第6讲一元二次方程及其应用（讲义）-2024年浙江中考数学一轮复习

第二单元方程（组）与不等式（组）第6讲一元二次方程及其应用课标要求课标要求1.理解一元二次方程的定义及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能把一元二次方程化为一般形式；2.掌握一元二次方程的四种解法，能选择适当的方法解一元二次方程；3.理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断方程解的情况；了解一元二次方程根与系数的关系；4.会用一元二次方程解如增长率问题、销售利润问题、距离问题、面积问题等实际生活中常见的问题.备考指南备考指南考点分布考查频率命题趋势考点1一元二次方程的相关概念☆本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右.预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了．考点2一元二次方程的解法☆☆考点3一元二次方程的根与系数的关系☆考点4一元二次方程的应用☆☆知识网络知识网络知识清单知识清单1．一元二次方程的定义：两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．2．一元二次方程的解法：一元二次方程的解法有开平方法，配方法，公式法，因式分解法四种.(1)开平方法：形如x2＝a(a≥0)或(x±b)2＝a(a≥0)的，都可以用开平方法．(2)配方法：一般步骤：①化二次项系数为1；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化为(x±b)2＝a(a≥0)的形式，再用开平方法求出方程的解．(3)公式法：求根公式x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(其中eq\r(b2－4ac)≥0)．(4)因式分解法：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程化为A·B＝0(其中A，B是整式)；③令A＝0，B＝0，即可解方程．3．一元二次方程根与系数的关系：（1）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ=b2－4ac①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根．③当Δ＜0时，方程没有实数根．（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：设方程的两个根为，则，4．一元二次方程的实际应用：常见的等量问题：(1)平均增长率(下降率)问题：如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．(2)利润问题：利润＝售价－成本，利润率＝eq\f(利润,成本)×100%，销售价＝(1＋利润率)×进货价．(3)利息问题：利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．(4)面积问题：如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求面积．设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．深度讲练深度讲练■考点一一元二次方程的有关概念►

典例1：（2023•兰溪市模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（）A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024【考点】一元二次方程的解．【答案】D【思路点拨】由题意知，a+b+1＝0，则a+b＝﹣1，根据2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b），计算求解即可．【解析】解：由题意知，a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b）＝2024．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的方法是关键．【变式训练】1．（2021•永嘉县校级模拟）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．2x2﹣x﹣y2＝0B．x（x﹣2）＝0C．ax2+bx+c＝0 D．【考点】一元二次方程的定义．【答案】B【思路点拨】利用一元二次方程的定义对各选项进行判断．【解析】解：A、方程2x2﹣x﹣y2＝0含有2个未知数，所以A选项不符合题意；B、方程整理为x2﹣2x＝0，它为一元二次方程，所以B选项符合题意；C、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，所以C选项不符合题意；D、方程含有分式，它不是一元二次方程，所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．（2021•永嘉县模拟）一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0【考点】一元二次方程的一般形式．【答案】B【思路点拨】方程整理为一般形式即可．【解析】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．3．（2023•长兴县二模）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则a﹣b的值是2．【考点】一元二次方程的解．【答案】2．【思路点拨】利用一元二次方程根的定义把x＝﹣1代入方程可得到a﹣b的值．【解析】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx﹣2＝0得a﹣b﹣2＝0，所以a﹣b＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．■考点二一元二次方程的解法►

典例2：（2021•东阳市模拟）解方程：（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x﹣3）．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】x1＝3，x2＝﹣2．【思路点拨】先移项得到（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】解：（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣2x+1）＝0，x﹣3＝0或x﹣3﹣2x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【变式训练】1．（2022•永康市模拟）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣40【考点】一元二次方程的解．【答案】B【思路点拨】把x＝a代入方程求得2a2﹣3a＝5，然后根据﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）即可求解．【解析】解：把x＝a代入方程得：2a2﹣3a﹣5＝0，则2a2﹣3a＝5，则﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）＝﹣10．故选：B．【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．2．（2023•临安区一模）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（）A．x1＝2，x2＝1B．x1＝2，x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】B【思路点拨】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可．【解析】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，所以x1＝2，x2＝﹣2．故选：B．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．（2021•滨江区二模）解方程：x（x﹣5）＝5﹣x．小滨的解答如下：解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】方程解答不正确，过程见解答．【思路点拨】方程解答不正确，两边除以（x﹣5）时，没有考虑为0的情况，写出正确过程即可．【解析】解：方程解答不正确，正确解答为：方程化简得：x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），移项得：x（x﹣5）+（x﹣5）＝0，分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，可得x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．（2021•湖州模拟）解方程：x2﹣4＝3（x+2）．【考点】解一元二次方程﹣公式法．【答案】x1＝5，x2＝﹣2．【思路点拨】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【解析】解：方程移项得：x2﹣4﹣3（x+2）＝0，分解因式得：（x+2）（x﹣2）﹣3（x+2）＝0，即（x+2）（x﹣2﹣3）＝0，所以x+2＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣2．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．■考点三一元二次方程根的判别式►

