2023年新高考数学大一轮复习 直线、平面平行的判定与性质(原卷版)

专题30直线、平面平行的判定与性质

【考点预测】

知识点一：直线和平面平行

1.定义

直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面a平行，记作/〃a

2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果平面外的一条直线和这//〃4、

线〃线n个平面内的■条直线平行，那么这4ua>n/〃a

线〃面条直线和这个平面平行（简记为Z_/1(Za

“线线平行n线面平行

如果两个平面平行，那么在一allB

>=>a//B

面〃面=>个平面内的所有直线都平行于另aua

线〃面一个平面

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线和1//a

一个平面平行，经过lu/3>nI//

线〃面n线〃线这条直线的平面和这a0=1',

个平面相交，那么这二

条直线就和交线平行

知识点二：两个平面平行

1.定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a和夕，若。，〃=。，则a〃4

2.判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理如果一个平面内有两b-P

线〃面=>条相交的直线都平行于另allB，b//Bna/邛

面〃面一个平面，那么这两个平面//

平行（简记为“线面平行

n面面平行

线_1,面=>如果两个平面同垂直ILa]

>=a〃0

面〃面于一条直线，那么这两个平IL/3]

面平行

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果两个平面平行，

面〃面n

那么在一个平面中的所a11P

线〃面//>=>〃//仅

有直线都平行于另外一〃U1

个平面

如果两个平行平面

同时和第三个平面相交，a//，

ay==a〃匕.

性质定理那么他们的交线平行（简

By-b

记为“面面平行n线面

平行”）

如果两个平面中有

面〃面=>一个垂直于一条直线，那土al1f3

17>n/_L/?

线JL面么另一个平面也垂直于I.La

这条直线

【方法技巧与总结】

线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示.

（1）证明直线与平面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线。与平面a没有公共点，一般结合反证法证明；

②利用线面平行的判定定理，即线线平行n线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，

同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；

③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；

（2）证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用两个平面垂直于同一条直线；

④证明两个平面同时平行于第三个平面.

（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

【题型归纳目录】

题型一：平行的判定

题型二：线面平行构造之三角形中位线法

题型三：线面平行构造之平行四边形法

题型四：线面平行转化为面面平行

题型五：利用线面平行的性质证明线线平行

题型六：面面平行的证明

题型七：面面平行的性质

【典例例题】

题型一：平行的判定

例1.（2022・上海.高三专题练习）设加，”是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列说法错

误的是（）

A.若机mLa,n工B,则</_1_万8.若加〃”，m±a,nlI/3,则&_1_齐

C.若“z_L”，mlla,n!//3,则a//£O.若加〃“，mLa,77_1_尸，贝!]£//月

例2.（2022・上海静安•二模）在下列判断两个平面。与夕平行的4个命题中，真命题的个数是（）.

（1）a、口都垂直于平面广，那么a〃夕.

（2）夕都平行于平面r,那么a〃尸.

（3）a、口都垂直于直线/,那么a〃口.

（4）如果/、机是两条异面直线，且/〃a,加〃a,I//P,m//p,那么a〃夕

A.0B.1C.2D.3

例3.（2022.宁夏・银川一中模拟预测（文））如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点,

M、N、。为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线48不平行于平面MAQ的是（）

例4.（2022•浙江・海宁中学模拟预测）已知a,b,c是不全平行的直线，a，B，7是不同的平面，则下

列能够得到a〃£的是（）

A.a±/,pLy

B.aaa,bua,alI/3,blip

C.aua,bua,cua,alI/3,blip,clip

D.blla,blip

例5.（2022.全国•高三专题练习）已知用是空间两个不同的平面，机，〃是空间两条不同的直线,

下列说法中正确的是（）

A.alI[3,mlla,则77”/尸

B.mHn,nl/a,则〃?//£

C.平面a内的不共线三点A、B、C到平面夕的距离相等，则a与夕平行

D.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行

例6.（2022・陕西・西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，在正方形ABCD-A,UCD中，M,

N分别是AO',的中点，则直线AM与平面8A©的位置关系是（）.

