中考数学总复习《图形的相似与位似》专项测试卷(带答案)

第第页中考数学总复习《图形的相似与位似》专项测试卷(带答案)（考试时间：90分钟；试卷满分：100分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．若，则等于（）A． B． C． D．2．如图所示，在△ABC中DE∥BC，若AD＝2，AB＝6，则＝（）A． B． C． D．3．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：95．如图，△ABC中∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B． C．D．6．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m7．在三角形ABO中已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对称点A′的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）8．如图，在等边三角形ABC中BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（）A．4 B． C． D．59．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+110．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3，c＝4，d＝6，则a＝．12．已知△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，则它们的周长之比为．13．已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于cm．14．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为．15．如图，在△ABC中点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为．16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，点H是EF的中点，连接BH，则下列结论中：①BE＝DF；②∠BEH＝∠BAH；③；④若AB＝4；DF＝1，则△BEH的面积为．其中正确的是．（将所有正确结论的序号填在横线上）三、解答题（本题共7题，共58分）。17．（6分）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．18．（8分）如图，在△ABC中AB＝AC，BD⊥AC于点D．（1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长．19．（8分）如图，在△ABC中D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AB＝10，AD＝8，DE＝4．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求BC的长．20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．求证：（1）AB•AE＝AC•AD．（2）△ADE∽△ABC．21．（8分）如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O′P′＝l，两灯柱之间的距离OO′＝m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值？请说明理由；22．（10分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？23．（10分）综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直接写出的值．参考答案与解析选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．若，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵∴设x＝10k，y＝7k∴＝＝＝故选：C．2．如图所示，在△ABC中DE∥BC，若AD＝2，AB＝6，则＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵DE∥BC∴＝∵AD＝2，AB＝6∴DB＝AB﹣AD＝4∴＝＝故选：C．3．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】D【解答】解：∵DF∥AC∴＝，所以A选项错误；∵DE∥BC∴＝，所以C选项错误；而＝∴＝∵DE∥CF，DF∥CE∴四边形DECF为平行四边形∴CF＝DE∴＝，即＝，所以B选项错误；∵DE∥BC∴＝，即＝，所以D选项正确．故选：D．4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：9【答案】D【解答】解：∵△ABC与△DEF位似∴△ABC∽△DEF，AB∥DE∴△OAB∽△ODE∴AB：DE＝OA：OD＝1：3∴△ABC与△DEF的面积比为1：9故选：D．5．如图，△ABC中∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°∴△DEC∽△ABC故A不符合题意；B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B∴△CDE∽△CBA故B不符合题意；C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3∵，∴又∵∠B＝∠B∴△BDE∽△BAC故C不符合题意；D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似故D符合题意故选：D．6．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【答案】C【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝12m根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD∵AB⊥BD，DE⊥BD∴∠ABC＝∠EDC＝90°∴△ACB∽△ECD∴，即∴ED＝9.6（m）故选：C．7．在三角形ABO中已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对称点A′的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【答案】D【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣6，3）∴点A的对称点A′的坐标为（﹣6×，3×）或（6×，﹣3×），即（﹣2，1）或（2，﹣1）故选：D．8．如图，在等边三角形ABC中BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（）A．4 B． C． D．5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠B＝120°∵∠DPE＝60°∴∠BPD+∠CPE＝120°∴∠BDP＝∠CPE∵∠B＝∠C＝60°∴△BDP∽△CPE；∴∴∴BP2﹣6BP+2a＝0∵满足条件的点P有且只有一个∴方程BP2﹣6BP+2a＝0有两个相等的实数根∴△＝62﹣4×2a＝0∴a＝．故选：C．9．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【答案】C【解答】解：设HG＝x∵四边形ABCD是矩形∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1∴四边形ADHE是矩形∵AD＝DH∴四边形ADHE是正方形∴AD＝HE＝1∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似∴＝∴＝解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1经检验：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根∵GH＞0∴GH＝﹣1∴DC＝2+x＝+1故选：C．