河南省名校联盟2023-2024学年高一年级数学上册12月考试试题（解析版）

河南省名校联盟2023-2024学年高一上学期

12月考试数学试题

一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.若集合屈=何111%<1},N=q<2},则McN=()

A.B.{乂Ivxve}

C.1x|-l<x<e|D,{乂0<x<e}

【答案】D

【解析】由lnx<l得：0<x<e,则河={%|0<％〈。}；

丫丫一丫—2

由——<2得：------2=---------<0,即(x+l)(x+2)>0,解得:尤<—2或％>—1,

x+1x+lX+1

则N={x|xv-2或x>一1},二AfcN={<0v%v>}.

故选：D.

2.已知〃=2。2,人=0.4。2,C=0.406,则。，b,。的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>0a

【答案】A

【解析】因为函数y=0.4，为减函数，所以1=0.4°>0.4°2>0.4°6,

又因为a=2°2>2°=l，所以a>6>c.

故选：A.

3.已知函数“X)为R上的奇函数，当x>0时，/(^)=eA+l,则()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

［解析］由题可知/［ln£|=/(_ln2)=_/(ln2)=_(em2+l)=_3.

故选：A.

4.已知2°=5,log83=b,则)

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【解析】因为2"=5，^=log83=1log23,即23〃=3,

所以"

"以329•

故选：C.

5.下列函数中，在其定义域上既是减函数又是奇函数的是()

A./(x)=-B.〃尤)=1-无

c.{)=出，D.“加一：

【答案】D

【解析】对于A,/(x)=’的定义域为(—8,0)(0,+8),因为/(—x)==

XX

所以函数在定义域内奇函数，而函数的单减区间是(-8,0)和(0,+8),

所以在定义域内不是减函数，故A错误；

对于B,〃尤)=1—X的定义域为R,因为/(-%)=1+"-/(幻，所以函数不是奇函数,

故B错误；

对于C：=—1的定义域为R,因为/(—x)=g]-1=2"-1^-/(%),

所以函数不是奇函数，故C错误；

22

对于D,/(x)=—匕的定义域为(―8,0)J(0,+8),因为/(_》)=—2_=—/(x),

X-X

所以函数在定义域内奇函数，且/(x)=-%在定义域内是减函数，故D正确.

故选：D.

11

6.已知正实数%,y满足4x+3y=4,则7；;+----^的最小值为()

2x+l3y+2

A3小点B1V21V2D'后

84232422

【答案】A

【解析】由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8,

令a=2x+l,b—,iy+2,可得2a+6=8,

111112a+b1[la~~~b^

----------1------------......1---x------―3+"3+2,——x—

2x+l3y+2aba488baba,

即2+工23+正，当且仅当2=2时取等号，

aZ?84ba

11的最小值为3+《2.

----------1-----------

2x+l3y+284

故选：A.

7.若函数/（X+1）为偶函数，对任意事龙2e［l,+oo）且石W%，都有

（九2-%）［/&）—/（九2）］＞。，则有（）

【答案】A

【解析】因为函数/"（x+1）为偶函数，所以7（％）的对称轴为x=l；

又对任意当,%€［1,+8）且石/工2有（％2-玉）［/（再）一/（尤2）］＞°，

则“X）在［1,+8）上为单调递减函数.因为/

3543

<-<->所以/

23

故选：A.

r\

a—ab.a<b

8.对于a,6eR,定义运算"®"：a®b=',，设/(x)=(2D3x—1),

b-ab,a>b

且关于x的方程/(x)=t(teR)恰有三个互不相等的实数根X],%，W，则Xi+9+对的取

值范围是(

2】L5+⑸

A.B.U4J

C.D.(1,2)

【答案】A

(2x-l)2-(2x-l)(x-l),2x-l<尤_]

【解析】由题设知y(x)=(2x-i)③(尤-1)=

(X-1)2-(2X-1)(X-1),2X-1>X-1'

2x2-x,%<0

化简整理得：/(%)=,,画出函数的图像，如下图:

—x+x,%>0

:,当关于x方程/(x)=«/eR)恰有三个互不相等的实数根时,

由了

/的取值范围是

设玉＜0＜々＜%3，则工2，工3是一/+%=。的两个根，关于％=|■对称，故々+%3=1，

，解得:寸丁

下面求士的范围:

1+8,£(1,3),1一J1+8%£(1-0),故再£

[¥•47

「5-百

所以玉+%2+忍E/I

I4J

故选：A.