D'N

C.相交但不垂直D.无法确定

例7.（2022・全国•高三专题练习）已知三条直线b,c和两个平面。,夕，下列命题正确的是（）

A.若a//a,a//b,则♦//&B.若a〃b,bua,则〃//a

C.若a//a,〃//,///£,则齐//aD.若&B=a、bua,cuB，bl1c,贝！J〃//5

【方法技巧与总结】

排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除.

题型二：线面平行构造之三角形中位线法

例8.（2022•山西吕梁•三模（文））如图，在四棱柱ABC。-44GA中，底面ABCD是平行四边形,

DAYDB,侧面ADRA是矩形，为AA的中点，DtA±BM.

（1）证明：AC〃平面MB。；

（2）求三棱锥M-ABD的体积.

例9.（2022•全国•高三专题练习）如图，在三棱锥V-ABC中，O,M分别为01的中点.求证:

VB〃平面MOC.

例10.（2022•青海•海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，平面尸CD，平

面A5CD,PCD为等边三角形，CD=2AB=2,AD=垃,NBA。=/ADC=90。，/是棱PC上一点.

若MC=2MP,求证：AP〃平面MBZ).

例11.（2022•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为。的正方形,

侧面B4D_L底面ABCD,且尸4=尸£>=走4£>,若E、歹分别为PC、

BO的中点，求证：EB7侧面PAD；

2

例12.（2022•河南•濮阳一高高三阶段练习（理））如图，四边形ABC。为菱形，AB=2,ZABC=60°,

将"⑦沿AC折起，得到三棱锥D-ABC,点M,N分别为△■）和ABC的重心.

又CDU平面8肱V，POu平面

例13.（2022•全国•高三专题练习）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E^PB

的中点.

证明：OE〃平面PAC；

【方法技巧与总结】

（1）初学者可以拿一把直尺放在H5位置（与平齐），如图一；

（2）然后把直尺平行往平面ACE方向移动，直到直尺第一次落在平面ACE内停止，如图二；

（3）此时刚好经过点E（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点E）,此时直尺所在的位置就是我们

要找的平行线，直尺与AC相交于点尸，连接印，如图三；

（4）此时PB、班'长度有长有短，连接尸3、EF并延长刚好交于一点。，刚好构成A型模型（E为PD

中点，则产也为由）中点，若E为等分点，则尸也为如对应等分点），PB//EF,如图四.

图一图三图四

题型三：线面平行构造之平行四边形法

例14.（2022•河南开封•模拟预测（理））如图，。分别是圆台上、下底的圆心，为圆。的

直径，以OB为直径在底面内作圆E,C为圆。的直径AB所对弧的中点，连接3C交圆E于点D,AA,,BBi,

CQ为圆台的母线，A8=2A耳=8.

证明；CQ//平面088.；

例15.（2022•广东•大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台ABCO-ABCR中，AB=2,A瓦=1,

四边形ABC。为平行四边形，点E为棱8C的中点.

例16.（2022•全国•高三专题练习）在如图1所示的等腰梯形C£>£F中，DE=CD=2,EF=2+2近,

将它沿着两条高位》IC折叠成如图2所示的四棱锥E-A8CD（凡尸重合），点分别为线段A民〃E的

中点.

D,C

DC

E（F）图2

例17.（2022•全国•模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，R4_L平面ABCD,四边形A8CD是矩形,

48=4尸=142£,歹分别是针，BC的中点.

2

求证：EF〃平面PCD；

例18.（2022•全国•高三专题练习）如图，正方形A3CD与直角梯形ADEF所在平面相互垂直,

ZADE=90，AF//DE,AD=DE=2AF=4.求证：AC〃平面BEF；

例19.（2022•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=CD=~AD=1,ADHBC,

尸在以AD为直径的圆。上，平面ABCDL平面E4D设点。是AP的中点，求证：8Q//平面PC。；

例20.（2022•江苏•矿大附中高三阶段练习）如图，已知正方形ABC。和矩形AC所所在的平面互相

垂直，AB=-Ji，AF=t,M是线段E产的中点.