典例3：（2023•龙湾区模拟）关于x的一元二次方程x2+x＝k有两个不相等实数根，k的取值范围是（）A．k≥﹣ B．k＞﹣ C．k≤ D．k＜【考点】根的判别式．【答案】B【思路点拨】利用判别式的意义得到Δ＝12﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．【解析】解：根据题意得Δ＝12﹣4（﹣k）＞0，解得k＞﹣．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【变式训练】1．（2022•龙泉市一模）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1＝0 B．x2+1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x＝0【考点】根的判别式．【答案】A【思路点拨】根据各选项中各方程的系数，利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac可求出各方程的根的判别式Δ的值，取Δ＝0的选项即可得出结论．【解析】解：A．x2﹣2x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程x2+1＝2x有两个相等的实数根，选项A符合题意；B．x2+1＝0，∵a＝1，b＝0，c＝1，∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴方程x2+1＝0没有实数根，选项B不符合题意；C．x2﹣2x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，∴方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；D．x2﹣2x＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．”是解题的关键．2．（2023•瓯海区四模）已知关于x的方程x2﹣10x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝（）A．10 B．25 C．﹣25 D．±25【考点】根的判别式．【答案】B【思路点拨】根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣10）2﹣4×1×m＝0，然后解一次方程即可．【解析】解：由题意得，Δ＝（﹣10）2﹣4×1×m＝0解得m＝25．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．3.（2021•长兴县模拟）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣3＝0．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式．【答案】（1）1；（2）见解析．【思路点拨】（1）将x＝1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解方程求得m的值；（2）由根的判别式符号进行证明．【解析】（1）解：∵方程的一个根为1，∴1+m+m﹣3＝0，∴m＝1；（2）证明：∵a＝1，b＝m，c＝m﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4（m﹣3）＝m2﹣4m+12＝（m﹣2）2+8＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．■考点四一元二次方程根与系数的关系►

典例4：（2023•海曙区模拟）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则＝（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1【考点】根与系数的关系．【答案】C【思路点拨】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，再利用完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，∴x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，∴＝＝（x1x2）2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]+1＝（﹣a）2﹣[a2﹣2×（﹣a）]+1＝a2﹣a2﹣2a+1＝﹣2a+1．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．【变式训练】1．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【答案】D【思路点拨】直接利用根与系数的关系将x＝1代入求出答案即可．【解析】解：关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，设另一根为m，由根与系数的关系得：1×m＝﹣2，∴另一根为﹣2，故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．2．（2022•宁波模拟）已知方程x2﹣3x+1＝0的根是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2＝2．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【答案】2．【思路点拨】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出结论．【解析】解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝3、x1x2＝1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案为2．【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：，．■考点五一元二次方程的应用►

典例5：（2021•宁波模拟）某商场品牌经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（）A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000 C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【答案】A【思路点拨】设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，根据某件商品原价5000元，经过两次降价后，售价为3600元，可列方程．【解析】解：设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，根据题意，得：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600，故选：A．【点睛】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．2．（2021•宁波模拟）美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份桔梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【答案】（1）3元；（2）20．【思路点拨】（1）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到桔梗的单价至少为多少元；（2）根据题意，可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．【解析】解：（1）设桔梗的单价为x元，则风铃草的单价是x元，∵花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，∴风铃草的销量为1000×＝600（朵），桔梗的销量为1000﹣600＝400（朵），∵3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，∴400x+600×x≥3600，解得x≥3，即桔梗的单价至少为3元；（2）[3（1+m%）]×[400×（1+4m%）]＝600××3+192，解得m1＝20，m2＝﹣145（舍去），即m的值是20．