第四章第02讲图形的全等(5类热点题型讲练)

第02讲图形的全等(5类热点题型讲练)1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素；(重点)2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；(重点)3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．(难点)知识点01图形全等的定义图形的轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等图形的形状和大小没有改变．能够完全重合的两个图形叫做全等图形．轴对称、平移与旋转这些基本变换中的两个图形全等知识点02全等三角形的性质能够完全重合的两个多边形称为全等多边形．两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等．题型01全等图形识别【例题】（2023上·山西大同·八年级统考阶段练习）下列图案中，属于全等形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】能够完全重合的图形叫做全等图形，根据定义解答即可.【详解】解：观察各选项：只有选项A中的两个图案能够完全重合，选项B、C、D中的两个图案不能够完全重合；故选：A.【点睛】本题考查了全等图形，熟知概念是关键.【变式训练】1．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）下列各组图形中，不是全等图形的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查的是全等形的识别．根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．【详解】解：观察发现，B、C、D选项的两个图形都可以完全重合，∴B、C、D选项的两个图形都是全等图形，A选项中两个图形不可能完全重合，∴它们不是全等形．故选：A．2．（2023上·广西河池·八年级统考期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义逐一判断即可求解，熟记：“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是解题的关键．【详解】解：属于全等图形，故选A．题型02全等三角形的概念【例题】（2023·全国·八年级课堂例题）说法中正确的是（

）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误；面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误；两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误．长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确；故选D．【变式训练】1．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形C．两个等边三角形一定是全等图形D．能够完全重合的两个图形是全等图形【答案】D【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可．【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求；若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求；两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求；能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．（2022上·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．面积相等的两个图形是全等图形 B．所有正方形都是全等图形C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的边相等【答案】C【分析】根据全等图形的定义以及性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．面积相等的两个图形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意；B．所有正方形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意；C．全等三角形的周长相等，故该选项正确，符合题意；

D．全等三角形的对应边相等，故该选项不正确，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了全等图形的定义以及全等三角形的性质，掌握全等图形的定义与性质是解题的关键．题型03全等三角形的性质【例题】（2023·全国·八年级课堂例题）如图所示，已知在四边形中，，过点作于点，连接，，且．(1)求的度数；(2)若，试判断与之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和等于，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）由平行线的性质得到，再根据三角形内角和等于，求得，最后根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案；（2）由可得，，再根据平行线的判定，即可得到答案．【详解】（1），，，，，，，；（2），且．理由：，，，．【变式训练】1．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，，请写出图中的对应角，对应边．①的对应角为（

）；②的对应角为（

）；③的对应角为（

）；④的对应边为（

）；⑤的对应边为（

）．【答案】，，，，【分析】根据全等三角形的定义可直接得出答案．【详解】解：∵，∴①的对应角为；②的对应角为；③的对应角为；④的对应边为；⑤的对应边为；故答案为：，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形，找准对应边、对应角是解题的关键．2．（2020上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，已知，与是对应角．(1)写出边的对应边与的对应角；(2)若，，，则________，________．【答案】(1)边的对应边是边，的对应角是(2)，【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据求解即可得．【详解】（1）解：∵，与是对应角，∴边的对应边是边，的对应角是．（2）解：∵，，，，，∵，，故答案为：，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．题型04由三角形全等求时间或线段长【例题】如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，速度为，Q点从B向D运动，速度为，P、Q两点同时出发，则经过s后，与全等．【答案】4【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程，先设运动x分钟后与全等；分两种情况：①若，则，此时，≌；②若，则，得出，，即可得出结果．【详解】解：∵于点A，于B，∴．设运动x分钟后与全等，由题意得：，，则．分两种情况：①若，则，，．可知，∴≌；②若，则，解得：，可知，此时与不全等．综上所述：运动后与全等．故答案为：4．【变式训练】1．如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于，于．若要与全等，则点的运动时间为．【答案】或或【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：①如图1，P在上，Q在上，则，，，，，，，，，，，即，；②如图2，P在上，Q在上，则，，由①知：，，；因为此时，所以此种情况不符合题意；③当P、Q都在上时，如图3，，；④当Q到A点停止，P在上时，，时，解得．⑤因为P的速度是每秒2，Q的速度是每秒6，P和Q都在上的情况不存在；综上，点P运动或或秒时，与全等．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．题型05利用全等图形求正方形网格中角度之和【例题】（2022上·江苏宿迁·八年级统考期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（