求证：9///平面&0£；

例21.（2022•河南•洛宁县第一高级中学一模（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面上位＞，

平面ABC。，ABIICD,ADLCD,CD=2AB=4,AE是等边△P㈤的中线.

例22.（2022•全国•高三专题练习）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒

如图所示：底面A3CD是边长为8（单位：cm）的正方形，EAB,FBC,GCD,HD4均为正三角形，且它

们所在的平面都与平面ABCD垂直.

（1）证明：所〃平面A3CD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

【方法技巧与总结】

（1）初学者可以拿一把直尺放在"位置，如图一；

（2）然后把直尺平行往平面即方向移动，直到直尺第一次落在平面网内停止，如图二；

（3）此时刚好经过点8（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点8）,此时直尺所在的位置就是我们

要找的平行线，直尺与R4相交于点。，连接B。，如图三；

（4）此时PB、所长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一4型的平行），连接0E,

刚好构成平行四边形班E0型模型（E为PD中点，O也为RL中点，0E为三角形R4D中位线），OB//EF,

如图四.

AA

图一图二图三图四

题型四：线面平行转化为面面平行

例23.（2022今国•高三专题练习）如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面BCCR为正方形，平面BCC、B、1

平面A844，AB=BC=2,M,N分别为A与，AC的中点.

求证：MV〃平面BCG耳；

例24.（2022唉国•高三专题练习）如图所示的几何体中，底面ABC。是等腰梯形，AB〃CD,ZABC=60°,

平面ABCD,CC「AA,,且C£>=BC=gA3=gA4,,E,尸分别为AQ,CG的中点.

证明：EF〃面ABC。；

例25.（2022•湖南•长沙一中高三阶段练习）如图、三棱柱43（?-4与6的侧棱441垂直于底面43（7,

ASC是边长为2的正三角形，44,=3,点。在线段48上且4。=2。3,点E是线段3G上的动点.

RE

当釜为多少时，直线。£//平面ACGA?

例26.（2022•全国•高三专题练习）如图，在等腰直角三角形PAD中，ZA=90°,AD=8,AB=3,B、C

分别是从PD上的点，且AD/ABC,M、N分别为3尸、CD的中点，现将BCP沿2C折起，得到四棱锥

P-ABCD,连接MN.

证明：〃平面PAD；

例27.（2022•贵州•贵阳一中高三阶段练习（理））如图，四棱锥尸-ABCD中，平面上45,平面ABCD,

AB//CD,AB±AD,AB=3,AD=5AP=CD=2,ZPAB=60.M是8中点，N是尸8上一点.

是否存在点N使得MN〃平面PAD,若存在求PN的长.若不存在，请说明理由;

例28.（2022•全国•高三专题练习）已知将圆柱。02沿着轴截面ABCD分割，得到如图所示的几何

体，若四边形ABC。是边长为2的正方形，E,尸分别是AB,OC上的点，H是AE的中点，AC与8。交于

点O,REB=/O/C=60。.

E

H

DO2

求证：OH//平面EFCB；

例29.（2022•河北•高三专题练习）如图所示正四棱锥S-ABCD,SA=SB=SC=SD=2,AB=尤,

（1）正四棱锥S-ABCD的表面积；

（2）侧棱SC上是否存在一点E,使得3E〃平面PAC.若存在，求芸的值；若不存在，试说明理由.

例30.（2022•全国•高三专题练习）在如图所示的圆柱中，AB为圆0的直径，C、。是AB的

两个三等分点，EA.FC、GB都是圆柱QU的母线.