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式和一元二次方程，利用不等式的性质和方程的知识解答．【变式训练】1．（2022•衢江区二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（）A．（50﹣40+x）（500﹣x）＝8000 B．（40+x）（500﹣10x）＝8000 C．（50﹣40+x）（500﹣10x）＝8000 D．（50﹣x）（500﹣10x）＝8000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【答案】C【思路点拨】设这种商品每件涨价x元，则销售量为（500﹣10x）件，根据“总利润＝每件商品的利润×销售量”列出一元二次方程．【解析】解：设这种商品每件涨价x元，则销售量为（500﹣10x）件，根据题意，得：（10+x）（500﹣10x）＝8000，故选：C．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系．2.（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（）A．x+（1+x）＝36B．2（1+x）＝36C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【答案】C【思路点拨】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝36．【解析】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，故选：C．【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．3．（2023•拱墅区三模）某网络学习平台2021年的新注册用户数为100万，2023年的新注册用户数为64万，设新注册用户数的年平均下降率为x（x＞0），则x＝20%（用百分数表示）．【考点】一元二次方程的应用；百分数的互化．【答案】20%．【思路点拨】利用2023年的新注册用户数＝2021年的新注册用户数×（1+新注册用户数的年平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解析】解：根据题意得：100（1﹣x）2＝64，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.8（不符合题意，舍去），∴x的值为20%．故答案为：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及百分数的互化，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．【答案】（1）新的矩形绿地的长为40m，宽为20m；（2）新的矩形绿地面积为1500m2．【思路点拨】（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据扩充后的矩形绿地面积为800m，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值分别代入（35+x）及（15+x）中，即可得出结论；（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．【解析】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形绿地面积为1500m2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．真题演练真题演练1．（2022•婺城区模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（）A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023【考点】一元二次方程的解．【答案】D【思路点拨】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝﹣1，然后把2022﹣a﹣b变形为2022﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．【解析】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，所以a+b＝﹣1，所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2021•丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3【考点】解一元二次方程﹣配方法．【答案】D【思路点拨】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解析】解：方程x2+4x+1＝0，整理得：x2+4x＝﹣1，配方得：（x+2）2＝3．故选：D．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2023•浦江县模拟）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（）A．x1＝3，x2＝1B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】A【思路点拨】利用因式分解法解答，即可求解．【解析】解：x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝3，x2＝1．故选：A．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9【考点】根的判别式．【答案】C【思路点拨】方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可计算出c的值．【解析】解：∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4c＝0，解得c＝9，故选：C．【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时Δ＝0．5．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4【考点】根的判别式．【答案】D【思路点拨】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，解得m＜4．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．（2023•黄岩区一模）神舟十五号载人飞船搭载3名宇航员于2022年11月29日进入太空，在中国空间站进行了很多空间实验，计划今年6月返回．太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，即将宇航员的汗液、尿液和太空水收集起来，经过特殊的净水器处理成可用水循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中的杂质x%，经过2次过滤可使水中的杂质减少到原来的64%，根据题意可列方程为（）A．1﹣2x＝64% B．（1﹣x）2＝64% C．2（1﹣x%）＝64% D．（1﹣x%）2＝64%【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【答案】D【思路点拨】根据题意列一元二次方程得到答案．【解析】解：根据题意列方程得（1﹣x%）2＝64%，故选：D．【点睛】本题考查列一元二次方程，读懂题意，找准等量关系是解题的关键．7．（2022•婺城区模拟）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（）A．x（x﹣12）＝864B．x（x+12）＝864 C．x（12﹣x）＝864 D．2（2x﹣12）＝864【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．【答案】A【思路点拨】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x（x﹣12）＝864．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．（2022•浦江县模拟）如图，要设计一幅宽10cm，长15cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽度是3xcm，则可列方程为（）A．4x×10+6x×15＝×10×15 B．（10﹣6x）（15﹣4x）＝×10×15 C．4x×10+6x×15＝×10×15﹣2x×3x×4 D．