10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值为3；③CF2＝GE•AE；④S△ADM＝6．其中正确的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【答案】D【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°∵BF＝CE∴BC﹣BF＝DC﹣CE即CF＝DE在△ADE和△DCF中∴△ADE≌△DCF（SAS）∴∠DAE＝∠CDF∵∠CDF+∠ADG＝90°∴∠DAE+∠ADG＝90°∴∠AGD＝90°∴∠AGM＝90°∴∠AGM＝∠AGD∵AE平分∠CAD∴∠MAG＝∠DAG又AG为公共边∴△AGM≌△AGD（ASA）∴GM＝GD又∵∠AGM＝∠AGD＝90°∴AE垂直平分DM故①正确；②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD即DO⊥AM∵AE垂直平分DM∴HM＝HD当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长∵正方形ABCD的边长为4∴AC＝BD＝∴即PM+PN的最小值为故②错误；③∵AE垂直平分DM∴∠DGE＝90°∵∠ADC＝90°∴∠DGE＝∠ADE又∵∠DEG＝∠AED∴△DGE∽△ADE∴即DE2＝GE•AE由①知CF＝DE∴CF2＝GE•AE故③正确；④∵AE垂直平分DM∴AM＝AD＝4又∴故④错误；综上，正确的是：①③故选：D．填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。11．若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3，c＝4，d＝6，则a＝2．【答案】2．【解答】解：根据题意得a：3＝4：6所以a＝2．故答案为：2．12．已知△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，则它们的周长之比为2：3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC∽△DEF，其相似比为2：3∴它们的周长比为2：3故答案为2：3．13．已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于2cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵线段a＝3cm，b＝4cm∴线段a、b的比例中项＝＝2cm．故答案为：2．14．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AB∥CD∥EF∴＝＝∵BF＝10∴DF＝10×＝6；故答案为：6．15．如图，在△ABC中点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为4．【答案】4．【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE∴∠BAD＝∠ADE＝90°∴DE∥AB∴∠CED＝∠CAB∵∠C＝∠C∴△CED∽△CAB∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2∴S△DEC：S△ACB＝1：4∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3∴S△ACB＝4故答案为：4．16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，点H是EF的中点，连接BH，则下列结论中：①BE＝DF；②∠BEH＝∠BAH；③；④若AB＝4；DF＝1，则△BEH的面积为．其中正确的是①②③．（将所有正确结论的序号填在横线上）【答案】①②③．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠ADC＝∠BAD＝∠ABC＝90°∴∠ABE＝90°＝∠ADE∵AE⊥AF∴∠EAF＝∠BAD＝90°∴∠BAE＝∠DAF∴△ABE≌△ADF（ASA）∴BE＝DF故①的结论正确；②∵△ABE≌△ADF∴AE＝AF∵H点EF的中点∴AH⊥EF∴∠AHG＝∠EBG＝90°∵∠AGH＝∠BGE∴∠BEH＝∠BAH故②的结论正确；③∵∠AGH＝∠EGB，∠AHG＝∠EBG＝90°∴△AGH∽△EGB∴∵∠AGE＝∠HGB∴△AGE∽△HGB∴∠AEG＝∠HBG∵AE＝AF，∠EAF＝90°∴∠AEF＝45°∴∠HBG＝45°∴∠CBH＝45°过H作HK⊥BC于点K∴HK∥CF∵H是EF的中点∴HK是△CEF的中位线∴CF＝2HK∵∠HBK＝45°∴BH＝HK∴故③的结论正确；④∵AB＝4；DF＝1∴BE＝DF＝1，CF＝4﹣1＝3∴HK＝CF＝∴故④的结论错误；∴正确的是：①②③．故答案为：①②③．三、解答题（本题共7题，共58分）。17．（6分）已知：a：b：c＝3：4：5．（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k（1）＝＝；（2）∵3a﹣b+c＝10∴9k﹣4k+5k＝10解得k＝1∴a＝3，b＝4，c＝5．18．（8分）如图，在△ABC中AB＝AC，BD⊥AC于点D．（1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长．【答案】（1）见解答；（2）．【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求．（2）∵AB＝AC＝6，AD⊥BC∴BE＝CE∵DE＝2∴BC＝4∵△ACE∽△BCD∴＝，即＝解得CD＝．19．（8分）如图，在△ABC中D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AB＝10，AD＝8，DE＝4．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求BC的长．【答案】（1）见解析；（2）BC的长为5．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B，又∠A＝∠A∴△ADE∽△ABC；（2）解：由（1）得：△ADE∽△ABC，即解得：BC＝5答：BC的长为5．20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．求证：（1）AB•AE＝AC•AD．（2）△ADE∽△ABC．【答案】见解答．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE∴△ABD∽△ACE∴＝∴AB•AE＝AC•AD；（2）∵△ABD∽△ACE∴∠BAD＝∠CAE，＝∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE即∠BAC＝∠DAE∵＝∴＝∴△ADE∽△ABC．21．（8分）如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O′P′＝l，两灯柱之间的距离OO′＝m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值？请说明理由；【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由已知：AB∥OP∴△ABC∽△OPC．∵∵OP＝l，AB＝h，OA＝a∴∴解得：．（2）∵AB∥OP∴△ABC∽△OPC∴即，即．∴．同理可得：∴＝是定值．22．（10分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？【答案】（1）经过2秒或3秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的；（2）经过秒或秒，△PCQ与△ABC相似．【解答】解：（1）设经过t秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的则，PC＝2t，BQ＝t，CQ＝5﹣t∴×2t×（5﹣t）＝××12×5