）．A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．【详解】解：如图，则，，，∴，故选：B．【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．【变式训练】1．（2022上·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为.【答案】/45度【分析】观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解．【详解】观察图形可知与所在的直角三角形全等，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．2．（2022上·重庆潼南·八年级校联考期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则度．【答案】【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解．【详解】解：如图，连接、，，，，由图可知，在和中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键．一、单选题1．下列各组图形中，属于全等图形的是（

）A．

B．

C． D．

【答案】C【分析】根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得．【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等图形，熟记定义是解题关键．2．下列说法正确的是（

）A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形【答案】C【分析】本题考查了全等形的概念．全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析．【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误；B、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误；C、能完全重合的图形叫做全等图形，符合全等形的概念，正确；D、形状相同的两个图形也不一定是全等形，说法错误；故选：C．3．如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察可知点与点关于对称，即可求解．【详解】解：由图可知：点与点关于对称，由轴对称的性质可知：故选：C4．如图，，于点，于点，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，，两点同时出发，运动（

）分钟后，与全等A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】分当时和当时，两种情况进行讨论，求得和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．【详解】解：当时，，∴，P的运动时间是：（分钟），Q的运动时间是：（分钟），∴当分钟时，两个三角形全等；当时，，=6，∴P运动的时间是：（分钟），Q运动的时间是：（分钟），故不能成立．综上，运动4分钟后，与全等，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意分和两种情况讨论是关键．5．已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是A． B． C． D．【答案】D【分析】通过观察分析，找出图形变换中，有全等三角形的对数规律：当有个点时，图中有个全等三角形，然后把n=17代入计算即可求解．【详解】解：图中，当有点、时，有对全等三角形；图中，当有点、、时，有对全等三角形；图中，当有点时，有对全等三角形；图中，当有个点时，图中有个全等三角形，当时，全等三角形的对数是，故选：D．【点睛】本题考查图形变换规律，全等三角形的判定，找出图形变换规律是解题的关键．二、填空题6．如图所示，下列图形中的全等图形是.【答案】（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此逐一判断即可。【详解】解；由全等图形的定义可知，（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）是全等图形，故答案为：（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）．7．如图所示，，，若，，则的度数是．【答案】80°/80度【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理及平行线的性质，熟知这些定理的内容是正确解决本题的关键．根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理得到的度数，根据平行线的性质得到，进而得到的度数．【详解】解：，，，，，，，，所以的度数是．8．如图，四边形四边形，若，，，则°．【答案】【分析】根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得，进一步可得的度数.【详解】解：∵四边形四边形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，故答案为：105．【点睛】本题考查了全等图形，四边形的内角和等，熟练掌握全等图形的性质是解题的关键.9．在如图所示的3×3正方形网格中，度．【答案】【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解．【详解】解：如图，在与中，，∴，∴，∵，∴，同理可得，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，即，根据网格的特点可知，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键．10．全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有．【答案】①③/③①【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解．【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反，∴属于镜面合同三角形的有①③．故答案为：①③三、解答题11．如图，在中，已知，，，试把下面运用“叠合法”说明和全等的过程补充完整：说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为，所以可以使，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于，因此，；由于，因此，；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样

．【答案】见解析．【分析】根据“叠合法”说明两三角形全等即可．【详解】说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为，所以可以使AB与重合，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于，因此，射线AC与射线叠合；由于，因此，射线BC与射线叠合；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样重合，即全等．【点睛】本题主要考查三角形全等的定义，掌握“叠合法”说明三角形全等，是解题的关键．12．在的方格纸中，每格的边长为1，请按下列要求画图．（1）在图1中画一个格点，使与全等，且所画格点三角形的顶点均不与点B，C重合．（2）在图2中画一个面积为7的格点四边形，且为锐角．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用轴对称的性质解决问题即可．（2）构造梯形，利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，△ADE即为所求．（2）如图2中，四边形ABCD即为所求．【点睛】本题考查作图应用与设计，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．13．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得