二、多选题.本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若。>0,b>0,且。+。=4,则下列不等式恒成立的（）

1111,

A.——>-B.-+->1

ab4ab

C.y/ab>2D.a2+b2>8

【答案】ABD

【解析】因为a〉0,b>0,且。+。=4,则=4,

当且仅当。“=2时，等号成立，所以’A对:

当且仅当a=8=2时，等号成立，B对；

箍w9=2,当且仅当a=b=2时，等号成立，C错;

2

22

因为6?+/7222az7,则2（。2+匕2）之。2+匕2+2。匕=（。+匕）2=16,^a+b>8,

当且仅当a=/?=2时，等号成立，D对.

故选：ABD.

10.对于任意实数a,b,c,d，下列四个命题中为假命题的是（）

A.若a>b,cwO,贝!Jac>bcB.若ac2>be2，则。

C.若a<b<0,则〃D.若3>，>0,c>d,则

【答案】AD

【解析】对于A,当。=一1时，满足条件〃>>，cwO,但是ac<Z?c,所以A为假命题;

对于B,因为砒2>儿2,所以co。，所以,2>0，所以。成立，所以B为真命题；

对于C,因为avb<0,所以4>ab且ab>H，所以〃之〉",〃，所以C为真命题；

对于D,当Q=2,Z?=l,。=一1,d=—2时，满足条件3>，>0,c>d,但是ac-bd,

所以D为假命题.

故选：AD.

11.若函数/(x)=f—4x+l在定义域A上的值域为,则区间A可能为()

A.[-1,4]B.[0,3]C.[1,4]D,[1,3]

【答案】BC

【解析】•••函数/(x)=f—4x+l的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=2,

故/(x)皿=/(2)=-3,又/(0)=/(4)=1,

故要定义域A上的值域为[-3,1],满足题意的选项是：BC.

故选：BC.

12.已知函数/(%)=：，，则下列说法正确的有()

X+1

A.函数“X)为偶函数

B.当xwO时，/(》)=一/[£|

「9

C.函数的值域为-1,—

D.若/(a—1)</(2。+1),则实数。的取值范围为(-,—2)u(O,内)

【答案】ABD

(-X)-1X2-1

【解析】对于A,%eR,由=—---=——7=/(-^)，

(一工)一+1r+1

可得函数”X)为偶函数，故A选项正确;

x2-l

x2+1

可得=I故B选项正确;

X2+1)-22又…力有。.1，

对于c,由〃尤)=

x2+lx2+l

2

有-1W1-F—<1,可得函数/(X)的值域为［—U),故C选项错误;

X+1

2

对于D,当x>0时，由〃X)=1—---,可得函数“X)在［0,+")上单调递增,

JC+1

又由函数”力为偶函数，可得函数/(X)的减区间为(—8,0),增区间为[0,+“)，

若/(a—1)</(2。+1),有,―1<|2a+l|,不等式两边平方后可解得a>0或a<—2,

故D选项正确.

故选：ABD.

三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分.

2

13.计算：(lg5『_(lg2)2+83xlga_O.6°+0.2T=------

【答案】5

【解析】

221_1

22313321

(lg5)-(lg2)+8xlgA/2-0.6°+0.2--(lg5+lg2)(lg5-lg2)+(2)xlg2-l+(5-)

=lg5-lg2+4x-ixlg2-l+5=lg5+lg2+4=5.

故答案为：5.

14.若“X)满足2/(X)—/[£|=2X+1,则/

【答案】3

【解析】取x=2得到2〃2)-4£|=5；取x=；得到2n-/(2)=2,

解得=

故答案为：3.

15.已知/(x)=g]-m,g(x)=ln(V+i),若\/玉G[一2,-1],3t使得

/(xjNg(%),则实数机的最大值是.