求证：尸&〃平面ADE；

【方法技巧与总结】

本法原理：己知平面1〃平面尸，则平面万里的任意直线均与平面a平行

题型五：利用线面平行的性质证明线线平行

例31.（2022•福建•三模）如图，在三棱锥丫-ABC中，VAB和A6C均是边长为4的等边三角形.P

2

是棱U4上的点，VP=-VA,过尸的平面a与直线VC垂直，且平面cmI平面VAB=/.

V

在图中画出/,写出画法并说明理由;

例32.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，四棱锥的底面A3CD是直角梯形，

BC//AD,AB±AD,AB=BC=-AD,PA±ABCD,过BC的平面交尸。于M,交,PA于N（M与。不

2

例33.（2022•山东青岛•二模）如图，P为圆锥的顶点，。为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB=4,

母线PH=2g,M是依的中点，四边形OBCW为正方形.

p,

—」——y.一

Hc

设平面PC月c平面尸3C=/,证明：I//BC-,

例34.（2022•安徽•蚌埠二中模拟预测（理））正方体A8C£>-a4GR中，点加在棱。。上，过点C

作平面BMG的平行平面。，记平面。与平面BCC1耳的交线为/,则AC与/所成角的大小为（）

例35.（2022•全国•高三专题练习）如图，己知三棱锥P-ABC中，△E43为正三角形，

ABA.BC,AC=2BC,D,E分别为AB,AC的中点，经过DE的平面a与「反尸。分别交于点G,F,且

PA//a.求证：四边形OERS是平行四边形；

一七/E\,

DB

例36.（2022•全国•高三专题练习）如图，A3是圆0的直径，点C是圆0上异于的点，直线尸

平面ABC,2尸分别是上4,PC的中点.

Ph

记平面BEF与平面ABC的交线为/,求证：直线///平面PAC；

例37.（2022•安徽•安庆一中高三阶段练习（文））如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，设

平面上4B与平面PCD的交线为直线I.

证明：/〃平面ABCD；

例38.（2022•河北•石家庄二中模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，PC，底面ABCD,底面ABCD

是直角梯形，ABLAD,AB//CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB上的点.

若PDH平面ACE,求尸E:尸3的值;

【方法技巧与总结】

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

题型六：面面平行的证明

例39.（2022•全国•高三专题练习（理））如图，在四棱锥尸-A8C。中，平面出。，平面48cPA

=PD,AB=AD,PALPD,ADLCD,ZBAD^60°,M,N分别为A。，B4的中点.

证明：平面8MN〃平面尸。；

例40.（2022•浙江•高三专题练习）在三棱锥S-ABC中，平面SAB，平面SBC,ABLBC,AS^AB,

过A作AFLS3,垂足为b，点E,G分别是棱SA，SC的中点.求证：平面EFG//平面A3C.

例41.（2022•河南•高三阶段练习（理））如图，在四棱柱ABC。-中，四边形ABC。是正方

形，E,F,G分别是棱B4，4G，CG的中点.

证明：平面4的”/平面ARG；

例42.（2022安徽•南陵中学模拟预测（理））如图，在正方体A8CD-A瓦GR中，E,F分别为棱。RCC

的中点.

求证：平面AECJ/平面BDF-,

【方法技巧与总结】

常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时

垂直于这两个平面.证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行.

题型七：面面平行的性质

例43.（2022•黑龙江•高三阶段练习（理））四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，

/朋。=120。，上4,底面ABCD,PA=2y/3,E,F分别是PC,尸。的中点.

BGC

已知BG=/IBC,若平面EFG//平面RIB,求力的值；

例44.（2022•青海玉树•高三阶段练习（文））在长方体ABCD-ABCQ］中，AB=2BC=2AAl=1,

P为44的中点.