（10﹣6x）（15﹣4x）＝×10×15【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【答案】B【思路点拨】由横、竖彩条的宽度比为3：2可得出竖彩条的宽为2xcm，根据彩条所占的面积是图案面积的四分之一，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】解：∵横、竖彩条的宽度比为3：2，横彩条的宽为3xcm，∴竖彩条的宽为2xcm．依题意得：（15﹣2×2x）（10﹣2×3x）＝（1﹣）×15×10，即（15﹣4x）（10﹣6x）＝×15×10．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2023•武义县一模）若一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两根分别为x1，x2，则代数式x1+x2＝2．【考点】根与系数的关系．【答案】2．【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则，．【解析】解：∵2x2﹣4x+1＝0，这里a＝2，b＝﹣4，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根的和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，是解题的关键．10．（2022•金华模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2019＝0的一个根为x＝1，写出满足条件的实数a，b的值a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．【考点】一元二次方程的解．【答案】a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．【思路点拨】把x＝1代入方程得到a与b的关系式，确定出一对a与b的值即可．【解析】解：把x＝1代入方程得：a+b﹣2019＝0，当a＝2019时，b＝0，则满足条件的实数a，b的值为a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．故答案为：a＝2019，b＝0（答案不唯一，只要a≠0即可）．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．11．（2021•嘉善县一模）新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为50.7（1+x）2＝125.6．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【答案】50.7（1+x）2＝125.6．【思路点拨】根据2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，到2020年为125.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程．【解析】解：依题意，得：50.7（1+x）2＝125.6．故答案为：50.7（1+x）2＝125.6．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：15x（10﹣x）＝360（不必化简）．【考点】一元二次方程的解；几何体的展开图；一元二次方程的定义．【答案】15x（10﹣x）＝360．【思路点拨】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．【解析】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．故答案为：15x（10﹣x）＝360．【点睛】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．13．（2022•仙居县二模）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），此方程的解为x1＝2，x2＝3．则关于x的一元二次方程9ax2﹣3bx+c＝0的解为x1＝﹣，x2＝﹣1．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【答案】x1＝﹣，x2＝﹣1．【思路点拨】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，且a≠0）的解是x1＝2，x2＝3，从而求得﹣3x，然后求得x的值即可．【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，且a≠0）的解是x1＝2，x2＝3，∴方程9ax2﹣3bx+c＝0中﹣3x＝2或﹣3x＝3，解得：x1＝﹣，x2＝﹣1．故答案为：x1＝﹣，x2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据题意求得3x的值．14．（2021•南浔区模拟）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为11．【考点】根与系数的关系．【答案】11．【思路点拨】先根据一元二次方程根的定义得到2x12＝﹣3x1+4，则4x12+4x1﹣2x2化为﹣2（x1+x2）+8，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵x1是方程2x2+3x﹣4＝0的根，∴2x12+3x1﹣4＝0，∴2x12＝﹣3x1+4，∴4x12+4x1﹣2x2＝2（﹣3x1+4）+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8，∵x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣，∴4x12+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8＝﹣2×（﹣）+8＝11．故答案为11．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．15．（2021•婺城区模拟）解方程：（x﹣1）（2x+3）＝（2x+3）．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】x1＝﹣，x2＝2．【思路点拨】先移项得到（x﹣1）（2x+3）﹣（2x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解析】解：（x﹣1）（2x+3）﹣（2x+3）＝0，（2x+3）（x﹣1﹣1）＝0，2x+3＝0或x﹣1﹣1＝0，所以x1＝﹣，x2＝2．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．16．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．【答案】见试题解答内容【思路点拨】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．【解析】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，∴②③均可，选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，∴x1＝，x2＝．【点睛】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．17．（2023•舟山一模）在学习一元二次方程的根与系数关系一课时老师出示了这样一个题目：已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，求m的值．波波同学的解答过程如右框：波波的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．【考点】根与系数的关系．【答案】波波的解法不正确．正确的解法见解答．【思路点拨】波波的解法没有考虑根的判别式的意义，所以他的解法不正确．先利用根的判别式的意义得到m≤，然后利用根与系数的关系得到m2+2m﹣3＝0，解得m1＝1，m2＝﹣3，最后利用k的取值范围确定m的值．【解析】解：波波的解法不正确．正确解法为：根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤，根据根与系数的关系得x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，∵（x1+1）（x2+1）＝3，∴x1x2+x1+x2+1＝3，∴m2+（2m﹣1）+1＝3，整理得m2+2m﹣3＝0，解得m1＝1，m2＝﹣3，∵m≤，∴m的值为﹣3．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．也考查了根的判别式．18．（2023•拱墅区三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同