【答案】2

【解析】Vx,G［-2,-1］,土2G［0,1］,使得〃%）'（%）,.•・/⑺二"⑺「；

在［―2T］上单调递减，,"X）1rali=/（-l）=2-m；

a=必+1在［0』上单调递增，y=In〃在（0,+“）上单调递增,

g（尤）=In（尤2+1）在［0,1］上单调递增，g（力.=g⑼=In1=0；

:.2-m>0,解得：m<2,则实数机的最大值为2.

故答案为：2.

16.若函数y=/（©是函数y=a'（0<awl）的反函数，其图象过点（6,a）,且函数

rn

丁=-/（》+——3）在区间（2,+8）上是增函数，则正数机的取值范围是

X

【答案】［2,4］

【解析】由题意可得函数y=/（x）=log0x,再根据其图象过点（、后,a）,

可得log=a,即a=g,；J（x）=log/

7%YYlYYI

函数y=----3）在区间（2,+oo）上是增函数，且一/（工+3）=-log1（x+---3）,

XX2X

UI

，函数/=1。81（》+7-3）在区间（2,+8）上是减函数，

故、=无+'-3在区间（2,+s）上是增函数，

X

再根据y=x+'-3在区间（2,+co）上大于零，且>=%+2_3在（而，+"）是增函数，

XX

2

可得《m,解得2麴加4.

2+--3..0

I2

故答案为：［2,4］.

四、解答题.本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合4=卜|—^211,B=^x2-2x-m<Q^.

（1）当m=3时，求A瓜5）；

⑵若AcB={x|—lvxv4},求实数机的值.

解：（1）由一^―21得0<x+l46,得—l<x<5,

x+1

所以A={x[—l<xV5},

当机=3时，由12—2%—3<0，得一l<x<3,

所以3={x[—l<x<3},

所以"3={x|x<—1或x»3},

所以A&8）={x|3<%<5}.

（2）因为Ac3={乂―1<x<4},所以8工0,

所以八=4+4机>0，即7〃>一1,

由—2x—m<0得（x—I）?<l+m,得1—y/1+m<%<1++m，

所以3={x11-yjl+m<x<1+J1+m},

因为Ac5={x[—l<x<4},所以1+、1+加=4,l-y/1+m<-1，

解得7〃=8.

18.已知命题0：VxeR,x2+4x+a2-l>0>命题。为真命题，实数”的取值集合为A.

（1）求集合A；

（2）设集合5={必%—4<x<l—2可，若xe8是xeA的充分不必要条件，求实数必

的取值范围.

解：（1）命题0为真命题，则A=16—44+4<0,得“〉行或a<—右，

所以A=1a,（一石或a>逐}.

（2）因为xe3是xeA的充分不必要条件，所以8UA,

5..

①当5=0时，则加一4>1—2加，即加〉一，满足BUA,

3

②当3w0时，则加一4<1一2相，即加V—,

3

因为5UA,所以1—2根<—百或根—4>石，解得叵“<加《3,

23

、

综上可得机—--,+°0.

19.已知函数〃X)=(log2X_2)(log2ml).

(1)当xe[2,8]时，求该函数的值域；

(2)若〃尤)2疝og2%对于xe[4,161恒成立，求用的取值范围.

解:⑴由对数函数单调性可知，当无«2,8]时，log2xe[l,3],

令lOg2%=，，1G[1,3].即可得/(。=/一3f+2/e[l,3],

Q1

由二次函数性质可知当f时，/(0min=-4'当t=3时，/(')111ax=2，

因此可得当xe[2,8]时，该函数的值域为-；,2.

(2)当xe[4,16]时，可得log21e[2,4],

原不等式可化为z2-*43r+2>mt对于te[2,41恒成立，

22

即可得f—3+—2相对于fG[2,4|恒成立，易知函数丁=，-3+—在fe[2,4]上单调递增,

2

所以Xnin=2-3+万=0，因此只需Vmin=°之根即可，得加<0；

即机的取值范围是(—8,0].