已知过点A的平面a与平面BPG平行，平面a与直线AB，C2分别相交于点M,N,请确定点M,N

的位置；

例45.（2022•四川•模拟预测（理））如图，在直棱柱A3C-A4G中，点E,尸分别为A片，8C的

中点，点G是线段上的动点.

c,Bi

E

B

确定点G的位置，使得平面AGE//平面BCG,并给予证明;

例46.（2022•全国•高三专题练习）如图，在直棱柱ABC-ABC中，点E，F分别为A瓦，BC的中

点，点G是线段AF上的动点.确定点G的位置，使得平面AGE〃平面BCG,并给予证明

【过关测试】

一、单选题

1.（2022•全国•模拟预测（理））已知小"是两条不同的直线，a、£是两个不同的平面，则下列结论

一定成立的是（）

A.若m_L〃，m_Laf则〃〃aB.若根〃a,a///3f则相〃夕

C.若m_La,a邛,则加〃4D.若mJ_a,〃_L4，贝!Ja_L£

2.（2022・全国•模拟预测（理））已知长方体A5CD-A51G2中，AB=AD=4,明=2,E,尸分别

为棱A瓦和AA的中点，M为长方体表面上任意一点.若〃平面A£F,则创/的最大值为（）

A.2A/6B.2币C.4A/2D.6

3.（2022•云南师大附中模拟预测（理））若a,夕是两个不同平面，加，〃是两条不同直线，则下列4

个推断中正确的是（）

A.m//a,m//p,孔ua,nuB=m〃n

B.mua,nuf3,a//n

C.m//a,nHa,rnu°,几u£=a〃尸

D.mua,nu（3,m〃n=a〃B

4.（2022.全国•高三专题练习（文））下列四个命题，真命题的个数为（）

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于该平面；

（2）过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；

（3）平行于同一个平面的两条直线平行；

（4）。与6为空间中的两条异面直线，点A不在直线a,6上，则过点A有且仅有一个平面与直线a,

b都平行.

A.0B.1C.2D.3

5.（2022•广东广州•三模）一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形A3CD为正方形，反尸分别为

尸&PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是（）

A.直线AE与直线B尸异面

B.直线AE与直线DE异面

C.直线EF,/平面PAD

D.直线所/平面ABCD

6.（2022•新疆克拉玛依・三模（文））如图，在棱长为1的正方体ABCD-A瓦G2中，尸为棱B耳的中

点，。为正方形84GC内一动点（含边界），若D©//平面4尸。，则线段2Q长度的取值范围是（）

2H3

4

c13忘6

42

7.（2022.全国•高三专题练习（文））己知点E,尸分别是正方体48。。一48/。0/的棱AB,AAi的中点,

点M,N分别是线段。正与C/尸上的点，则满足与平面48CD平行的直线皿有（）

c.2条D.无数条

8.（2022•安徽师范大学附属中学模拟预测（理））如图，在三棱柱ABC-A与C中，过Af的截面与AC

CD

交于点。，与8c交于点E,该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则三=（）

C2一退D班一、

,2,2

二、多选题

9.（2022.全国•高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为

所在棱的中点，则在这四个正方体中,直线A5与平面"N。平行的是（）

10.（2022・全国•高三专题练习）在正四面体A—5CQ中，AB=3,点。为35的重心，过点。的截

面平行于AB和CD分别交BC,BD,AD,AC于E,F,G,〃，贝l|()

A.四边形E尸GH的周长为8

B.四边形EFGX的面积为2

C.直线A3和平面EFGH的距离为&

TT

D.直线AC与平面ENGH所成的角为:

4

11.（2022•河北石家庄•高三阶段练习）已知孙〃为异面直线，相，平面。，〃，平面夕.若直线/满

定I工m,l工n,laa,lg0,则（）

A.a//P，I//a

B.I//a,I//f3

C.。与夕相交，且交线平行于/

D.。与夕相交，且交线垂直于/

12.（2022•全国•模拟预测）在正方体AB。-A4CQ中，CE=^（0<2<1）,则下列结论正确的是

（）

A.存在Xe[0,l],使得用ELAC

B.对任意的九e[0』，都有百。LAE

C.对任意的几«0』],都有4E〃平面片8。

D.当人=：时，直