020＜x≤25控制班A14161262实验班B6811183（1）A，B两班的学生人数分别是多少？（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A，B两班的后测数据．（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价．【分析】（1）将表格中A、B班各等级人数分别相加即可得出答案；（2）分别计算出A、B班级成绩的平均数，再从平均数、中位数和百分率方面求解即可；（3）计算出前测A、B班级成绩的平均数，再与后测的平均数、中位数及百分率分析求解即可．【解答】解：（1）A班的人数：28+9+9+3+1＝50（人），B班的人数：25+10+8+2+1＝46（人），答：A，B两班的学生人数分别是50人，46人．（2）xAxB从平均数看，B班成绩好于A班成绩．从中位数看，A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，B班成绩好于A班成绩．从百分率看，A班15分以上的人数占16%，B班15分以上的人数约占46%，B班成绩好于A班成绩．（3）前测结果中：xAxB从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．从中位数看，两班前测中位数均在0＜x≤5这一范围，后测A班中位数在5＜x≤10这一范围，B班中位数在10＜x≤15这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．从百分率看，A班15分上的人数增加了100%，B班15分以上的人数增加了600%，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好．【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握加权平均数、中位数的定义和意义．23．（12分）（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当AQAB=34，（3）如图3，当sin∠BAQ=64，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出【分析】（1）连接OP，设∠BOP的度数为n，可得nπ×3180=π，n＝60，即∠BOP＝60°，故∠BAP＝30°，而直线l是⊙O的切线，有∠ABC＝90°，从而BC=AB（2）连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，求出cos∠BAQ=AQAB=34，由BP=PQ，得∠BAC＝∠DAC，有CF＝BC，证明∠FCD（3）连接BQ，证明△APQ∽△ADC，得PQCD=APAD①，证明△APB∽△ABC，得BPBC=APAB②，由BC＝【解答】解：（1）如图，连接OP，设∠BOP的度数为n°，∵AB＝6，BP长为π，∴nπ×3180=∴n＝60，即∠BOP＝60°，∴∠BAP＝30°，∵直线l是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴BC=AB3=（2）如图，连接BQ，过点C作CF⊥AD于点F，∵AB为⊙O直径，∴∠BQA＝90°，∴cos∠BAQ=AQ∵BP=∴∠BAC＝∠DAC，∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF＝BC，∵∠BAQ+∠ADB＝90°，∠FCD+∠ADB＝90°，∴∠FCD＝∠BAQ，∴cos∠FCD＝cos∠BAQ=3∴CFCD∴BCCD（3）如图，连接BQ，∵AB⊥BC，BQ⊥AD，∴∠ABQ＝90°﹣∠QBD＝∠ADC，∵∠ABQ＝∠APQ，∴∠APQ＝∠ADC，∵∠PAQ＝∠DAC，∴△APQ∽△ADC，∴PQCD=∵∠ABC＝90°＝∠APB，∠BAC＝∠PAB，∴△APB∽△ABC，∴BPBC=由BC＝