20.第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞

标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元,

年销售10万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售总收入不低

于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进

行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入;(必-400)万元作为技改

Y

费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入二万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革

4

后的销售量。至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之

和？并求出此时商品的每件定价.

解：⑴设定价为x(x215)元，则销售量为10-Q2(x-15)万件，

由己知可得，x[10-0.2(x-15)]>15x10,

整理可得，—65%+750<0，解得15<x<50,

所以，该商品每件定价最多为50元.

(2)由已知可得，ax>150+^-(x2-400)+50+^=^-x2+|+100,x>15,

因为1215,所以aN系+侬+工22、/2x®+工=10.25,

4x4\4%4

当且仅当土=U叫，即x=20时，等号成立，

4x

所以，a>10.25,

所以，当该商品改革后的销售量。至少应达到10.25万件时，才可能使改革后的销售收入不

低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元.

21.若定义在A上的函数/(x)对任意的天、x2eR,都有/(石+/)=/(石)+/(x2)-l

成立，且当尤>0时，/(%)>1.

(1)求证：/(X)—1为奇函数；

(2)求证：/(X)是尺上的增函数；

(3)若"4)=5,解不等式/(3/-吁2)<3.

解：⑴证明：定义在尺上的函数“X)对任意的/、x2eR,

都/(司+%2)=/(西)+/(巧)_1有成立，

构造函数g(x)=〃x)T,则/(%+x2)-l=[/(x1)-l]+[/(x2)-l],

即g(再+%)=g(xj+g(%2),

令%1=%=o,得g(O)=g(O)+g(O)=2g(O),所以,g(O)=O,

由于函数g(x)=/(x)—1的定义域为R,关于原点对称，

令X|=X,x2=-X,则g(x)+g(一力=g(O)=O,.•.g(_x)=_g(x),

因此,函数g（x）=/（x）-l为奇函数.

（2）任取药〉％2，则%-％2〉°，，g（%l—%）=/（王一工2）一1＞°，

另一方面g（E）—g（i）=ga）+g（—%）=g（为一％）＞。,即g&）＞g（X2），

因此，函数g（x）=/（x）—l在A上为增函数，即函数y=/（x）在H上为增函数.

⑶Q/（4）=5,则g（4）=〃4）-4=1,g（8）=g（4+4）=g（4）+g（4）=2,

由—加一2）＜3,得g（3/«2-〃z-2）+l＜3,即g（3根2-加一2）＜2,

Qg（4）=/（4）-1=4,又g（4）=g⑵+g（2）=4,二.g（2）=2,

所以，g（3m2-m-2）＜g（2）,

由于函数y=g（x）在R上单调递增，所以，3m2-m-2＜2-即3环—m―4＜0,

解得—1〈根＜g,因此，不等式/（3切②—根—2）＜3的解集为1—1，3

22.已知函数/（另=3（2工+2-工），g（x）=g（2-2一）

（1）利用函数单调性的定义，证明：/（x）在区间［0,8）上是增函数;

（2）己知尸（x）=4严（同-4时（力+9,其中机是大于1的实数，当xe［0,log2何时,

F（x）＞0,求实数的取值范围;

g(x)

（3）当。之0,判断与妙（x）+（l-a）的大小,并注明你的结论.

〃x)

X1X1%2

解：(1)>x2>0,/(%!)-/(x2)=|(2+2-)-1(2+2^)

2画_2为+*——±-

X2x>A2

2X|-2+2~-2r22国+巧2为-2'1，

2222国+%

因为西〉％20,所以2为一2*＞0，2X1+X2＞1-所以/（石）一/（无2）＞°，

即/（x）在［0,+e）上是增函数.

z、2

2，+2-八'2*+2--

(2)由己知F(x)=4・—4m-+9,

、2)、2，

1

m-\——

2工+2一___m

设”-------，由⑴得在［0,log2加］上单调递增，即/e1,

22

9

所以万(x)NO04t2-4mt+9三0=4mtW4/+90冽W/H—,

4/

①加2亘立时，m+m>3,即/+2三2、口=3,当且仅当"3时取等号,

2~2^24rV42

此时要满足mWf+2恒成立，即相+=3,所以根W3；

4，I期人正2

/-